专题14 角平分线（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

这是一份专题14 角平分线（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题14 角平分线
一、单选题
1．（2022·全国九年级课时练习）如图所示，AB，CD相交于点M，ME平分，且，则的度数为

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出，再根据角平分线的性质得到，由此即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵ME平分，
∴，
∴
故选C．
2．（2022·株洲市景弘中学八年级月考）如图，，射线平分，以为一边作，则（ ）

A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°
【答案】D
【分析】
根据∠AOB=60°，射线OC平分∠AOB，可得∠BOC=30°，分OP在∠BOC内，OP在∠AOC内，两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：∵∠AOB=60°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=AOB=30°，
又∠COP=15°
①当OP在∠BOC内，

∠BOP=∠BOC-∠COP=30°-15°=15°，
②当OP在∠AOC内，

∠BOP=∠BOC+∠COP=30°+15°=45°，
综上所述：∠BOP=15°或45°．
故选：D．
3．（2022·全国九年级课时练习）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分，于点O，则与互补的角是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线定义和垂直定义得出，根据补角定义求出即可．
【详解】
因为OC平分，所以，因为于点O，所以，，因为，所以，因为，所以，所以与互补的角是．
故选：D．
4．（2022·全国）如图，在中，平分，交的延长线于点D．若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据°，，，结合三角形内角和可得；再根据角平分线定义得到，即可求解．
【详解】
∵，
∴，∵（对顶角相等），
∴，∵平分，
∴．
5．（2022·山东八年级期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　）

A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2，即可得出结果．
【详解】
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，
即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=4，
∴EF=8，
由勾股定理得：CE2+CF2=EF2=64，
故选：D．
6．（2022·四川绵阳市·八年级期末）如图，在竖直墙角中，可伸长的绳子的端点固定在上，另一端点在上滑动，在保持绳子拉直的情况下，，的平分线与交与点，，当时，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意得：，则有，由角平分线的性质可得，由三角形的外角性质可得，则有，代入求值即可；
【详解】
解：由题意得：，
∴，
∵的平分线与交与点，
∴，
∵是的一个外角，
∴
，
，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
．
故选：．
7．（2022·浮梁县第一中学九年级期中）如图，点O为直线AB上一点，射线OC，OD，OE都在直线AB的上方，∠COD＝90°，下列说法：①若OD平分∠BOE，则∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个；②若OC平分∠AOE，则有OD平分∠BOE；③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE；④若OE平分∠BOC，则有∠AOC＝2∠DOE，其中结论正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．依据余角的定义以及角平分线的定义，即可得到正确结论．
【详解】
解：①若OD平分∠BOE，则∠BOD＝∠DOE，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠DOE＝90°，
又∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＋∠DOE＝180°，
∴∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个，
故①正确；
②若OC平分∠AOE，则∠AOC＝∠EOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠COE＋∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠DOB，
∴OD平分∠BOE，
故②正确；
③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE不一定成立，
故③错误；
④若OE平分∠BOC，则∠BOE＝∠BOC＝（180°−∠AOC）＝90°−∠AOC，
又∵∠DOB＝90°−∠AOC，
∴∠DOE＝∠BOE−∠BOD＝（90°−∠AOC）−（90°−∠AOC）＝∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOE，
故④正确；
故选：C．
8．（2022·江苏苏州草桥中学）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交与E，交于F，过点O作于D，下列四个结论：其中正确的结论是（ ）
①；②；③设，则； ④不能成为的中位线

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故③错误；根据E、F不可能是三角形ABC的中点，即可判断FE不可能是三角形ABC的中位线故④正确.
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•(AE+AF)= mn；故③错误；
∵E、F不可能是三角形ABC边的中点，
∴FE不可能是三角形ABC的中位线，故④正确.
故选C．


9．（2022·湖南八年级期中）已知，OC为一射线，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC，则∠MON是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
分射线OC在∠AOB内部和外部两种情况，讨论求解即可得到答案.
【详解】
解：当射线OC在∠AOB内部时，如图所示
∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC
∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM
又∵∠AOB=90°
∴2（∠NOC+∠COM）=90°
∴∠MON=∠NOC+∠COM=45°

当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为锐角时
∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC
∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM
又∵∠AOB=90°
∴∠AON+∠NOB=90°
∴∠NOB+∠BOM+∠MOC+∠NOB =90°
∴∠NOB+∠BOM=45°
∴∠MON=45°

当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为直角时
此时ON与OB重合，
∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC
∴∠MON=45°

当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为钝角时
∵∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC
∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM
又∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOC=360°-90°=270°
∴∠AON+∠NOC+∠COM+∠BOM=270°
∴∠NOC+∠COM=135°
∴∠MON=135°

当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为平角时
同理可以求得∠MON=135°
综上所述，∠MON=45°或∠MON=135°
故选C.

10．（2022·湖北九年级期中）如图，直线，点，分别是，上的动点，点在上，，和的角平分线交于点，若，则的值为（ ）．

A．70 B．74 C．76 D．80
【答案】C
【分析】
先由平行线的性质得到∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出m即可．
【详解】
解：过C作CH∥MN，

∴∠6＝∠5，∠7＝∠1＋∠2，
∵∠ACB＝∠6＋∠7，
∴∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，
∵∠D＝52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝180°−52°＝128°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴m°＝∠1＋∠2＋∠5＝2∠1＋∠5，∠4＝∠1＋∠D＝∠1＋52°，
∴∠3＝∠4＝∠1＋52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝∠1＋∠5＋∠1＋52°＝2∠1＋∠5＋52°＝m°＋52°，
∴m°＋52°=128°，
∴m°＝76°．
故选：C．
二、填空题
11．（2022·仪征市实验初中九年级月考）如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起，若CE、CD分别平分∠ACD与∠ECB，则计算∠ECD=___________度．

【答案】45
【分析】
由题意可知，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】
解：由题意可知，
又∵平分
∴
故答案为45
12．（2022·辽宁葫芦岛市·）如图，AC∥BD，∠CAB，∠DBA的平分线交于点P，则∠P的大小是______．

【答案】90°
【分析】
根据AC∥BD，得到∠CAB+∠ABD=180°，再由角平分线的定义得到，，最后根据∠P+∠PAB+∠PBA=180°求解即可．
【详解】
解：∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵∠CAB，∠DBA的平分线交于点P，
∴，，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：90°．

13．（2022·全国九年级课时练习）如图，O是直线AB上一点，OM平分，ON平分，，则________，________，图中互补的角有________对．

【答案】56 118 5
【分析】
利用角平分线的性质和领补角的定义列式可运算和，根据补角的概念去寻找即可．
【详解】
∵ON平分，，
∴，
∴，
∵OM平分，
∴，
∴，
图中互补的角有：和，和，和，和，和，共5对．
故答案为：56；118；5
14．（2022·上海同济大学附属存志学校期末）如图，平分，，与的差为80°，则__________．

【答案】120°
【分析】
观察图形可知，结合已知相等角可得到，有角平分线的性质可得到和的倍数关系，结合与的差为80°，求出，进而求出的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵与的差为80°，即，
∴，
∴．
故答案为：120°
15．（2022·重庆实验外国语学校）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝27°，则∠BOD的大小为_____．

【答案】36°
【分析】
根据直角的定义可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC＝∠AOF−∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．
【详解】
解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝27°，
∴∠EOF＝∠COE−∠COF＝90°−27°＝63°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝63°，
∴∠AOC＝∠AOF−∠COF＝63°−27°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故答案为：36°．
三、解答题
16．（2022·福建省厦门第二中学九年级二模）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B=70．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交CD于点E；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
（2）求∠AEC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）125°
【分析】
（1）根据角平分线的画法直接作图即可；
（2）利用角的等量代换运算求解即可．
【详解】
（1）解：如图所示：

图即为所求；
（2）∵，
∴
∵，
∴
∴
17．（2022·湖北九年级月考）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．

【答案】证明见解析．
【分析】
先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
平分，平分



，即
．
18．（2022·全国九年级课时练习）如图，中，的平分线交于点D，交的外接圆于点E，的平分线交于点F，求证：．

【答案】见解析
【分析】
先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF和∠BAE=∠CAE，再证明∠CBE=∠BAF；然后由外角定理和角之间的关系可得到∠EBF=∠EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可．
【详解】
BF平分∠ABC，
∠ABF=∠CBF，
AE平分∠BAC，
∠BAE=∠CAE，
又∠CAE=∠CBE，
∠BAE=∠CBE，
∠EBF=∠CBE+∠CBF，∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∠EBF=∠EFB，
BE=EF．
19．（2020·甘肃兰州市·九年级月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CEF=∠CFE．

【答案】见解析
【分析】
利用三角形高的定义，易证∠ADC=90°，再根据同角的余角相等，可证得∠ACD=∠B，利用角平分线的定义可知∠CAE=∠BAE，然后利用三角形外角的性质，可证得结论
【详解】
证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B
∵AE是角平分线，∴∠CAE=∠BAE，∠CFE=∠CAE+∠ACD．
∴∠CEF=∠BAE+∠B，即∠ CFE=∠CEF．
20．（2020·上海市静安区实验中学）在中，已知，，于，平分；求的度数．

【答案】5°
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义得出∠CAD的度数，根据AE⊥BC于E求出∠CAE的度数，进而可得出结论．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°．
21．（2019·北京101中学九年级月考）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.
解决问题：

（1）观察“规形图”，试探究与，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ.如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则_____.
Ⅱ.如图③，平分，平分，若，，求的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）；=
【分析】
（1）连接并延长至点，根据三角形外角性质即可得到与，，之间的数量关系；
（2）Ⅰ、由（1）可得，，再根据，，即可得出的度数；
Ⅱ、根据（1），可得，，再根据平分，平分，即可得出的度数.
【详解】
解：（1）如图①，连接并延长至点，根据外角的性质，可得
，
，
又，
，
；

（2）Ⅰ.由（1），可得；
又，，
，
故答案为：；
Ⅱ.由（1），可得，
，
，
又平分，平分，
，
.
22．（2019·全国九年级专题练习）已知：如图所示（1），和共顶点，重合，为的平分线，为的平分线，， .

（1）如图所示（2），若，，则_______.
（2）如图所示（3），若绕点逆时针旋转，且，求.
（3）如图所示（4），若，绕点逆时针旋转，平分，以下两个结论：①为定值；②为定值；请选择正确的结论，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）①.
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质即可得出∠MON＝∠AOD＋∠BOC，进而求出即可；
（2）∠BOD＝γ，而，，进而得出即可；
（3）利用已知表示出∠COE和∠AOD，进而得出答案．
【详解】
解：（1）（1）∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β，α＝90゜，β＝30゜，
∴∠MON＝α＋β＝60°；
故答案为60°；
（2），，；
（3）①,
设，则，，
∴.
23．（2020·全国九年级专题练习）(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由。
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；

【答案】（1）125°；（2）∠BPC=90°﹣∠A，理由见解析；（3）∠BPC =180°﹣
【分析】
（1）借助角平分线的性质即可得到∠PBC=∠ABC以及∠PCB=∠ACB，然后在△BPC中进一步分析可找出∠BPC与∠A的关系，进而求出∠BPC的度数；
（2）根据三角形内角和定理可知∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB），根据角平分线的定义可用（∠DBC+∠ECB）表示∠PBC+∠PCB，再利用三角形外角性质得到∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，即可求出∠BPC与∠A的关系；
（3）延长BA、CD相交于点Q，由（2）的分析可直接得出∠P与∠Q的关系，而∠BAD与∠CDA是△ADQ的外角，再结合三角形外角性质即可解答.
【详解】
（1）解：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A
=90°+35°
=125°
故答案为：125°
（2）∠BPC=90°﹣∠A
理由如下：
∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）
=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°﹣（∠A+180°）
=90°﹣∠A
（3）延长BA、CD相交于点Q，如图

∠BPC=90°﹣∠Q
∴∠Q=180°﹣2∠BPC
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠BPC =360°﹣2∠BPC
∴∠BPC =180°﹣
故答案为：∠BPC =180°﹣