2022-2023学年广东省广州市第八十九中学高一下学期第16周周练数学试题含答案

  广州市第八十九中学2022学年高一下周末卷16（20230526）

姓名：___________班级：___________学号：___________

一、单选题:

1．设，则（    ）

A．，B．，C．，D．，

2．某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（    ）

A．45 B．50 C．55 D．60

3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ）

A．两条相交直线确定一个平面B．两条平行直线确定一个平面

C．四点确定一个平面D．直线及直线外一点确定一个平面

4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知平面，且，，则直线a，b的关系为（    ）

A．一定平行 B．一定异面

C．不可能相交 D．相交、平行或异面都有可能

6．已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．由下列条件解，其中有两解的是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：

9．一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（    ）

A．众数为7B．极差为6C．中位数为8D．方差为

10．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（    ）

A．平面平面

B．平面

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．三棱锥的体积不变

11．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同

12．如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：

13．已知向量的夹角为45°，，且，若，则________．

14．若复数满足（为虚数单位），则的虚部为___________.

15．将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.

16．下列命题中正确的命题为__________.

①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；

②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；

③若直线异面，异面，则异面；

④若，则.

四、解答题：

17．某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.

(1)求居民月收入在的频率；

(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？

.

18．设A，B，C，D为平面内的四点，且.

(1)若，求D点的坐标；

(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.

19．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)点在棱上，满足且三棱锥的体积为，求的值.

20．如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.

(1)证明：平面

(2)求证：平面平面

(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.

参考答案：

1．A

【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.

【详解】由得：，，.

故选：A.

2．C

【分析】根据分层抽样的规则运算即可.

【详解】应从男性居民中抽取的人数为；

故选：C.

3．A

【分析】利用平面的基本性质求解.

【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，

所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.

故选：A

4．D

【分析】根据条件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解.

【详解】由正弦定理：

得

又因为，所以

令

所以

故选：D.

5．C

【分析】根据空间线面间的位置关系判断．

【详解】由平面，且，可知直线a，b没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．

故选：C．

6．B

【分析】根据投影向量的定义求解．

【详解】由已知，，，

在向量上的投影向量为，

所以，

故选：B．

7．C

【分析】只有是已知两边及一边的对角，且已知角为锐角才可能出现两解，此时先求另一边所对的角，再结合边角关系来判断解的个数

【详解】对于A，,由正弦定理可得,

由和可知和只有唯一解,

所以只有唯一解，所以A错误；

对于B，由余弦定理可知只有唯一解，

由余弦定理可得,又且在上单调递减，

所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，

所以只有唯一解，所以B错误；

对于C，由正弦定理可得,所以,由可知，

因此满足的有两个，

所以有两解，所以C正确；

对于D.由余弦定理可知只有唯一解，

由余弦定理可得,又且在上单调递减,

所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，

所以只有唯一解,所以D错误

故选：C

8．C

【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，

设四边形ABCD对角线夹角为，

则

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为

又设四棱锥的高为，则，

当且仅当即时等号成立.

故选：C

[方法二]：统一变量＋基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，

(当且仅当，即时，等号成立)

所以该四棱锥的体积最大时，其高.

故选：C．

[方法三]：利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，

，，单调递增， ，，单调递减，

所以当时，最大，此时．

故选：C.

【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；

方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．

9．ABD

【分析】由平均数定义求得参数，然后再由众数、极差、中位数、方差的定义求解．

【详解】由题意，，

因此众数是7，极差是，

5 个数从小到大排列为，中位数是7，

方差为，

故选：ABD．

10．ABD

【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；

对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面平面，从而得以判断；

对于C，利用线线平行将异面直线与所成角转化为与所成的角，从而在等边中即可求得该角的范围，由此判断即可；

对于D，先利用线线平行得到点到面平面的距离不变，再利用等体积法即可判断.

【详解】对于A，连接，如图，

因为在正方体中，平面，

又平面，所以，

因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，

因为平面，所以，同理可得，

因为与为平面内两条相交直线，可得平面，

又平面，从而平面平面，故A正确；

.  

对于B，连接，，如图，

因为，，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面，同理平面，

又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，

因为平面，所以平面，故B正确；

对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，

因为，所以为等边三角形，

当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；

当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；

所以与所成角的范围是，故C错误；

对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，

即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，

所以三棱锥的体积不变，故D正确．

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.

11．CD

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：且，故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；

C：，故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；

故选：CD

12．CD

【分析】找到三棱锥的高，利用三棱锥体积公式分别求出，，，进而判断出结果.

【详解】

如图连接交于O，连接.设，则.

由平面，，所以平面，

所以，

.

由平面，平面，所以.

又，且，平面，

所以平面，所以.

易知，

，

所以，所以,而，

平面，所以平面.

又，

，

所以有，

所以选项AB不正确，CD正确.

故选：CD.

13．

【分析】根据已知条件求得，再由向量垂直数量积为0，即可求出得答案．

【详解】向量，的夹角为，，且，

，可得，

，

可得：，

.

故答案为：.

14．-2

【分析】将化成的形式即可.

【详解】解：由题得.

所以z的虚部为.

故答案为：-2.

15．

【分析】直接利用三角函数图象的变换知识求解.

【详解】解：将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为.

故答案为：

16．①②

【分析】根据三点共线和共面的性质、异面直线的性质、垂直的性质逐一判断即可.

【详解】对于①，设平面平面，因为，所以平面，

所以，同理，，故三点共线，①正确；

对于②，因为，所以可以确定一个平面，

因为所以，所以，又，

所以，因为，所以或，又，

所以不成立，所以，即这四条直线共面，所以②正确；

对于③，直线异面，异面，但是平行，所以③错误，如下右图；

对于④，，但，所以④错误，如下左图.

故正确的命题为①②.

故答案为：①②

17．(1)0.15

(2)2400元

(3)25人

【分析】（1）根据图中所对应的频率/组距的值，乘上组距，即可得到月收入在的频率.

（2）通过比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，进而求出样本数据的中位数.

（3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数.

【详解】（1）月收入在的频率为：

∴居民月收入在的频率为0.15.

（2），

，

，

，

∴样本数据的中位数为

∴样本数据的中位数为2400元.

（3）居民月收入在的频率为：

，

∴10000人中月收入在的人数为：

，

再从10000人中分层抽样方法抽出100人，

则月收入在的这段应抽取：

，

∴月收入在的这段应抽25人.

18．(1)；

(2).

【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.

（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.

【详解】（1）设，因为，于是，整理得，

即有，解得，

所以.

（2）因为，

所以，，

因为向量与平行，因此，解得，

所以实数k的值为.

19．(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）连接，证明，继而证明平面，推得，从而证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）由题意可推得，从而设点到平面的距离分别为，利用三棱锥等体积法分别求得，根据，即可求得答案.

【详解】（1）由题意底面， ,，

则底面为直角梯形，

连接 ，则,故四边形为矩形，

则 ， 所以四边形为正方形，所以 ，

因为侧面为等边三角形，O是 的中点，

所以 ，平面，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，因为平面，

所以，因为平面 ，

所以平面，

因为平面 ，所以平面平面.

（2）因为底面中， ,，

侧面 为等边三角形，O是的中点，

所以,,, ，

因为平面，平面，

所以 ，

所以 ，

因为 ，

所以,所以 ,

设点到平面的距离分别为，

因为 ，所以 ,

即，故，

因为三棱锥的体积为，

所以 所以 ，解得，

所以，即

因为，所以 .

20．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；

（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；

（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．

【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，

∴，又平面，平面，

所以平面.

（2）∵平面，平面，∴，

连接，∵且，∴四边形为平行四边形，

∵，，∴平行四边形为正方形，∴，

又，∴，

又，面，∴面，

∵面，∴平面平面.

（3）∵平面，平面，∴，

又，，平面，∴平面，

因为平面，∴

∴为二面角的平面角，从而，所以，

作于，连接，

∵平面平面，平面，平面平面，

∴面，所以为直线与平面所成角，

在直角中，，，，∴，

因为面，面，所以，

在直角中，，，

∴，

则直线与平面所成角的正切值为.