2022-2023学年河南省金太阳高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年河南省金太阳高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥
B. 球体的截面都是圆面
C. 正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形
D. 正三棱锥的四个面都是等边三角形

5.  已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则一定是(    )

A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

6.  在正方形中，，，分别为，的中点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  一个正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，与直线异面的直线是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知是一个点，，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是(    )

A. 若，，，则与可能平行或异面
B. 若，，，则
C. 若，，则与可能平行或相交
D. 若，，，则

11.  如图，在中，为靠近点的四等分点，是的中点，则(    )

A.
B.
C.
D.

12.  在正方体中，，，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则(    )

A. 当时，平面
B. 当时，平面
C. 当时，存在点，使，，，四点共面
D. 当时，存在点，使，，三条直线交于同一点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知复数满足，则的实部为______ ， ______ ．

14.  如图，若等腰梯形与重合是水平放置的梯形的直观图，则梯形的面积为______ ．

15.  如图，在正六边形中，向量在向量上的投影向量是，则 ______ ．

16.  广州国际金融中心大楼，简称“广州”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为______ 米

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，．
求与夹角的余弦值；
若，求的值．

18.  本小题分
已知复数与互为共轭复数．
判断在复平面内对应的点在第几象限，并说明理由；
在复数范围内，解关于的一元二次方程．

19.  本小题分
六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸单位：如图所示．
求该六角螺帽的体积；
求该六角螺帽的表面积．

20.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，．
求；
若，求周长的取值范围．

21.  本小题分
如图，正方体的棱长为，是的中点，点在棱上，且．
作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；
求中所得截面的周长．

22.  本小题分
在某郁金香主题公园景区中，春的气息热烈而浓厚，放眼望去各色郁金香让人心潮澎湃，黑色“夜皇后”低调而奢华；白色“塔克马山“叶片叠层丰富；姿态雍容华贵；粉色“香奈儿”微微张开花瓣，自带芬芳园区计划在如图所示的区域内种植樱花和风信子，让游客在花的海洋里有不一样的体验，其中区域种樱花，区域种植风信子为了满足游客观赏需要，现欲在射线，上分别选一处，，修建一条贯穿两区域的直路，与相交于点，其中每百米的修路费用为万元，已知，百米，设．
试将修路总费用表示为的函数；
求修路总费用的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由复数的乘法运算法则直接求解．
本题考查复数的乘法运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得
所以．
故选：．
根据正弦定理求解即可．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，，，，
，，
则．
故选：．
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，计算求出值．
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是两个底面重合的圆锥，故A错误；
对于，球体的截面都是圆面，故B正确；
对于，正四棱台的侧面展开图不是一个等腰梯形，故C错误；
对于，正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，故D错误．
故选：．
根据简单几何体和简单旋转体的结构特征，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了简单几何体和简单旋转体的结构特征，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由正弦定理和，
可得，
又，可得，
即为，
由于，且，，可得，
即有，
则为直角三角形．
故选：．
运用正弦定理和二倍角的正弦公式、诱导公式可得结论．
本题考查三角形的形状判断，注意运用正弦定理和二倍角公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题知，在正方形中，，
所以以为原点，，所在直线分别为，轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，

由题可知，，由于，则，
则，，
所以．
故选：．
建立坐标系，用坐标表示向量即可求得数量积．
本题考查向量的应用，向量的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积．
故选：．
运用圆台的侧面积公式计算即可．
本题考查圆台的侧面积公式，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，，，如图所示：


则，故，球的半径，
故体积为．
故选：．
将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，，，可得则，得到球半径，计算体积得到答案．
本题考查空间几何体的外接球的体积的求法，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，由平面展开图还原正方体的直观图，如图：
其中，点、重合，
与直线异面的直线有、和，而直线与平行，
故选：．
根据题意，将正方体的展开图还原为正方体的直观图，依次分析选项即可得到答案．
本题考查空间直线之间的位置关系，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，，，则与可能平行或异面，故A正确；
若，，，则或与相交，故B错误；
若，则，又，则与无公共点，则与不可能相交，故C错误；
若，，则，，又，则，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：为靠近点的四等分点，是的中点，，，
、、三点共线，，
、、三点共线可得，
由及平面向量基本定理可得，，
代入得．
故选：．
由、、三点共线可得，由、、三点共线可得，再由平面向量基本定理可得关于，的方程组，从而求出，即可．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，易知平面，A错误；
当时，，，分别为，，的中点，连接，，；
由图易知四边形与均为平行四边形，则，，
所以，则，，，四点共面，平面，B正确；

如图，延长与的延长线交于点，连接与的交点即为点，
则，，，Ⅰ四点共面，C正确；

如图，连接并延长与的延长线交于点，连接与的交点即为点，
则存在点，使，，三条直线交于同一点，D正确．

故选：．
依据每个选项的条件，结合图形可判断其正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查空间想象能力，考查推理论证能力，属中档题．
 

13.【答案】  

【解析】解：，实数为，
．
故答案为：；．
根据已知条件，结合复数模公式，以及实数的定义，即可求解．
本题考查复数模的求法，考查转化思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知，等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，
所以梯形的面积为．
故答案为：．
求出等腰梯形的高，计算等腰梯形的面积，再根据原平面图形与直观图的面积比求解即可．
本题考查了原平面图形与直观图的面积计算问题，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正六边形边长为，
则与的夹角为，
故在向量上的投影向量为，
所以．
故答案为：．
由在向量上的投影向量公式计算即可．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：作出图形，如图所示：

由题意得，，，且，，，米，
设广州国际金融中心大楼的高度为，则，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由图形得，即，
，
，解得，
故广州国际金融中心大楼的高度为米．
故答案为：．
结合题意作出图形，利用余弦定理可得，，求解即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：向量，，设求与夹角为，，
则，故与夹角的余弦值为．
若，则，
求得． 

【解析】由题意，利用两个向量的夹角公式，求出与夹角的余弦值．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值．
本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为复数与互为共轭复数，所以，，
所以在复平面内对应的点在第二象限；
在复数范围内，一元二次方程为，所以，
解方程得，即或． 

【解析】根据共轭复数的定义求出、的值，再判断在复平面内对应点位于第几象限；
利用判别式，在复数范围内求一元二次方程的解即可．
本题考查了共轭复数的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积：
；
六角螺帽的表面积：
． 

【解析】六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，计算即可；
根据棱柱和圆柱的表面积公式计算六角螺帽的表面积得到答案．
本题考查了棱柱和圆柱的表面积与体积的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
所以，
则．
由，得，
则，
解得，当且仅当时，等号成立，
又因为，
所以，
则周长的取值范围为 

【解析】由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求的值．
由及基本不等式可求得，又，即可求解周长的取值范围．
本题考查了正弦定理，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：如图所示，五边形即为所求截面．
作法如下：连接并延长交的延长线于点，连接交于点，
交的延长线于点，连接交于点，连接，，
所以五边形即为所求截面．
因为，所以，得．
因为，所以，得，
则，，所以，
，，
则截面的周长为． 

【解析】如图所示，五边形即为所求截面，得到答案．
根据相似得到各线段长度，再计算周长得到答案．
本题考查棱柱的相关知识，属于中档题．
 

22.【答案】解：中，由余弦定理得，，即，，
中，，所以，
中，由正弦定理得，，即，
所以，
因为每百米的修路费用为万元，
所以修路总费为：
，其中；
因为，
设，，所以，，，所以，
，；
，
所以在上单调递减，当，即时，取得最小值为，
所以修路总费用的最小值为万元． 

【解析】中由余弦定理求得，中由正弦定理求得，再求修路总费；
利用三角恒等变换化简，利用换元法求的最小值即可．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．