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2021-2022学年陕西省西安交大附中七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年陕西省西安交大附中七年级（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安交大附中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列字母是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，直线AD∥BC，若∠2＝55°，BA⊥AC于点A，则∠1为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．25
3．（3分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A﹣∠B＝∠C D．a2＝b2﹣c2
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6 B．3 C．2 D．1
7．（3分）在弹性限度范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11，5
12
12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
B．所挂物体质量为8kg时，估计弹簧长度为14cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
8．（3分）已知（3a﹣m）2＝9a2+3a，则m＝（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14 B．12 C．10 D．8
10．（3分）如图，E是△ABC中BC边上的一点，且BC＝3CE，点D是AC边中点，若S△BEF﹣S△ADF＝6，则S△ABC＝（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ．
12．（3分）如图，一个等腰直角三角形摆放在桌面上，那么这个等腰直角三角形的直角边长为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝10，CD＝6，则点D到BC的距离是 ．
14．（3分）已知5x﹣2y﹣3＝0，则32x÷4y＝ ．
15．（3分）已知△ABC中，∠B＝20°，在AB边上有一点D，若CD将△ABC分为两个等腰三角形，则∠A＝ ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为 ．
三、解答题（本大题包括7小题，共52分）
17．（8分）计算下列各式：
（1）（2024）0•（﹣3）﹣2；
（2）（2a+b）（3a﹣4b）﹣b（﹣5a+4b）．
18．（5分）先化简，再求值：[（x+4y）（x﹣4y）﹣（x﹣3y）2﹣6xy]÷（3y），其中x＝﹣1，y．
19．（6分）如图，已知AD与BC交于点O，且点O为BC的中点，连接AB，CD．请用尺规作图法，在OD边上求作一点P，使得∠CPO＝∠BAO．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（6分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
21．（8分）如图1，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP．在这个变化过程中，设BP＝x，△APC的面积为S，图2刻画的是S随x的变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：
（1）△ABC的高AF的长为 ；
（2）写出S与x的关系式 ；
（3）若△APF的面积是△APC面积的，求此时BP的长．
22．（9分）现有长与宽分别为a、b的四个相同的小长方形拼成图1的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示出来）：
方法一： ；方法2： ；
（2）若x，y为正数，x﹣y＝3，xy，求x+y的值；
（3）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7．两正方形的面积和S1+S2＝14，求图中阴影部分面积．
23．（10分）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：
问题提出：（1）已知：如图1所示，平面内三个点A，B，C，AB＝5，AC＝3，如图1，BC的长度的最小值为 ；
问题解决：（2）已知：如图2所示，在△BDC中，BD＝4，CD＝2，以BC为底边向上构造等腰△ABC，AB＝AC，连接AD，以AD为腰向外构造等腰△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，线段DE的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
问题应用：（3）如图3所示，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝12，BC＝9，以AC为边向外作等边△ACD，连接BD．求BD的长度．
2021-2022学年陕西省西安交大附中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列字母是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）如图，直线AD∥BC，若∠2＝55°，BA⊥AC于点A，则∠1为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．25
【解答】解：∵直线AD∥BC，
∴∠ABC＝∠2＝55°，
又∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠ABC＝35°．
故选：A．
3．（3分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
＝（）3•（c2）3
．
故选：D．
4．（3分）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得：一个袋子中装有5个球，其中有2个白球，3个红球，
随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是．
故选：C．
5．（3分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A﹣∠B＝∠C D．a2＝b2﹣c2
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故A选项符合题意；
∵a2+b2＝25+144＝169，c2＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B选项不符合题意；
∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠A，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C选项不符合题意；
∵a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故D选项不符合题意，
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝CE，
∵△ABC的周长为17cm，
∴AB+BC+AC＝17cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11cm，
∴AC＝17﹣11＝6（cm），
∴CE＝3cm，
故选：B．
7．（3分）在弹性限度范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11，5
12
12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
B．所挂物体质量为8kg时，估计弹簧长度为14cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
【解答】解：由挂重物与弹簧伸长的长度，得y＝0.5x+10，
A、当x＝4时，y＝12，故A不合题意；
B、当x＝8时，y＝14，故B不合题意；
C、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故C符合题意；
D、物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故D不合题意；
故选：C．
8．（3分）已知（3a﹣m）2＝9a2+3a，则m＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为（3a﹣m）2＝9a2+3a（3a）2，
所以m．
故选：D．
9．（3分）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14 B．12 C．10 D．8
【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为12cm，
∴AB＝6cm．
∵BD＝8cm，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2，
∴AD10（cm），
即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm．
故选：C．
10．（3分）如图，E是△ABC中BC边上的一点，且BC＝3CE，点D是AC边中点，若S△BEF﹣S△ADF＝6，则S△ABC＝（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【解答】解：设△ABC的面积为x，
∵点D是AC边中点，
∴S△BCDS△ABCx，
∵BC＝3CE，
∴S△ACES△ABCx，
∵S△BEF﹣S△ADF＝6，
∴S△BCD﹣S△ACExx＝6，
解得x＝36，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ．
【解答】解：∵正方形的面积为2×2＝4（cm2），黑色部分的总面积为2cm2，
∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为，
故答案为：．
12．（3分）如图，一个等腰直角三角形摆放在桌面上，那么这个等腰直角三角形的直角边长为 17 ．
【解答】解：如图．
∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN．
在△ACM与△CBN中，
．
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN＝8，
∴AC17．
故答案为：17．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝10，CD＝6，则点D到BC的距离是 4 ．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵已知∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴∠A＝∠DEB＝90°，
根据角平分线的性质可得：DE＝AD．
∵AC＝10，CD＝6，
∴DA＝4．
∴DE＝4，即D点到BC的距离是4，
故答案为：4．
14．（3分）已知5x﹣2y﹣3＝0，则32x÷4y＝ 8 ．
【解答】解：∵5x﹣2y﹣3＝0，
∴5x﹣2y＝3，
∴32x÷4y＝25x÷22y＝25x﹣2y＝23＝8．
故答案为：8．
15．（3分）已知△ABC中，∠B＝20°，在AB边上有一点D，若CD将△ABC分为两个等腰三角形，则∠A＝ 100°或70°或40°或10° ．
【解答】解：（1）BD＝CD，
∵∠B＝20°，
∴∠DCB＝20°，
∴∠ADC＝40°，
①AD＝AC时，∠A＝180°﹣40°×2＝100°；
②DC＝DA时，∠A＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
③CA＝CD时，∠A＝∠ADC＝40°；
（2）BC＝DC，
∵∠B＝20°，
∴∠BDC＝20°，
∴∠ADC＝180°﹣20°＝160°，
DC＝DA时，∠A＝（180°﹣160°）÷2＝10°．
综上所述∠A＝100°或70°或40°或10°．
故答案为：100°或70°或40°或10°．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为 70° ．
【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，∠ACB＝90°，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AC的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，BB′交l于D，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
∵BB′⊥l，l∥BC，
∴BB′⊥BC，
即∠B′BC＝90°，
∵BD＝B′DBB′，BDAC，
∴BB′＝AC，
BC＝BC，
∴△BB′C≌△CAB（SAS），
∴∠B′CB＝∠ABC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B′CB＝∠ABC＝70°，
即∠PCB＝70°．
三、解答题（本大题包括7小题，共52分）
17．（8分）计算下列各式：
（1）（2024）0•（﹣3）﹣2；
（2）（2a+b）（3a﹣4b）﹣b（﹣5a+4b）．
【解答】解：（1）（2024）0•（﹣3）﹣2
＝1﹣8
＝1
；
（2）（2a+b）（3a﹣4b）﹣b（﹣5a+4b）
＝6a2﹣8ab+3ab﹣4b2+5ab﹣4b2
＝6a2﹣8b2．
18．（5分）先化简，再求值：[（x+4y）（x﹣4y）﹣（x﹣3y）2﹣6xy]÷（3y），其中x＝﹣1，y．
【解答】解：原式＝[x2﹣16y2﹣（x2﹣6xy+9y2）﹣6xy]÷（3y）
＝（x2﹣16y2﹣x2+6xy﹣9y2﹣6xy）÷（3y）
＝﹣25y2÷（3y）
y，
当x＝﹣1，y时，
原式
．
19．（6分）如图，已知AD与BC交于点O，且点O为BC的中点，连接AB，CD．请用尺规作图法，在OD边上求作一点P，使得∠CPO＝∠BAO．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点P即为所求．
20．（6分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
【解答】证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
21．（8分）如图1，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP．在这个变化过程中，设BP＝x，△APC的面积为S，图2刻画的是S随x的变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：
（1）△ABC的高AF的长为 4 ；
（2）写出S与x的关系式 S＝12﹣2x（0≤x＜6） ；
（3）若△APF的面积是△APC面积的，求此时BP的长．
【解答】解：（1）由图2可知，当BP＝1时，△APC的面积S＝10，
此时，PC＝6﹣1＝5，
∴5×AF＝10，
解得：AF＝4，
故答案为：4；
（2）∵BC＝6，BP＝x，
∴PC＝6﹣x，
∴△APC的面积SPC•AF（6﹣x）×4＝12﹣2x，
故答案为：S＝12﹣2x（0≤x＜6）；
（3）∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝6，
∴AF＝FBBC＝3，
由题意可知，当0≤x＜3时，PF＝3﹣x，
当△APF的面积是△APC面积的时，（3﹣x）×4（12﹣2x），
解得：x，
当3＜x＜6时，PF＝x﹣3，
当△APF的面积是△APC面积的时，（x﹣3）×4（12﹣2x），
解得：x，
综上所述，△APF的面积是△APC面积的时，BP的长为或．
22．（9分）现有长与宽分别为a、b的四个相同的小长方形拼成图1的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示出来）：
方法一： （a+b）2﹣4ab ；方法2： （a﹣b）2 ；
（2）若x，y为正数，x﹣y＝3，xy，求x+y的值；
（3）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7．两正方形的面积和S1+S2＝14，求图中阴影部分面积．
【解答】解：（1）由题意得，该阴影部分的面积可表示为：（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；
（2）由（1）可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
∴当x，y为正数，x﹣y＝3，xy时，
x+y4；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab，
∴设AC＝x，BC＝y，则当x+y＝7，x2+y2＝14时，
xy，
∴该图中阴影部分的面积为．
23．（10分）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：
问题提出：（1）已知：如图1所示，平面内三个点A，B，C，AB＝5，AC＝3，如图1，BC的长度的最小值为 2 ；
问题解决：（2）已知：如图2所示，在△BDC中，BD＝4，CD＝2，以BC为底边向上构造等腰△ABC，AB＝AC，连接AD，以AD为腰向外构造等腰△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，线段DE的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
问题应用：（3）如图3所示，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝12，BC＝9，以AC为边向外作等边△ACD，连接BD．求BD的长度．
【解答】解：（1）∵BC≥AB﹣AC（当且仅当点C在线段AB上时，等号成立），
∵BC≥5﹣3，
即BC≥2，
∴BC的最小值为2，
故答案为：2；
（2）线段DE存在最小值，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD＝4，
由（1）的结论可得：当点D在线段CE上时，DE的最小值为CE﹣CD＝4﹣2＝2；
（3）如图，在BC的上方作等边△BCE，连接DE，
则BE＝CE＝BC＝9，∠BCE＝∠BEC＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠ECD＝∠BCA，
在△ECD与△BCA中，
，
∴△ECD≌△BCA（SAS），
∴DE＝AB＝12，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝60°+30°＝90°，
∴BD15．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/19 10:13:30；用户：账号79；邮箱：hxnts79@xyh.com；学号：40315031
2021-2022学年陕西省西安交大附中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列字母是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，直线AD∥BC，若∠2＝55°，BA⊥AC于点A，则∠1为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．25
3．（3分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A﹣∠B＝∠C D．a2＝b2﹣c2
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6 B．3 C．2 D．1
7．（3分）在弹性限度范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11，5
12
12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
B．所挂物体质量为8kg时，估计弹簧长度为14cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
8．（3分）已知（3a﹣m）2＝9a2+3a，则m＝（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14 B．12 C．10 D．8
10．（3分）如图，E是△ABC中BC边上的一点，且BC＝3CE，点D是AC边中点，若S△BEF﹣S△ADF＝6，则S△ABC＝（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ．
12．（3分）如图，一个等腰直角三角形摆放在桌面上，那么这个等腰直角三角形的直角边长为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝10，CD＝6，则点D到BC的距离是 ．
14．（3分）已知5x﹣2y﹣3＝0，则32x÷4y＝ ．
15．（3分）已知△ABC中，∠B＝20°，在AB边上有一点D，若CD将△ABC分为两个等腰三角形，则∠A＝ ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为 ．
三、解答题（本大题包括7小题，共52分）
17．（8分）计算下列各式：
（1）（2024）0•（﹣3）﹣2；
（2）（2a+b）（3a﹣4b）﹣b（﹣5a+4b）．
18．（5分）先化简，再求值：[（x+4y）（x﹣4y）﹣（x﹣3y）2﹣6xy]÷（3y），其中x＝﹣1，y．
19．（6分）如图，已知AD与BC交于点O，且点O为BC的中点，连接AB，CD．请用尺规作图法，在OD边上求作一点P，使得∠CPO＝∠BAO．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（6分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
21．（8分）如图1，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP．在这个变化过程中，设BP＝x，△APC的面积为S，图2刻画的是S随x的变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：
（1）△ABC的高AF的长为 ；
（2）写出S与x的关系式 ；
（3）若△APF的面积是△APC面积的，求此时BP的长．
22．（9分）现有长与宽分别为a、b的四个相同的小长方形拼成图1的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示出来）：
方法一： ；方法2： ；
（2）若x，y为正数，x﹣y＝3，xy，求x+y的值；
（3）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7．两正方形的面积和S1+S2＝14，求图中阴影部分面积．
23．（10分）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：
问题提出：（1）已知：如图1所示，平面内三个点A，B，C，AB＝5，AC＝3，如图1，BC的长度的最小值为 ；
问题解决：（2）已知：如图2所示，在△BDC中，BD＝4，CD＝2，以BC为底边向上构造等腰△ABC，AB＝AC，连接AD，以AD为腰向外构造等腰△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，线段DE的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
问题应用：（3）如图3所示，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝12，BC＝9，以AC为边向外作等边△ACD，连接BD．求BD的长度．
2021-2022学年陕西省西安交大附中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列字母是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）如图，直线AD∥BC，若∠2＝55°，BA⊥AC于点A，则∠1为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．25
【解答】解：∵直线AD∥BC，
∴∠ABC＝∠2＝55°，
又∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠ABC＝35°．
故选：A．
3．（3分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
＝（）3•（c2）3
．
故选：D．
4．（3分）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得：一个袋子中装有5个球，其中有2个白球，3个红球，
随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是．
故选：C．
5．（3分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A﹣∠B＝∠C D．a2＝b2﹣c2
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故A选项符合题意；
∵a2+b2＝25+144＝169，c2＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B选项不符合题意；
∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠A，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C选项不符合题意；
∵a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故D选项不符合题意，
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝CE，
∵△ABC的周长为17cm，
∴AB+BC+AC＝17cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11cm，
∴AC＝17﹣11＝6（cm），
∴CE＝3cm，
故选：B．
7．（3分）在弹性限度范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11，5
12
12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
B．所挂物体质量为8kg时，估计弹簧长度为14cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
【解答】解：由挂重物与弹簧伸长的长度，得y＝0.5x+10，
A、当x＝4时，y＝12，故A不合题意；
B、当x＝8时，y＝14，故B不合题意；
C、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故C符合题意；
D、物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故D不合题意；
故选：C．
8．（3分）已知（3a﹣m）2＝9a2+3a，则m＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为（3a﹣m）2＝9a2+3a（3a）2，
所以m．
故选：D．
9．（3分）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14 B．12 C．10 D．8
【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为12cm，
∴AB＝6cm．
∵BD＝8cm，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2，
∴AD10（cm），
即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm．
故选：C．
10．（3分）如图，E是△ABC中BC边上的一点，且BC＝3CE，点D是AC边中点，若S△BEF﹣S△ADF＝6，则S△ABC＝（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【解答】解：设△ABC的面积为x，
∵点D是AC边中点，
∴S△BCDS△ABCx，
∵BC＝3CE，
∴S△ACES△ABCx，
∵S△BEF﹣S△ADF＝6，
∴S△BCD﹣S△ACExx＝6，
解得x＝36，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ．
【解答】解：∵正方形的面积为2×2＝4（cm2），黑色部分的总面积为2cm2，
∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为，
故答案为：．
12．（3分）如图，一个等腰直角三角形摆放在桌面上，那么这个等腰直角三角形的直角边长为 17 ．
【解答】解：如图．
∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN．
在△ACM与△CBN中，
．
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN＝8，
∴AC17．
故答案为：17．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝10，CD＝6，则点D到BC的距离是 4 ．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵已知∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴∠A＝∠DEB＝90°，
根据角平分线的性质可得：DE＝AD．
∵AC＝10，CD＝6，
∴DA＝4．
∴DE＝4，即D点到BC的距离是4，
故答案为：4．
14．（3分）已知5x﹣2y﹣3＝0，则32x÷4y＝ 8 ．
【解答】解：∵5x﹣2y﹣3＝0，
∴5x﹣2y＝3，
∴32x÷4y＝25x÷22y＝25x﹣2y＝23＝8．
故答案为：8．
15．（3分）已知△ABC中，∠B＝20°，在AB边上有一点D，若CD将△ABC分为两个等腰三角形，则∠A＝ 100°或70°或40°或10° ．
【解答】解：（1）BD＝CD，
∵∠B＝20°，
∴∠DCB＝20°，
∴∠ADC＝40°，
①AD＝AC时，∠A＝180°﹣40°×2＝100°；
②DC＝DA时，∠A＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
③CA＝CD时，∠A＝∠ADC＝40°；
（2）BC＝DC，
∵∠B＝20°，
∴∠BDC＝20°，
∴∠ADC＝180°﹣20°＝160°，
DC＝DA时，∠A＝（180°﹣160°）÷2＝10°．
综上所述∠A＝100°或70°或40°或10°．
故答案为：100°或70°或40°或10°．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为 70° ．
【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，∠ACB＝90°，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AC的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，BB′交l于D，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
∵BB′⊥l，l∥BC，
∴BB′⊥BC，
即∠B′BC＝90°，
∵BD＝B′DBB′，BDAC，
∴BB′＝AC，
BC＝BC，
∴△BB′C≌△CAB（SAS），
∴∠B′CB＝∠ABC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B′CB＝∠ABC＝70°，
即∠PCB＝70°．
三、解答题（本大题包括7小题，共52分）
17．（8分）计算下列各式：
（1）（2024）0•（﹣3）﹣2；
（2）（2a+b）（3a﹣4b）﹣b（﹣5a+4b）．
【解答】解：（1）（2024）0•（﹣3）﹣2
＝1﹣8
＝1
；
（2）（2a+b）（3a﹣4b）﹣b（﹣5a+4b）
＝6a2﹣8ab+3ab﹣4b2+5ab﹣4b2
＝6a2﹣8b2．
18．（5分）先化简，再求值：[（x+4y）（x﹣4y）﹣（x﹣3y）2﹣6xy]÷（3y），其中x＝﹣1，y．
【解答】解：原式＝[x2﹣16y2﹣（x2﹣6xy+9y2）﹣6xy]÷（3y）
＝（x2﹣16y2﹣x2+6xy﹣9y2﹣6xy）÷（3y）
＝﹣25y2÷（3y）
y，
当x＝﹣1，y时，
原式
．
19．（6分）如图，已知AD与BC交于点O，且点O为BC的中点，连接AB，CD．请用尺规作图法，在OD边上求作一点P，使得∠CPO＝∠BAO．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点P即为所求．
20．（6分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
【解答】证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
21．（8分）如图1，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP．在这个变化过程中，设BP＝x，△APC的面积为S，图2刻画的是S随x的变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：
（1）△ABC的高AF的长为 4 ；
（2）写出S与x的关系式 S＝12﹣2x（0≤x＜6） ；
（3）若△APF的面积是△APC面积的，求此时BP的长．
【解答】解：（1）由图2可知，当BP＝1时，△APC的面积S＝10，
此时，PC＝6﹣1＝5，
∴5×AF＝10，
解得：AF＝4，
故答案为：4；
（2）∵BC＝6，BP＝x，
∴PC＝6﹣x，
∴△APC的面积SPC•AF（6﹣x）×4＝12﹣2x，
故答案为：S＝12﹣2x（0≤x＜6）；
（3）∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝6，
∴AF＝FBBC＝3，
由题意可知，当0≤x＜3时，PF＝3﹣x，
当△APF的面积是△APC面积的时，（3﹣x）×4（12﹣2x），
解得：x，
当3＜x＜6时，PF＝x﹣3，
当△APF的面积是△APC面积的时，（x﹣3）×4（12﹣2x），
解得：x，
综上所述，△APF的面积是△APC面积的时，BP的长为或．
22．（9分）现有长与宽分别为a、b的四个相同的小长方形拼成图1的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示出来）：
方法一： （a+b）2﹣4ab ；方法2： （a﹣b）2 ；
（2）若x，y为正数，x﹣y＝3，xy，求x+y的值；
（3）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7．两正方形的面积和S1+S2＝14，求图中阴影部分面积．
【解答】解：（1）由题意得，该阴影部分的面积可表示为：（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；
（2）由（1）可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
∴当x，y为正数，x﹣y＝3，xy时，
x+y4；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab，
∴设AC＝x，BC＝y，则当x+y＝7，x2+y2＝14时，
xy，
∴该图中阴影部分的面积为．
23．（10分）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：
问题提出：（1）已知：如图1所示，平面内三个点A，B，C，AB＝5，AC＝3，如图1，BC的长度的最小值为 2 ；
问题解决：（2）已知：如图2所示，在△BDC中，BD＝4，CD＝2，以BC为底边向上构造等腰△ABC，AB＝AC，连接AD，以AD为腰向外构造等腰△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，线段DE的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
问题应用：（3）如图3所示，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝12，BC＝9，以AC为边向外作等边△ACD，连接BD．求BD的长度．
【解答】解：（1）∵BC≥AB﹣AC（当且仅当点C在线段AB上时，等号成立），
∵BC≥5﹣3，
即BC≥2，
∴BC的最小值为2，
故答案为：2；
（2）线段DE存在最小值，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD＝4，
由（1）的结论可得：当点D在线段CE上时，DE的最小值为CE﹣CD＝4﹣2＝2；
（3）如图，在BC的上方作等边△BCE，连接DE，
则BE＝CE＝BC＝9，∠BCE＝∠BEC＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠ECD＝∠BCA，
在△ECD与△BCA中，
，
∴△ECD≌△BCA（SAS），
∴DE＝AB＝12，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝60°+30°＝90°，
∴BD15．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/19 10:13:30；用户：账号79；邮箱：hxnts79@xyh.com；学号：40315031
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