2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考（一）数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考（一）数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考（一）数学试题  一、单选题1．已知集合，，则（　　）A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B= D．A∪B=R【答案】A【解析】根据数轴判断两集合之间包含关系.【详解】因为，，所以A⊆B，选A.【点睛】本题考查集合之间包含关系，考查基本判断分析能力.2．设集合，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出，然后再与求交集.【详解】由，，则又，所以故选：C【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于基础题.3．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为       （　　）A．3 B．4 C．31 D．32【答案】A【解析】求出集合 ，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合 ，
∴集合A的真子集个数为 ．
故选A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．设集合，，则A∩B=（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据绝对值不等式的解法，常用数集的符号意义，一元二次函数的性质即可求出集合，再根据集合的交集运算即可求解．【详解】因为，，所以．故选：B．【点睛】本题主要考查集合交集的运算，涉及绝对值不等式的解法，二次函数的性质应用，属于基础题．5．已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．递增区间是 B．递减区间是C．递增区间是 D．递增区间是【答案】D【解析】根据绝对值的意义，将函数写成分段函数形式，作出图象即可判断．【详解】因为函数，作出函数的图象，如图所示：由图可知，递增区间是，递减区间是和．故选：D．【点睛】本题主要考查分段函数性质的应用，属于基础题．6．设的定义域为R，图象关于y轴对称，且在上为增函数，则，，的大小顺序是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图象的对称得函数是偶函数，这样可把自变量的值都化为正数，然后利用已知增函数的定义得出函数值的大小．【详解】∵的定义域为R，图象关于y轴对称，∴是偶函数，∴，又在上为增函数，且，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，利用偶函数的定义把自变量化到同一单调区间上，然后由单调性得出大小关系．7．已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D.【考点】函数的定义域.8．函数，在单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据二次项系数是否为零分类讨论，按照一次函数和二次函数的性质即可求出．【详解】当时，，函数在单调递减，不符合题意；当时，要函数在单调递增，只需，解得．故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次函数的性质应用，属于基础题．9．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元 B．513.7元 C．546.6元 D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款元，故选C10．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先计算，再计算．【详解】由题意，．故选：B.【点睛】本题考查分段函数，求值时要注意自变量的范围不同，选取的表达式可能就不相同．11．若函数的定义域为R，图象关于原点对称，在上是减函数，且，，，则使得的的取值范围是（    ）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）【答案】C【解析】根据函数的图象关于原点对称，可得知函数在上是减函数，即可利用其单调性在和上解不等式即可．【详解】函数的定义域为R，图象关于原点对称，在上是减函数，且，所以函数在上是减函数．当时，，显然不是的解．当时，，即，而，所以，解得；当时，，即，而，所以，解得．综上，的的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：C.【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．12．设函数，若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立，则实数m的取值范围为（    ）A．m≤0 B．0≤m<C．m<0或0<m< D．m<【答案】D【解析】将恒成立转化为g(x) = mx2－mx＋m－5 < 0恒成立，分类讨论m并利用一元二次不等式的解法，求m的范围【详解】若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立即可知：mx2－mx＋m－5 < 0在x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}上恒成立令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为当m＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上，得m < 5，故有m < 0当m>0时，有g(x) 开口向上且在[1,3]上单调递增∴在[1,3]上，得综上，实数m的取值范围为故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围  二、填空题13．函数的定义域为________【答案】【解析】根据偶次根式下被开方数大于等于零，分母不为零即可列式求解．【详解】由题意可得，，解得或．故答案为：【点睛】本题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题．14．已知则 _________【答案】【解析】根据换元法可求出函数的解析式，再利用代入法即可求解．【详解】令，则，所以，即，因此．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于基础题．15．若函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是_____．【答案】【解析】由已知得出单调增，然后由及可得结论．【详解】因为对任意，都有成立，所以为单调递增函数，因此，．故答案为：．.【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．16．已知函数，若在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为_________．【答案】【解析】先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满足的条件，解得结果.【详解】因为，作函数图象：由图象得【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 三、解答题17．已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|5＜x＜10}，C={x|x＞a}（1）求A∪B；（∁RA）∩B；   （2）若A∩C≠，求a的取值范围．【答案】（1）{x|8≤x＜10}（2）a＜8【解析】(1)根据数轴集合并集、交集以及补集定义求解，（2）集合数轴，确定A∩C≠满足的条件，解得a的取值范围．【详解】解：（1）A∪B={x|4≤x＜10}，∵（CRA）={x|x＜4或x≥8}，∴（CRA）∩B={x|8≤x＜10}（2）要使得A∩C≠，则a＜8【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．18．已知函数（1）写出的单调区间； （2）若，求相应的值．【答案】（1）单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞），单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]．（2）6或﹣6．【解析】（1）结合二次函数性质分段讨论函数单调区间，（2）根据分段函数分类求满足方程的解.【详解】解：（1）由题意知，当x＜0时，f（x）=（x+2）2，当x＞0时，f（x）=（x﹣2）2；∴函数的单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞），单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]． （2）∵f（x）=16，讨论下面两种情况：∴当x＜0时，（x+2）2=16，∴x=2（舍）或﹣6；当x＞0时，（x﹣2）2=16，∴x=6或﹣2（舍）．∴x的值为6或﹣6．【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.19．已知函数的定义域为集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）求出函数的定义域，即集合，将代入集合可得出集合，再利用集合的并集的定义得出集合；（2）由已知条件列不等式组可求出实数的取值范围；（3）分和两种情况，结合条件列不等式可求出实数的取值范围.【详解】（1）对于函数，有，解得，.当时，，因此，；（2），则有，解得，因此，实数的取值范围是；（3）当时，即当时，，此时，，合乎题意；当时，即当时，由于，则或，解得或，此时.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合的计算，以及利用集合的包含关系与交集运算求参数的取值范围，解题时要充分利用数轴，结合已知条件列不等式（组）进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．设函数的定义域为（﹣3，3），满足，且对任意，都有当时，，．（1）求的值；（2）判断的单调性，并证明；（3）若函数求不等式的解集．【答案】（1）-4（2）单调递减（3）（0，2]．【解析】试题分析：（1）通过赋值法，令x＝2，y＝1代入即得；（2）利用单调性定义证明即可；（3）由奇函数条件得到f(x－1)≤f(2x－3)，结合单调性和定义即可解得.试题解析：(1)在f(x)－f(y)＝f(x－y)中，令x＝2，y＝1，代入得：f(2)－f(1)＝f(1)，所以f(2)＝2f(1)＝－4.(2)f(x)在(－3,3)上单调递减．证明如下：设－3<x1<x2<3，则x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(－3,3)上单调递减．(3)由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，所以f(x－1)≤－f(3－2x)．又f(x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x－1)≤f(2x－3)，又f(x)在(－3,3)上单调递减，所以解得0<x≤2，故不等式g(x)≤0的解集是(0,2]．点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域(－3,3).21．已知函数(1)当时，在上求的最值；(2)若时恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) ； (2) 【解析】（1）根据二次函数单调性确定最值取法，（2）根据二次函数图像性质确定最小值取法，列对应不等式组，解得结果【详解】解：（1）当时，的对称轴为，则在上增，在上减又（2）的对称轴为，抛物线开口向下 【点睛】本题考查二次函数图像与最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22．已知二次函数．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为，求的解析式；（2）求（1）中的最大值；（3）若函数在[2，4]上是单调增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）0（3）m≤3或m≥8【解析】(1)根据对称轴与定义区间位置关系，分类求解最小值，按分段函数形式写的解析式；（2）根据一次函数与二次函数性质分段讨论函数最大值，最后取最大值中最大值，（3）先转化：f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，再根据对称轴以及单调性列方程组，解得实数的取值范围．【详解】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=，对称轴为x=．①若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．②若，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=．③若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．  （2）由（1）知g（m）=．当m＜﹣2时，g（m）=2m＜﹣4，当﹣2≤m≤2，g（m）==当m＞2时，g（m）=0．综上g（m）的最大值为0． （3）要使函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，则f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，∴，所以或，解得m≤3或m≥8．【点睛】研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论.