2023年湖北省襄阳市谷城县东风中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖北省襄阳市谷城县东风中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是(    )
 

A.
B.
C.
D.

5.  如图，直线，相交于点，，垂足为若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  孙子算经中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：亿万万，兆万万亿．则兆等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11.  写出一个随增大而增大的一次函数的解析式：______．

12.  不等式组的解集为______．

13.  为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．

14.  某市民广场有一个直径米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头喷水头高度忽略不计，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，水柱离中心米处达最高米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的他站立时必须在离水池中心______米以内．

15.  的半径为，，是的两条弦，，，则和之间的距离______．

16.  如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是______．

 

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
为了掌握九年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的九年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成如下图表成绩得分均为整数：

根据图表中提供的信息解答下列问题：
频数分布表中的 ______ ， ______ ；扇形统计图中的 ______ ， ______ ；
已知全区九年级共有个班平均每班人，用这份试卷检测，分及以上为优秀，预计优秀的人数约为______ 人，分及以上为及格，预计及格的人数约为______ 人
 

19.  本小题分
某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直．，，，另一支架与水平线夹角，求的长度结果精确到；温馨提示：，，

 

20.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，为平行四边形的对角线．
请用直尺和圆规在上取一点，使得；
在的条件下，连接，若，求证：．

21.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围．
是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
如图中，，平分，交于点，点在上，以为直径的经过点．
求证：直线是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．

23.  本小题分
某水果经销商从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种水果进行销售李大爷为了答谢经销商，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按元的价格出售设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
直接写出与之间的函数关系式；
若该经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共千克，且甲种水果购进量不低于千克又不高于千克，设总付款总金额为元请求出总付款金额元的最小值及甲、乙两种水果的购进量；
在的条件下，该水果经销商决销售时决定甲、乙两种水果的售价都是元千克，同时他又是一个热心人，他决定每销售千克甲种水果捐元，每销售千克乙种水果捐元，他将所捐的钱给了某中学一名贫困学生，销售时也打出捐款的牌子，所以甲、乙两种水果很快全部销售一空，结果发现总利润的最大值不高于元，求的最小值．

24.  本小题分
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______．
迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接．
如图，当点在上时，______，______；
改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由．
拓展应用
在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

 

25.  本小题分
如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．
求抛物线的解析式；
为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且．
当点在线段含端点上运动时，求的变化范围；
当取最大值时，求点到线段的距离；
当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
利用二次根式的减法法则，完全平方公式，幂的乘方法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

解：从上面看，得到的视图是：，
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形，从上面看有两层，上层有个正方形，下层有一个正方形且位于左二的位置．
本题考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向．
 

5.【答案】 

解：，
，
，
．
故选：．
首先利用垂直的定义得到，然后利用平角的定义即可求解．
本题主要考查了垂直的定义和平角的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点．
 

6.【答案】 

解：四边形为菱形，
，，
为直角三角形．
，点为线段的中点，
．
．
故选：．
由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．
 

7.【答案】 

解：亿
，
兆

，
故选：．
根据同底数幂的乘法先求出亿，再求兆即可．掌握是解题的关键．
 

8.【答案】 

解：马四匹、牛六头，共价四十八两，
；
马三匹、牛五头，共价三十八两，
．
可列方程组为．
故选：．
利用总价单价数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，

故选：．  

10.【答案】 

解：分两种情况：
当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合；
当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：．
根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
此题比较简单，考查的是一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
根据一次函数的性质，只要使一次项系数大于即可．
【解答】
解：例如：，或等，答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．  

12.【答案】 

解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集是，
故答案为：．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

13.【答案】 

解：画树状图如下：

共有种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有种，
恰好选中甲和丙的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

解：设右侧的抛物线的解析式为，
某市民广场有一个直径米的圆形喷水池，
该抛物线过点，
，得，
右侧的抛物线的解析式为，
当时，，得，，
各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，点的坐标为，
为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内，
故答案为：．
根据题意，可以设出右侧的抛物线解析式，然后根据题意，可以求得抛物线的解析式，再令求出的值，再结合函数图象，即可得到王师傅应站在离中心多少米的范围内才不会被淋湿．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

15.【答案】或 

解：作于，交于，连结、，如图，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
当圆心在与之间时，；
当圆心不在与之间时，；
即和之间的距离为或．
故答案为或．
作于，交于，连结、，如图，根据平行线的性质得，再利用垂径定理得到，，接着根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，然后分类讨论：当圆心在与之间时，；当圆心不在与之间时，．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
 

16.【答案】 

解：如图，连接，

四边形为矩形，
，，，
为中点，
，
由翻折知≌，
，，，
，
在和中，

，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故答案为．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及翻折变换．
首先连接，利用矩形的性质，求出，的长度，再证明，最后证∽，利用相似三角形的性质即可求出的长度．
 

17.【答案】解：

，
把代入． 

【解析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
 

18.【答案】           

解：被调查的总人数为人，
，
，
组所占百分比为，
，
组占百分比为，
，
故答案为：，，，；
全区八年级学生总人数为人，
预计优秀的人数约为人，预计及格的人数约为人，
故答案为：，．
根据第一组的频数和频率结合频率等于频数除以总数，可求出总数，继而可分别得出、、、的值；
先计算全区总人数，再用总人数乘以优秀，及格所占百分比，即可解决问题．
本题考查频数分布直方图，频数分布表，扇形图等知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率等于频数除以总数，结合扇形图和频数分布表提供的公共信息进行计算．
 

19.【答案】解：设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
． 

【解析】设，根据含度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求作．


证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
， 

【解析】作线段的垂直平分线交于点即可．
证明，即可．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：根据题意得，
解得；
根据题意得，，
．
，
即，
，
整理得，
解得舍去，．
． 

【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解方程后利用中的范围确定满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

22.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线；
解：由，，，
得：，，，
，
，
，
，
由，得，


． 

【解析】连接，由平分，可知，易证，所以，所以，由于，所以，从而可证直线是的切线；
根据含度角的直角三角形性质可求出的长度，然后求出的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案．
本题考查圆的综合问题，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识．
 

23.【答案】解：当时，设，根据题意得，
解得；
；
当时，设，
根据题意得，
，
解得，
．
；
设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克，
，
当时，，
当 时，元，
当时，．
当时，元，
，
当时，总费用最少，最少总费用为元，
此时乙种水果千克，
答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额元最少，最少总付款金额为元；
根据题意得：，
解得，
的最小值是． 

【解析】当时，设，由待定系数法可得；当时，设，可得；
设购进甲种水果为千克，当时，，可得元，当时，，元，即可得当时，总费用最少，最少总费用为元；
根据题意得：，可解得的最小值是．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

24.【答案】答案不唯一；
  ；；
         ，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
在和中，

≌，
；
的长为或． 

解：对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：或或或任写一个即可；
由可知，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
在和中

≌，
，
故答案为：，；
，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
在和中，
≌，
；
由折叠的性质可得，，
≌，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
由折叠的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，即可求解；
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得；
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：
根据题意得：，，
在中，
，且，得，
，将点坐标代入得：，
抛物线解析式为：；
整理得：
故抛物线解析式为：；


由知，抛物线的对称轴为：，顶点，设点坐标为其中，
则，，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为，
所以，；


由知：当取最大值时，，
，，
则，，，
设点到线段距离为，
由，
得：，故点到线段距离为；
由可知：当取最大值时，，
线段的解析式为：，
设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，
当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，此时对应的点的纵坐标为：，
将代入得：，
当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，
 联解
得：，化简得：，
由，得，
当线段与抛物线有两个交点时，． 

【解析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题．
由函数解析式，可以求出点、的坐标分别为，，在中由，可以求出点的坐标为，进而可以求出抛物线的解析式；
抛物线的对称轴为：，顶点，在中，由勾股定理得：，把三角形三边长用点，的坐标表达出来，整理得：，利用，求出的取值范围；
由，得：，求出点到线段距离为；
设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，联立抛物线方程，可求出，由，得，所以当线段与抛物线有两个交点时，