广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期期中段考数学（理）试题（含答案与解析）

南宁三中2020~2021学年度上学期高二段考

理科数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知命题，,则为（    ）

 A．，  B．，

 C．， D．，

2．甲乙两队积极准备一场篮球比赛，根据以往的经验知甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队获胜的概率是（   ）

 A． B． C． D．

3．过点，斜率是3的直线方程是（   ）

A．      B． C． D．

4．已知命题，使；命题，都有，则下列结论正确的是（   ）

 A．命题“”是真命题；       B．命题“”是假命题；

 C．命题“”是假命题；      D．命题“”是假命题．

5．在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是

 A．若且，则     

 B．若，，，则

 C．若且，则          

 D．若不垂直于，且，则必不垂直于

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

 A． B．1 

 C． D．

7．已知命题命题，

若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是(    )

 A． B． 

 C． D．

8．执行如右图所示的程序框图,则输出的m的值为(　　)

 A．5  B．6   

 C．7  D．8

9．我国古代数学家赵爽给出了勾股定理的绝妙证明，下图是赵爽的弦图,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色、黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股+(股 - 勾)2=4×朱实+黄实=弦实，化简得 勾2+股2=弦2，设其中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为                                                          

 A．866  B．500 

 C．300  D．134

10．已知函数，则下列结论正确的是

 A．的最大值为1           B．的最小正周期为 

 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称

11．平行四边形中，，点M在边CD上，则的最大值为（   ）

  A． B． C． D．

12．在中，是边上两点，构成以2为公比的等比数列， ，则三角形的面积为（    ）

 A．31.2 B．32.4 

 C．33.6 D．34.8

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知实数x,y满足约束条件，则的最小值为_________

14．某班的全体学生某次测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则该次测试该班的平均成绩是__________（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

第14题图                                  第15题图

15．如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是_________．

16．在等腰三角形中，，将它沿BC边上的高AD翻折，使为正三角形，则四面体ABCD的外接球的表面积为_________．

三、解答题

17．学生会有共名同学,其中名男生名女生,现从中随机选出名代表发言.求：

列出所有可能的抽取结果，并求同学被选中的概率；    

至少有名女同学被选中的概率.

18．若数列的前n项和为，首项且．

   （1）求数列的通项公式；

   （2）若，令，求数列的前n项和．

19．某高新技术企业近5年的年研发费用(百万元)与企业年利润(百万元)的统计数据如下表:

（1）求出y关于x的线性回归方程 ；

（2）如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少?

参考公式:.

20．在中，三个内角所对的边分别为a,b,c，若，且．

   （1）求角B的大小；

   （2）若，求的周长的取值范围．

21．如图，在长方形中，，，点是的中点．将沿 折起，使平面平面，连结、、．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

22．已知点，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的倍．

（1）求曲线E的方程；

（2）已知，设直线交曲线E于A、C两点，直线交曲线E于B、D两点，C、D两点均在轴下方．当CD的斜率为时，求线段AB的长．

南宁三中2020~2021学年度上学期高二段考

理科数学试题答案

1．C【解析】命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“，”．故选：C．

2．B

3．D

4．B【解析】命题p是假命题，命题q是真命题，所以B正确．

5．C【解析】在A中，若m∥á且á∥â，则m∥â或m⊂â，故A错误；在B中，若á⊥â，m⊂á，n⊂â，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥á且á∥â，则由线面垂直的判定定理得m⊥â，故C正确；在D中，若m不垂直于á，且n⊂á，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．

6．C【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，其直观图如图，

则其体积，故选C。

7．C【解析】若成立，则；若成立，则，

因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，所以.

8．B【解析】始值S=0,m=1,进入循环,S=2,m=2; S=10,m=3; S=34,m=4; S=98,m=5; S=258,m=6, 此时S>100,不满足循环条件,退出循环．输出的m的值为6,故选B．

9．D【解析】因为勾股比为1∶,不妨设勾为1,则股为,大正方形的边长为2,小正方形的边长为．设落在黄色图形内的图钉数为n,则有，解得n≈134．

10．D【解析】因为 所以函数的最大值为2，最小正周期为，故A、B不正确；由得，当时，所以函数的图象关于点对称，故C不正确；由，得，所以函数的图象关于直线对称，故D正确．故选D．

11．A【解析】方法一：如图，在平行四边形中，

因为，所以，

所以，又，所以，设，则

，当时，取得最大值，为2，故选A．

方法二：以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的

平面直角坐标系．因为，

所以，所以，又，所以，所以，设，所以，所以 ，当时，取得最大值，为2，故选A．

12．B【解析】由知，又，故∽，从而，又由可知，于是，而，在中，由余弦定理可算得，进而得.

13．4【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

作出直线3x+2y=0并平移,由图知当直线

3x+2y - z=0经过点A(0,2)时,

z=3x+2y取得最小值,即zmin=3×0+2×2=4．

14．68【详解】平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．

∴平均分为：．

15．【解析】取BC的中点D，连接D1F1，F1D,∴D1B∥DF1,∴∠DF1A

或其补角就是BD1与AF1所成角,设BC＝CA＝CC1＝2，则AD，

AF1，DF1,在△DF1A中，由余弦定理得cos∠DF1A，

16．【解析】翻折后所得的四面体的直观图如图所示，

易知平面，

设的重心为，则

外接球的半径，从而外接球的表面积为．

17．【解析】选两名代表发言一共有,,共种情况，---------3分

其中被选中的情况是共种.

所以被选中的概率为.     ------------------------6分

不妨设四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:

共种，

则至少有一名女同学被选中的概率为. ------------------------10分

18．解：（1）当时，，则，

当时，，

即或，

或．------------------------6分

   （2）

    ------------------------12分

19．【解析】（1）由题意可知==，=，

，，

∴，∴，

∴所求回归直线的方程为=．------------------------8分

（2）在（1）中的方程中，令，得==，

故如果该企业某年研发费用投入8百万元，

预测该企业获得年利润为9.5百万元．-------------12分

20．解：（1），

，

，

，故角B的大小为．------------------------6分

（2）根据余弦定理可知

，

，

则的周长的取值范围是．------------------------12分

21．【解析】（1）证明：∵,

∴,,∴,∴

又平面平面,平面平面,

∴平面，又平面，所以，

又，，所以平面BDE.------------------------5分

（2）作的中点,连结,∵,∴,

又平面平面,∴平面,过作直线,

以、、分别为为轴,轴,轴建立空间直角坐标系

则,

平面的法向量,

又,,设平面的法向量为,

,,即

平面的法向量

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．------------------------12分

22．解：（1）设曲线上任意一点坐标为，

由题意得，

整理得，即．------------------------4分

 （2）由题意知，且两条直线均过定点，

设曲线的圆心为，则，线段的中点为，则直线，

设直线，由得点，

由圆的几何性质得，

而，

解得或，又两点均在轴下方，所以直线，

由，解得或，

不失一般性，设，

由，消去得     ①

方程①的两根之积为1，所以点的横坐标，

又因为点在直线上，解得，

直线，所以，同理可得，

所以线段的长为.   ------------------------12分