2022-2023学年吉林省长春市榆树市八号镇四校八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市榆树市八号镇四校八年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  甲、乙、丙、丁四名学生近次数学成绩的平均数都是分，方差如表，则这四名学生成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴正半轴上，则另一个顶点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在一个不透明的盒子中，装有个黑球，个红球和个白球，它们除了颜色外其他都相同，从盒中任意摸出一个球，是红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，矩形中，的垂直平分线与交于点，连接若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在正方形中，点是边的中点，点是为对角线上一点，若，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  如图，为了检查平行四边形书架的侧边是否与上、下边都垂直工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理______ ．

11.  计算：______．

12.  如图，在菱形中，，，是的中点，连接、，则的最小值是        ．

13.  如图，已知线段的长为，以为边在的下方作正方形在边上取除、以外任意一点，以为边在的上方作正方形过点作，垂足为点若正方形与四边形的面积相等，则的长为______ ．

14.  如图，▱的对角线、交于点，点的坐标为，轴，若函数的图象经过▱的顶点，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
用适当的方法解一元二次方程：
；
．

17.  本小题分
已知关于的方程．
若此方程有实数根，求的取值范围；
当时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．
求、两点的坐标．
点，在该函数的图象上，比较与的大小．

19.  本小题分
如图，在的正方形网格中有一条线段，点、都在格点上．
在图中以为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形，、为格点．
在图中以为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形，、为格点．
在图中以为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形，、为格点．

 

20.  本小题分
在“停课不停学”期间，某中学要求学生合理安排学习和生活，主动做一些力所能及的家务劳动，想了解学生做“仰卧起坐”的情况，他们分别在各自班中随机抽取了名女生和名男生，测试并建议同学们加强体育锻炼，坚持做“仰卧起坐”等运动项目，开学后，七年级甲、乙两班班主任了解这些学生一分钟所做“仰卧起坐”的个数，测试结果统计如表：
甲班

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
测得的甲班这名学生所做“仰卧起坐”个数的中位数落在        组；
求测得的乙班这名学生所做“仰卧起坐”个数的平均数是        ；
该校七年级有学生人，试估计该校七年级学生一分钟所做“仰卧起坐”个数至少为个的学生人数．

21.  本小题分
钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民参与线上问卷调查，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取名人员的问卷成绩，并对他们的成绩单位：分进行统计、分析，过程如下．
收集数据：
甲小区：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
乙小区：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
整理数据：

分析数据：

应用数据：
填空：        ，        ，        ，        ；
若甲小区共有人参与答卷，请估计甲小区成绩大于分的人数；
你看完统计数据，认为哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，并结合数据写出两条理由．

22.  本小题分
阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数，它的相关函数为．
已知一次函数，请回答下列问题：
该一次函数的相关函数为______ ．
已知点在该一次函数的相关函数的图象上，求的值；
当时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值；
已知直线与轴垂直为垂足的纵坐标，当直线与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的、两点，与轴交于点，点的纵坐标为，点在轴负半轴上，，且四边形是平行四边形．
求、的值．
连接，求的面积．
直接写出关于的不等式的解集．

24.  本小题分
如图，在▱中，，动点从点出发沿边以每秒个单位的速度向终点运动设点运动的时间为秒．
线段的长为______ 用含的代数式表示．
当平分时，求的值．
如图，另一动点从点出发以每秒个单位的速度，在上往返运动、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得点关于原点对称的点是．
故选：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
这一类题目是需要识记的基础题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
由科学记数法知；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由表可知丁的方差最小，
所以这四名学生成绩最稳定的是丁，
故选：．
根据方差越小成绩越稳定求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，顶点在轴正半轴上，
，，
点的坐标为，
，，
，
点的坐标为，
故选：．
连接交于，由菱形的性质得，，再由点的坐标得，，则，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在一个不透明的盒子中，装有个黑球，个红球和个白球，
从盒中任意摸出一个球，是红球的概率是，
故选：．
根据在一个不透明的盒子中，装有个黑球，个红球和个白球，即可求得从盒中任意摸出一个球，是红球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

6.【答案】 

【解析】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件，
依题意，得：．
故选：．
设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件，根据人数投递快递总数量人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线得，则，根据矩形的性质可得，即可得．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接，
由题意可得：，点关于直线对称，则，
，
即、、三点在同一直线上上，的值最小为．
，点是边的中点，
，
．
故选：．
直接利用正方形的性质，得出，点关于直线对称，连接，进而利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及正方形的性质，正确得出点位置是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据零次幂定义和负整数指数幂定义计算即可．
本题考查了零次幂和负整数指数幂，熟记：任何不为零的数的零次幂都为和性质是解题关键．
 

10.【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 

【解析】解：其中的数学原理是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．
我们发现该书架首先是一个平行四边形，接下来根据矩形的判定定理即可得到答案．
本题侧重考查考查矩形判定的题目，回想矩形的判定方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：：


．
故答案为：．
根据负整数指数幂的定义，任何非数的次幂等于计算即可．
本题主要考查了实数的运算，熟记相关定义是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，设与交于，

四边形是菱形，
垂直平分，
，
，
当、、三点共线时最小，即最小，最小为，
四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
是的中点，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，设与交于，先证明，则，当、、三点共线时最小，即最小，最小为，在利用勾股定理和菱形的性质求出的长即可证明是等边三角形，由此求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，则，由图形得，
解得：，舍去，
故答案为：．
设，则，就有的面积为，正方形的面积，根据正方形与四边形的面积相等建立方程求出其解即可．
本题考查了矩形的面积公式的运用，正方形的面积公式的运用，解答时根据正方形与四边形的面积相等建立方程是解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：轴，
点纵坐标与点纵坐标相等为，
将代入中得：
，
即点坐标为，
点为中点，
点坐标为，
即．
故答案为：．
点纵坐标与点纵坐标相等，将代入解析式可得点坐标，再根据中点坐标公式求解．
本题考查反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握坐标系中的中点坐标公式．
 

15.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案．
 

16.【答案】解：，
，
；
，
整理得：，
则，
解得，． 

【解析】利用配方法求解即可；
整理后，利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：将方程化为一般式：，
原方程有实数根，
，
则，解得：，
；
将代入得：，解得：，，
，，
等腰三角形腰长为，底边长为，
等腰三角形周长． 

【解析】先将方程化为一般式，通过方程有实数根，则，将各个系数代入求解即可；
将代入方程，求出方程的两个根即可．
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及三角形三边的关系，熟练掌握当时，方程有实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
 

18.【答案】解：把代入得：
，
解得，
点坐标为，
把代入得：
，
点坐标为．
时，，
时，，
，
． 

【解析】分别代入与求解．
根据一次函数的增减性或分别代入，求解．
本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
 

19.【答案】解：如图，四边形即为所求；
如图，四边形即为所求；

如图，四边形即为所求． 

【解析】根据轴对称图形的性质即可在图中以为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形，、为格点；
根据中心对称图形的性质即可在图中以为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形，、为格点；
根据轴对称图形的性质和中心对称图形的性质即可在图中以为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形，、为格点．
本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称图形的性质和中心对称图形的性质．
 

20.【答案】   

【解析】解：甲班共有名学生，处于中间位置的是第、第个数的平均数，
测得的甲班这名学生所做“仰卧起坐”个数的中位数落在组．
故答案为：；
乙班这名学生所做“仰卧起坐”个数的平均数是：个；
故答案为：；
人，
答：估计该校七年级学生一分钟所做“仰卧起坐”个数至少为个的学生人数大约为人．
根据中位数的定义直接求解即可；
根据平均数的计算公式直接进行计算即可；
用总人数乘样本中做“仰卧起坐”个数至少为个的学生人数所占百分比即可．
本题考查了加权平均数，中位数和用样本估计总体，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数．
 

21.【答案】       

【解析】解：按从小到大的顺序整理甲小区的数据为：，，，；，，，，，，，，，，，，，，，，
所以有个，有个，
，，
甲小区出现了次，出现的次数最多，
所以众数，
按从小到大的顺序整理乙小区的数据为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
排在最中间的两个数据是，，
所以中位数．
故答案为：，，，；
甲小区大于分的人数占比为：，
所以甲小区共有人参与答卷，
估计甲小区成绩大于分的人数有：人．
从平均数来看：甲小区得分的平均数高于乙小区，从中位数来看：甲小区的中位数高于乙小区的中位数，所以甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好．
按从小到大的顺序整理甲小区的数据可得，的值，根据众数的含义可求解，再按从小到大的顺序整理乙小区的数据，可得中位数，从而可得答案；
由乘以甲小区大于分的人数占比即可得到答案；
从平均数与中位数的角度出发分析可得结论．
本题考查的是数据的整理，平均数，中位数，众数的含义，以及选择合适的统计量做分析，利用样本估计总体，掌握统计基础知识是解本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：根据相关函数的定义得：，
故答案为：；
如图，

由点的纵坐标为知：
点在或上，
或，
解得：，
故答案为：或；
如图

当时，在上随的增大而增大，
当时，，
所以在上的最小值为，
同理：在上随的增大而减小，
所以的最大值为，
综上：该相关函数的最大值为，最小值为；
由题意画出图象如下：

图中两条虚线、刚好是直线与该一次函数的相关函数的图象相交的临界情况，
由图象易知，当直线与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时：．
故的范围是：．
根据相关函数的定义直接写出；
根据点的坐标特征结合函数图象判断点在上，代入求解即可；
根据相关函数的增减性结合的范围求得最值；
结合函数图象判断求解．
本题考查了一次函数的图象及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图象是解题关键．注意数形结合思想的运用．
 

23.【答案】解：针对于一次函数，
令，则，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
点在一次函数的图象上，
，
，
点在反比例函数的图象上，
；

如图，由知，，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
点，
；

由图象知，不等式的解集为或． 

【解析】先确定出点坐标，进而求出点坐标，再用四边形是平行四边形，求出点坐标，最后代入直线和反比例函数解析式中求解，即可得出结论；
先求出点坐标，最后用三角形的面积公式，求解即可得出结论；
利用图象直接得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，求出点的坐标是解本题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
当平分时，
，
，
，
，
，
．
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，
，
当第一次到达时，第一次返回时，，
第二次到达时，，第二次返回时，．
当未到达时，，，，
当时，，
解得，不符合题意．
当时，，即，
解得．
时，，即，
解得．
时，，即，
解得，不符合题意．
综上所述，或．
由求解．
由平行线及角平分线可得，进而求解．
分类讨论点在往返运动的代数式，通过求解．
本题考查平行四边形的动点问题，解题关键是分类讨论求解．