中考数学压轴题（1）——布拉美古塔定理

这是一份中考数学压轴题（1）——布拉美古塔定理，共3页。
（2023春•雅礼集团期末考25T  变式）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．布拉美古塔定理婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证．已知：如图，在圆内接四边形中，对角线，垂足为，过点作的垂线分别交，于点，．求证：是的中点任务：（1）请你完成这个定理的证明过程．（2）该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是 　  　命题．（填“真”或“假” （3）若，，，求的长．            【答案】（1）见解析；（2）真；（3）．【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质【专题】运算能力；几何直观；推理能力；与圆有关的位置关系【分析】（1）在中，证明，再由同弧所对的圆周角相等，可得，可得，则；同理可证，即可得到；（2）仿照（1）的证明过程，直接证明即可；（3）求出，再由，可得，求出，再由，即可求出．【解答】（1）证明：，，，，，，，，，，，同理可得，，，是的中点；（2）若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边，理由如下：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线，垂足为，是的中点，连接交于点，求证：；证明：是的中点；，，，，，，，；故答案为：真；（3）解：，，，，，，，是的中点，，．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，同角的余角相等是解题的关键．