广东省广州市第八十六中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题(无答案)

2021—2022学年第二学期期末教学质量监测

高一数学

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数（为虚数单位），则的虚部是（    ）

A．1 B． C．2 D．

2．某田径队有男运动员56人，女运动员42人，若采用比例分配的分层随机抽样方法在这支田径队中抽取28人进行体质测试，则抽取男运动员的人数为（    ）

A．16 B．14 C．12 D．10

3．某人在射击比赛中连续射击2次，事件“2次都不命中”的对立事件是（    ）

A．至多有1次命中 B．2次都命中 C．只有1次命中 D．至少有1次命中

4．已知向量，，若，则（    ）

A．5 B． C． D．10

5．在3，5，7，11，13，17这6个数中随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．参加某次数学竞赛的15名学生的成绩（单位:分）如下:75，71，73，86，88，76，80，81，96，84，50，99，83，92，91，则这15人成绩的第80百分位数是（    ）

A．90 B． C．91 D．

7．若圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥侧面展开图的面积是（    ）

A． B． C． D．

8．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式．根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）

A．

B．的最大值为2

C．复数在复平面内对应的点位于第二象限

D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．点在以原点为圆心，以3为半径的圆上

C．若，则 D．复数对应的点位于第二象限

10．下列关于概率的命题，正确的是（    ）

A．对于任意事件，都有

B．必然事件的概率为1

C．如果事件与事件互斥，那么一定有

D．若，是一个随机试验中的两个事件，则

11．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题，其中正确的命题是（    ）

A．没有水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形的面积为定值

C．棱始终与水面平行 D．当时，是定值

12．在所在平面内，点满足，其中，，，，，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，直线一定经过的重心

B．当时，直线一定经过的外心

C．当，时，直线一定经过的垂心

D．当，时，直线一定经过的内心

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知一组数据:1．3．5，7，9．11．则这组数据的方差为________．

14．如图，平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，若，，则矩形的面积为________．

15．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2m到12m之间，把获得的所有数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为________，如果有4名学生的成绩在10m到12m之间，则参加“掷实心球”项目测试的人数为________．（第1空2分，第2空3分）

16．如图，在三棱锥中，底面，，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在一个盒子中装有4支圆珠笔，其中2支一等品（记为，），2支二等品（记为，）．现从这个盒子中不放回地依次随机抽出2支圆珠笔．

（1）用集合的形式写出试验的样本空间；

（2）求抽出的2支圆珠笔都是一等品的概率．

18．（12分）

已知平面向量，满足，，．

（1）求与的夹角；

（2）求．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，侧面底面，为正方形，是正三角形，，是的中点．

（1）求证:平面；

（2）求二面角的正切值．

20．（12分）

在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，的周长为，求的面积．

21．（12分）

如图，在四棱锥中，，平面，，，，，为中点．

（1）证明:平面；

（2）过点作平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积．

22．（12分）

某旅游景区内有一块等边三角形的景点，其中．

（1）如图1，为迎接观光游，拟修建观赏小径，，其中，，分别在，，上，且，问是否为定值？说明理由；

             图1

（2）如图2，为满足游客需求，拟修建两条商业街和，其中点在上，点在上．若为中点，且，，求的最大值及此时的值．

               图2