2024年新高考数学一轮复习 第二章 第七节 函数与方程

课时跟踪检测(十五) 函数与方程

1．函数f(x)＝的零点之和为(　 )

A．－1  B．1  C．－2  D.2

解析：选A　函数f(x)＝当x>0时，f(x)＝6x－2，设其零点为x1，则满足6x1－2＝0，解得x1＝log62；当x≤0时，f(x)＝x＋log612，设其零点为x2，则满足x2＋log612＝0，解得x2＝－log612；所以零点之和为x1＋x2＝log62－log612＝－1，故选A.

2．设f(x)在区间[a，b]上是连续变化的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在[a，b]内(　 )

A．至少有一实根  B．至多有一实根

C．没有实根  D.必有唯一实根

解析：选D　因为f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，所以函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根．

3．(2023·潍坊高三模拟)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－4有3个零点，则实数a的值为(　 )

A．－2  B．0  C．4  D.2

解析：选C　由题意得，当＝4，可得x1＝，x2＝，有两个零点，那么另一个零点在f(x)＝a上，即a＝4，故选C.

4．(2023·泉州模拟)函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间为(　 )

A．(0,2)  B．(2,3)

C．(3,4)  D.(4,5)

解析：选B　因为函数y＝log2x，y＝x－4在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log2x＋x－4在(0，＋∞)上是增函数，又f(2)＝1＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23－1>0，所以函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间为(2,3)．

5．若f(x)＝x＋2x＋a的零点所在的区间为(－2,1)，则实数a的取值范围为(　 )

A.  B．

C.  D.

解析：选B　因为f(x)＝x＋2x＋a的零点所在的区间为(－2,1)，又f(x)在R上单调递增，所以只需f(－2)·f(1)<0，即(a＋1＋2)<0，解得－3<a<.

6．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则(　 )

A．x1<x2<x3  B．x2<x1<x3

C．x2<x3<x1  D.x3<x1<x2

解析：选C　作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C.

7．函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　 )

A．1  B．2  C．3  D.4

解析：选B　由题意，令f(x)＝ex|ln x|－1＝0，即|ln x|＝e－x，则函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数，等价于两个函数y＝e－x与y＝|ln x|的交点个数，y＝e－x与y＝|ln x|两函数的图象如图所示，由图知，两个函数有2个交点，故函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是2.

8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝cosx，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　 )

A．2  B．3  C．4  D.5

解析：选A　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2，令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.作出函数y＝f(x)与y＝|x|的图象如图所示．

由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点．

9．若关于x的方程－k＝x在上有两个不同的实数解，则k的取值范围为(　 )

A.  B．

C．(－∞，1)  D.

解析：选B　－k＝x⇔－k＝x－，设t＝≥0⇒x＝，右边化为函数g(t)＝－t＝(t－1)2－1(t≥0)，作出图象可知，－1<－k≤－，所以k的范围为.

10．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－2，－1)  B．(－1,0)

C．(0,1)  D.(1,2)

解析：选A　作出f(x)的图象如图所示，令g(x)＝0，∴f(x)＝2或f(x)＝－a，∵f(x)＝2有一解，∴f(x)＝－a有两解．由图知1<－a<2，即－2<a<－1.

11．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的零点个数为(　 )

A．1  B．2  C．3  D.4

解析：选C　令f(x)＝t，当f(t)＝0时，解得t＝或t＝－1.在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)，y＝－1，y＝的图象如图所示，观察可知，y＝f(x)的图象与直线y＝－1有1个交点，与直线y＝有2个交点，则y＝f(f(x))的零点个数为3.

12．(2023·赣州模拟)函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同的实数根，则实数a的范围为(　 )

A.  B．

C.  D.

解析：选D　作出函数f(x)的图象如图所示，当x>0，y＝时，y′＝，所以x∈(0,1)时单调递增，当x∈(1，＋∞)时单调递减，所以当x>0时，y＝在x＝1处取最大值为(如图所示平行于x轴的直线)；因为f2(x)－af(x)＋a－1＝0，即[f(x)－a＋1][f(x)－1]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝a－1，当f(x)＝1时，观察图象易知此时只有一个交点，即有一个根，要使关于x的方程f2(x)－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同的实数根，则需要f(x)＝a－1与图象有三个不同交点，只需要0<a－1<，即1<a<.

13．函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，则其另一个零点为________．

解析：因为函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，将(1,0)代入得a＋2a＋3＝0，解得a＝－1.

所以y＝－x2－2x＋3.

令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，所以函数的另一个零点为－3.

答案：－3

14．已知函数f(x)＝－x＋2|x|＋2，若关于x的方程f(x)－a＝0有两个解，则实数a的取值范围是________．

解析：由于f(x)＝画出f(x)图象如图所示，由于f(x)－a＝0有两个解，即f(x)与y＝a有两个交点，由图可知，a的取值范围是(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)

15．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，若方程ax＋a－f(x)＝0(a＞0)恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．

解析：f(x)为偶函数，且T＝2，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，作出函数y＝f(x)的图象如图，方程ax＋a－f(x)＝0(a＞0)有三个解，即y＝f(x)与y＝ax＋a有三个交点，又y＝ax＋a＝a(x＋1)恒过定点(－1,0)，如图，当直线y＝ax＋a在直线AB与AC之间时，与y＝f(x)的图象有3个交点．又kAB＝1，kAC＝，故＜a＜1.

答案：

16．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝x2，则方程f(x)＋＝0在[－2,6]内的所有根之和为______．

解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当－1≤x<0时，f(x)＝x2，由此画出f(x)在区间[－2,6]上的图象如图所示．f(x)＋＝0⇒f(x)＝－，由图可知，y＝－与f(x)图象有4个交点，其中两个关于直线x＝1对称，两个关于直线x＝5对称，所以方程f(x)＋＝0在[－2，6]内的所有根之和为2×1＋2×5＝12.

答案：12

17．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t(t<1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，如图，画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1≤a<，即a的取值范围是.

18．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m 的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围．

解：在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．分两种情形：(1)当0<m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．

(2)当m>1时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述，m的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．