初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形学案

1.1.3  等腰三角形

导学案

学习目标

1、会运用等腰三角形的判定定理其进行简单的证明.

2、能用反证法的基本证明思路简单应用.

学习重点：等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

学习难点：反证法的证明方法.

一、自学释疑

根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题.

二、合作探究

探究点一、等腰三角形的判定定理

问题1：前面我们证明了等腰三角形有两个角相等.反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

问题2：如图在△ABC中，∠B=∠C，要证明AB=AC，你是怎样构造的两个三角形全等的，你是怎样证明的？与同伴交流.

结论：定理                           .

简述为：                             .

变式训练

1.满足下列条件不是等腰三角形的是（     ）

A.有两个内角相等的三角形          B.有一个角是45º的直角三角形

C.有一个角是50º的直角三角形       D.有两个角是15º和150º的三角形

2.有一个三角形不同顶点的外角的度数比是3：2：3，则这个三角形是            三角形.

探究点二、运用定理

问题：已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E，△AED是等腰三角形吗？请你说明理由，并与同伴交流.

变式训练

1.如图，在△ABC中，AB=AC=8，D是BC上的动点（D与B、C不重合），且DE∥AC，DF∥AB，则四边形DEAF的周长是                  .

2.如图，三角形ABC中，AB=AC，∠A=36 º, ∠ACB的平分线交AB于点E，D为AC的中点，连接ED.

（1）求∠AED的度数；

（2）若CE=5，求BC的长.

探究点三、反正法

问题：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?．

强化训练：

反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

三、随堂检测

1．在△ABC中，∠B=∠C,AB=5,则AC的长（　　）

A．2         B．3     

C．4         D．5

2．用反证法证明“a<b”时，应该假设（　　）

A．a>b          B．a≥b         C．a=b         D．a≤b

3．如图，在△ABC中，AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是（　　）

A．任意三角形        B．等边三角形       C．等腰三角形     D．直角三角形

4.如图，在已知三角形ABC中，BD是∠ABC平分线，∠ABD=360，∠C=720，则图中等腰三角形的个数            .

5.如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD平分∠ABC和ACB的角平分线.求证△DBC是等腰三角形.

6.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°

7.如图，△ABC的边AB的延长线上有一点D，过D作DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BD=BE，

求证：△ABC是等腰三角形.

参考答案

探究点一、等腰三角形的判定定理

问题2：解：可作BC边上的高或∠A的平分线都可以构造两个全等三角形，

已知：在△ABC中，∠B=∠C，

求证：AB=AC．

证法一:作AD⊥BC于点D.(如图所示)

在△ABD和△ACD中,

∵∠B=∠C, ∠BDA=∠CDA, AD=AD,

∴ △ABD≌△ACD (AAS).

∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).

证法二：作△ABC顶角的平分线AD交BC于点D.(如图所示)

在△ABD和△ACD中,

∵∠B=∠C, ∠BAD=∠CAD, AD=AD,

∴ △ABD≌△ACD (AAS).

∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).

结论：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形

简述为：等角对等边.

变式训练

1.C

2.等腰直角三角形

探究点二、运用定理

问题：解：△AED是等腰三角形.理由如下：

∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,，

∴△ABD≌△DCA(SSS)

∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）

∴AE=DE(等角对等边）

∴ △AED是等腰三角形.

变式训练

1.16

2.（1）∠AED =54 º，（2）BC=5

探究点三、反正法

问题：假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC，结论成立.

强化训练

已知：△ABC，

求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.

证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°, ∠B=90°，于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞1 80°这与三角形内角和 定理相矛盾，因此“∠A和∠B都是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

三、随堂检测

1．D

2．B

3．C

4.3

5.证明：∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB 等边对等角

∵BD、CD是角平分线

∴∠DBC=∠ABC=∠ACB=∠BCD

∴ΔDBC是等腰三角形

6.证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即均小于60°， 则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，

故假设不成立．原命题成立．

7.证明：∵DF⊥AC，

∴∠DFA=∠EFC=90°．

∴∠A=∠DFA-∠D，∠C=∠EFC-∠CEF，

∵BD=BE，

∴∠BED=∠D．

∵∠BED=∠CEF，

∴∠D=∠CEF．

∴∠A=∠C．

∴△ABC为等腰三角形．