专题16 新定义问题的常见压轴题-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练1

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（1）点（ ，1）关于的畸变点坐标是 ；
（2）若点P在函数的图象上，其关于0的畸变点Q的纵坐标 ，求畸变点Q的横坐标；
（3）已知点M（ ，1），N（1，），若点P在关于x的二次函数的图象上，当且仅当存在两个点P使其关于 的畸变点Q在线段MN上，求t的取值范围．
2．（2021·浙江鄞州·九年级月考）我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线．
（1）如图1，，分别为的高线和角平分线，若为的倍角高线．
①根据定义可得______，______（填写图中某个角）；
②若，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，在钝角中，为钝角，，若，分别为的高线和角平分线，倍角高线交直线于点，若，，求线段的长．
（3）在中，若，，倍角高线交直线于点，当为等腰三角形，且时，求线段的长．
3．（2021·北京海淀·101中学九年级开学考试）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点T是点A，B的“相似点”．
例如：，当满足时，则点是点A，B的“相似点”．
（1）已知点，请说明其中一个点是另外两个点的“相似点”．
（2）如图，点在x轴上，点是直线l上任意一点，点是点D，E的“相似点”．
①试确定y与x的关系式．
②若直线交x轴于点H，当为直角三角形时，请直接写出点E的坐标．
4．（2021·福建泉州五中九年级模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与轴垂直，则称该等腰三角形为点，的“伴随等腰三角形”．
（1）若，为抛物线上的点，它的“伴随等腰三角形”记为，且底边，点，均在点的右侧，设点的横坐标为．
①若点在这条抛物线上，则的面积是_______．
②设，两点的纵坐标分别为，，比较与的大小；
③当底边上的高等于底边长的倍时，求点的坐标；
（2）若，是抛物线上的两点，它的“伴随等腰三角形”以为底，且点，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的倍，过点，分别作垂直于轴的直线，．设点的横坐标为，该抛物线在直线，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
5．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）对y关于x的函数图象做出如下定义：在0≤x≤2时，函数图象最高点A和最低点B满足2yB＞yA且A、B位于x轴上方图象上，则我们称线段AB为“青一•”线段．
（1）若函数y＝x+a图象上存在“青一•”线段，求a的取值范围，并求出线段长；
（2）判断函数图象上是否存在“青一•”线段，若存在，求出以A，B，O为顶点的三角形外接圆面积；不存在，请说明理由；
（3）已知函数y＝x2﹣2mx+1，在其图象上是否存在A，B构成“青一•”线段，若存在，求出满足条件的m的取值范围；若不存在，请说明理由．
6．（2021·北京五十五中九年级月考）在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下的定义：
将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．
例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．
请解决下面的问题：
已知，其中，，，．
（1）当时，已知，为过点的直线．
①当时，________________；当时，________________；
②若，结合图象，求的值；
（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．
7．（2021·长沙麓山国际实验学校九年级模拟预测）给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任意一点，点Q为G2上任意一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy中，点，，，．
（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，并直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”；
（2）设直线与x轴、y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离”；
（3）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以点O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是____________；“近距离”的最小值是____________．
8．（2021·江苏如皋·九年级二模）（了解概念）
定义：在平面直角坐标系中，组成图形的各点中，与点Р所连线段最短的点叫做点Р关于这个图形的短距点，这条最短线段的长度叫做点Р到这个图形的短距．
（理解运用）
（1）已知点，以原点为圆心，l为半径作⊙O，则点Р关于⊙O的短距点的坐标是 ；
（2）如图，点，等边三角形OAB的顶点A的坐标为，顶点B在第一象限，判断点Р关于的短距点的个数，并说明理由；
（拓展提升）
（3）已知，，，点C在第一象限内，且，，若点Р到四边形OACB的短距大于2，请直接写出的取值范围．
9．（2021·江苏姜堰·九年级二模）阅读理解：
如果一个等腰三角形的三个顶点在矩形的边上或矩形的边所在的直线上，我们称这个等腰三角形为这个矩形的“友好三角形”．
解决问题：
如图，在矩形中，是对角线，点E为直线上的一个动点，过点E作平行交或于F，连接、．
（1）若点E在边上，且，以下三角形：①②③④，其中为矩形的“友好三角形”的是___________（填序号）；
（2）当时，试判断是否为矩形的“友好三角形”？请说明理由；
（3）当为矩形的“友好三角形”时，求的长．
10．（2021·江苏通州·九年级二模）定义：有一条边等于这条边上高的两倍的三角形叫做底倍高三角形，这条边叫做这个三角形的倍底．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－2，－2），点B（4，－8），△ABC是以AB为倍底的底倍高三角形．
（1）概念理解
请你根据上述定义举一个底倍高三角形的例子；
（2）问题探究
设点P（m，m2），其中－2＜m＜4，当PC取最小值时，求点C的坐标；
（3）应用拓展
已知⊙I的半径为1，圆心I在直线y＝x－6上，且点C在⊙I上，设圆心I的横坐标为a，试直接写出a的取值范围．
11．（2021·北京西城·九年级二模）对于平面内的点M，如果点P，点Q与点M所构成的是边长为1的等边三角形，则称点P，点Q为点M的一对“关联点”，进一步地，在中，若顶点M，P，Q按顺时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“顺关联点”；若顶点M，P，Q按逆时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“逆关联点”．已知，
（1）在中，点A的一对关联点是____，它们为点A的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；
（2）以原点O为圆心作半径为1的圆，已知直线．
①若点P在⊙O上，点Q在直线l上，点P，点Q为点A的一对关联点，求b的值；
②若在⊙O上存在点R，在直线l上存在两点和，其中，且点T，点S为点R的一对顺关联点，求b的取值范围．
12．（2021·北京通州·九年级一模）在平面直角坐标系中，任意两点，，定义线段的“直角长度”为．
（1）已知点．
① ________；
② 已知点，若，求m的值；
（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点．
① 点．如果为“和距三角形”，求d的取值范围；
② 在平面直角坐标系中，点C为直线上一点，点K是坐标系中的一点，且满足，当点C在直线上运动时，点K均满足使为“和距三角形”，请你直接写出点C的横坐标的取值范围．
13．（2021·江苏省天一中学九年级三模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
（1）已知点A的坐标为(1，0)．
①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是 ；
②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围．
14．（2021·广东潮阳·九年级一模）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为．例如：抛物线的“伴随直线”为，即．
（1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为______，“伴随直线”为______．
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．
①若为等腰三角形时，求a的值：
②如果点是直线BC上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值2时，求a的值．
15．（2021·江西石城·九年级一模）规定：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，与该抛物线关于点M（m，n）（m＞0，n≥0）成中心对称的抛物线为y′，我们称抛物线y′为抛物线y的发散抛物线，点M称为发散中心．已知抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），顶点为A，抛物线y1与该抛物线关于点（1，0）成中心对称．
（1）m＝ ，点A的坐标是 ，抛物线y1的解析式是 ．
（2）对于抛物线y0＝mx2＋4x＋3，如图，现分别以y1的顶点A1为发散中心，得抛物线y2；再以抛物线y2的顶点A2为发散中心，得抛物线y3，…，以此类推．
①求抛物线y0＝mx2＋4x＋3以A1为发散中心得到的抛物线y2的解析式；
②求发散抛物线y4的发散中心A3的坐标；
③若发散抛物线yn的顶点An的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），请直接写出AnAn﹣1的长度（用含n的式子表示）．