广东省广州市天河区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021学年第一学期天河区期末考试

高一数学

一、选择题

1. 下列函数中，既在R上单调递增，又是奇函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】逐一判断每个函数的单调性和奇偶性即可.

【详解】是奇函数，但在R上不单调递增，故A不满足题意；

既在R上单调递增，又是奇函数，故B满足题意；

、不是奇函数，故C、D不满足题意；

故选：B

2. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.

【详解】由题，故A错；

∵，，∴，B正确；

，C错；

，D错；

故选:B

3. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指、对数函数的知识判断出的范围即可.

【详解】因为，，

所以

故选：B

4. 已知是锐角，那么是（    ）．

A 第一象限角 B. 第二象限角

C. 小于180°的正角 D. 第一或第二象限角

【答案】C

【解析】

【分析】由题知，故，进而得答案.

【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.

其中D选项不包括，故错误.

故选：C

5. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映，y函数关系的是（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察实验室是指数型函数图象

【详解】由题中表格数据画出散点图，如图所示，

观察图象，类似于指数函数

对于A，是一次函数，图象是一条直线，所以A错误，

对于B，是指数型函数，所以B正确，

对于C，是对数型函数，由于表中的取到了负数，所以C错误，

对于D，是反比例型函数，图象是双曲线，所以D错误，

故选：B

6. 设，，若，则ab的最小值是（    ）

A. 5 B. 9 C. 16 D. 25

【答案】D

【解析】

【分析】结合基本不等式来求得的最小值.

【详解】，，

，

，

当且仅当时等号成立，由.

故选：D

7. 使不等式成立的充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答.

【详解】解不等式得：，

对于A，因，即是成立的充分不必要条件，A正确；

对于B，是成立的充要条件，B不正确；

对于C，因，且，

则是成立的不充分不必要条件，C不正确；

对于D，因，则是成立的必要不充分条件，D不正确.

故选：A

8. 一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（    ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，写出函数解析式，计算f（t）+f （t+1）+f （t+2）的值．

【详解】根据题意，设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），则A＝2，k＝1，

因为T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，

又因为t＝0时，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，

又因为φ＜0，所以φ，

所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；

所以f （t）sint﹣cost+1，

f （t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，

f （t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，

所以f （t）+f （t+1）+f （t+2）＝3．

故选：C．

二、选择题

9. 下列几种说法中，正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. 命题“，”的否定是“，”

C. 若不等式的解集是，则的解集是

D. “”是“不等式对一切x都成立”的充要条件

【答案】BC

【解析】

【分析】利用充分必要条件的定义可判断A；由命题的否定可判断B；由不等式的解法可判断C；由不等式恒成立求出k的取值范围，再由充分必要条件的定义可判断D．

【详解】对于A，x＞y不能推出x2＞y2，例如x＝﹣1，y＝﹣2，

x2＞y2也不能推出x＞y，例如x＝﹣2，y＝﹣1，故“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要，故A错误；

对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确；

对于C，若不等式x2+ax﹣b＜0的解集是（﹣2，3），则﹣2，3是方程x2+ax﹣b＝0的两个根，

由根与系数的关系可得﹣a＝﹣2+3，﹣b＝﹣6，可得a＝﹣1，b＝6，

所以ax2﹣x+b＞0即为﹣x2﹣x+6＞0，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，可得不等式ax2﹣x+b＞0的解集为（﹣3，2），故C正确；

对于D，不等式对一切x都成立，当k＝0时，不等式0恒成立，

当k≠0时，＝k2﹣4×2k×（）＜0，解得﹣3＜k＜0，

综上，k∈（﹣3，0]，所以“k∈（﹣3，0）”是“不等式对一切x都成立”的充分不必要条件，故D错误．

故选：BC．

10. 下列几种说法中，正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若且，则的最小值是2

C. 时，的最小值是

D. 取得最大值时，

【答案】AD

【解析】

【分析】利用不等式的性质判断A，利用基本不等式判断B，C，D，注意基本不等式成立的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可．

【详解】对于选项A，，，

又，，故选项A正确，

对于选项B，当时，，

，故选项B错误，

对于选项C，，，当且仅当即时，等号成立，

显然取不到，所以等号不能成立，故选项C错误，

对于选项D：由可得，

，当且仅当即时，等号成立，故选项D正确，   

故选：AD

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 直线是函数图象的一条对称轴

B. 函数在区间上单调递减

C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象

D. 若对任意的恒成立，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】直接利用函数的关系式，利用正弦型函数的性质的应用和恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论．

【详解】函数，

对于A：f（）＝＝1，故A正确；

对于B：由于，所以，故函数在该区间上有增有减，故B错误；

对于C：将函数的图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，故C正确；

对于D：函数，整理得，即求出函数的最小值即可，

由于，

所以，故当x＝0时取得最小值，故a＜﹣1，故D正确．

故选：ACD．

12. 已知函数，令，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数的单调递增区间为

B. 当时，有3个零点

C. 当时，的所有零点之和为-1

D. 当时，有1个零点

【答案】BD

【解析】

【分析】画出的图象，然后逐一判断即可.

【详解】的图象如下：

由图象可知，的增区间为，故A错误

当时，与有3个交点，即有3个零点，故B正确；

当时，由可得，由可得

所以的所有零点之和为，故C错误；

当时，与有1个交点，即有1个零点，故D正确；

故选：BD

三、填空题

13. 函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.

【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.

故答案为：.

14. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先由三角函数定义得，再由正切的两角差公式计算即可.

【详解】由三角函数的定义有，

而.

故答案为：

15. 已知函数奇函数，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】利用奇函数的性质进行求解即可.

【详解】因为是奇函数，所以有，

故答案为：

16. 若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.

【详解】当时，，符合题意，

当时，二次函数的判别式为：，

若，此时函数的零点为，符合题意；

当时，只需，所以且；

当时，，经验证符合题意；当时，，经验证符合题意；

所以实数a的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17. 已知集合，，.

（1）求，．

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)解不等式化简集合B，再利用交集、并集、补集的定义直接计算作答.

(2)由已知可得，再利用集合的包含关系列式计算作答.

【小问1详解】

解得：，则，而，

所以，或，.

【小问2详解】

，因，则，于得，

所以实数a的取值范围是.

18. 已知．

（1）若，求的值；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式化简可得，然后利用二倍角公式求解即可；

（2）由条件可得，，然后根据求解即可.

【小问1详解】

因为，所以

【小问2详解】

因为，

所以，

所以

19. 已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）解不等式．

【答案】（1）f（x）为奇函数，证明见解析；   

（2）当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）．

【解析】

【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出f（﹣x）与f（x）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论；

（2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得x的范围．

【小问1详解】

对于函数，

由，求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1），

再根据

可得f（x）为奇函数．

【小问2详解】

不等式f（x）＞0，即loga（x+1）＞loga（1﹣x），

当a＞1时，可得x+1＞1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得0＜x＜1．

当0＜a＜1时，可得x+1＜1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得﹣1＜x＜0，

综上，当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）．

20. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）若在区间上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围．

【答案】（1）,   

（2）

【解析】

【分析】（1）用诱导公式将函数化为，然后可解；

（2）根据m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.

【小问1详解】

所以的最小正周期，

由，解得，

所以的单调递增区间为.

【小问2详解】

令，得

因为在区间上存在唯一的最小值为-2，

所以，，即

所以实数m的取值范围是.

21. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）．

（1）分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；

（2）已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品生产．

①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？

②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？

【答案】（1）A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；

B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：.   

（2）①万元；②当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；

（2）①：利用代入法进行求解即可；

②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.

【小问1详解】

因为A产品的利润y与投资x成正比，

所以设，由函数图象可知，当时，，

所以有，所以；

因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，

所以设，由函数图象可知：当时，，

所以有，所以；

【小问2详解】

①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，

所以A产品的利润为，

B产品的利润为，

所以获得总利润为万元；

②：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，

设企业获得的总利润为万元，

所以，令，

所以，

当时，即当时，有最大值，最大值为，

所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.

22. 设，函数．

（1）若，判断并证明函数的单调性；

（2）若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围．

【答案】（1）在上递增，证明见解析.   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判断出的单调性.

（2）对进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得的范围.

【小问1详解】

，

当时，的定义域为，

在上递增，证明如下：

任取，

由于，所以，所以在上递增.

【小问2详解】

由于，所以，，

由知，所以.

由于，所以或.

当时，由（1）可知在上递增.

所以，从而①有两个不同的实数根，

令，①可化为，

其中，

所以，，

，解得.

当时，函数的定义域为，

函数在上递减.

若，则，于是，这与矛盾，故舍去.

所以，则，

于是，

两式相减并化简得，由于，

所以，所以.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】函数在区间上单调，则其值域和单调性有关，若在区间上递增，则值域为；若在区间上递减，则值域为.