2023平邑县一中高二下学期6月月考考试数学试题含解析

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平邑一中新校区高二下学期4月份月考数学试卷一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 4名同学参加跑步、跳远、跳高三个项目，每人限报1项，共有（  ）种报名方法.A. 64种 B. 81种 C. 32种 D. 12种【答案】B【解析】【分析】利用分步乘法原理即得解.【详解】每名同学有3种选法，根据分步乘法原理得共有种报名方法.故选：B2. 设，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数值直接构造方程求解即可.【详解】，，解得：.故选：A.3. 已知函数，则的极小值为（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.【详解】函数的定义域为，因为所以，令，则，解得或（舍），x2－0＋单调递减极小值单调递增由此表可知，当时，的取得极小值为.故选：D.4. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误．故选：B．5. 如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（     ）种．A. 12 B. 36 C. 48 D. 72【答案】C【解析】【分析】根据使用颜色的数量进行分类计算即可.【详解】如果只用了3种颜色，则ABD三块区域颜色必两两不同，C区域必与A相同，则涂法有种；如果用了全部4种颜色，则涂法有种；所以总共有种涂法.故选：C.6. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求函数定义域，进而转化为，与两函数有两个交点，利用导函数得到的单调性，得到函数极值和最值，画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】定义域为，故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，其中，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极大值，也是最大值，，且当时，恒成立，当时，恒成立，画出的图象如下：显然要想，与两函数有两个交点，需要满足，综上：实数a的取值范围是.故选：B7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递减区间与区间的交集为非空区间，从而可以求参.【详解】由，可得．①当时，，此时函数单调递减，所以当时，函数在区间内存在单调递减区间.②当时，令，可得，当时，单调递减；当时，单调递增所以函数的减区间为，增区间为，若函数在区间内存在单调递减区间，只需，得.综上所述，．故选：C8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（    ）A  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.【详解】由，得，令，，则，所以在上恒成立，所以在上为减函数，因为，且在上单调性递增；所以，所以，所以，所以，即．故选：A.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ）A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.故选：ACD．10. 、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ）A. 若、两人站在一起有种方法 B. 若、不相邻共有种方法C. 若在左边有种排法 D. 若不站在最左边，不站最右边，有种方法【答案】AC【解析】【分析】根据分类加法，分步乘法原理，结合排列的相关知识点，对选项一一分析.【详解】对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A正确；对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有种，所以B不正确；对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有种，所以C正确；对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，即，由分类加法原理可知共有种，所以D不正确，故选：AC.11. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】令，根据条件可得在上单调递增，然后逐一判断即可.【详解】令，当时，，当时，，在上单调递增；又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，为R上的奇函数；在上单调递增．由，可得，故A正确；由，可得，故B错误；由，可得，故C错误；由，可得，故D正确．故选：AD12. 函数，以下说法正确的是（    ）A. 函数有零点 B. 当时，函数有两个零点C. 函数有且只有一个零点 D. 函数有且只有两个零点【答案】BC【解析】【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.【详解】，定义域，所以，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，，则的图象如图所示：故A错误；又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B正确；恒成立，所以在上单调递减，又，，所以函数有且只有一个零点，C正确，D错误；故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若______.【答案】【解析】【分析】根据排列公式即可求出结果.【详解】,故答案为：.14. 函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】求导，根据函数在上的最小值为即可判断函数的单调性，将恒成立转化为函数最值问题求解.【详解】，在上的最小值为，说明在上单调递减，所以当时，恒成立，即所以所以故答案为：15. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．【答案】【解析】【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围.【详解】由题得函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数．又恒成立，所以函数在上单调递增；不等式等价于，所以，即，解得．所以实数t的取值范围为．故答案为：16. 已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当的坐标为________时，最小，此时最小值为________．【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】通过图像可知当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值，利用导数几何意义可构造方程求得，利用点到直线距离公式求得最小值.【详解】如图所示，当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值．令，解得：，，.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．【答案】（1）；    （2），．【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.【小问1详解】因为，所以，由题意可知，，，，所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；【小问2详解】由（1）知，令，则，解得，或，当时，； 当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值为，又，，所以，．18. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】(1)采用捆绑法即可求解；(2)采用插空法即可求解；(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；【小问1详解】先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；【小问2详解】先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；【小问3详解】先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；19. 用一张边长为a的正方形硬纸板，在四个角裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖方盒．当裁去的小正方形边长发生变化时，纸盒的容积会随之发生变化．问：（1）求关于的函数关系式；（2）取何值时，容积最大？最大值是多少？【答案】（1）    （2）当时，．【解析】【分析】(1)由题意可得无盖方盒的底面为边长为的正方形，高为，再根据长方体的体积公式，即可得答案；(2)由，，求导，利用导数确定的单调区间，即可得最大值.【小问1详解】解：如图所示：由题意可知，无盖方盒的底面为边长为的正方形，高为，所以，；【小问2详解】解：因为，，所以，；令，则有，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，．20. 已知f（x）=ax-lnx，a∈R.（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线的斜率是，再根据点斜式求切线方程（2）先求导数，根据导函数零点情况分类讨论，确定对应函数单调性，进而确定最小值取法，最后根据最小值为3，解出a的值试题解析：（Ⅰ）， ∴切线的斜率是，又切点是 ∴ 切线的方程是：（2）假设存在实数，使（）有最小值3， ①当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值． ②当时，上单调递减，在上单调递增，，满足条件． ③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值．   综上，存在实数，使得当时有最小值3．点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．21 已知函数（1）若，求的极小值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，恒成立，求的最大整数值．【答案】（1）    （2）答案见解析    （3）【解析】【分析】（1）根据题意，求导得，然后即可得到的极小值；（2）由题意得到，令，然后由的正负即可判断函数的单调性；（3）根据题意可得存在使得，从而得到函数的最小值，从而得到结果.【小问1详解】当时，，的定义域为，，所以在区间，，递减；在区间，，递增．所以当时，取得极小值．【小问2详解】的定义域为，．令，，当时，恒成立，所以即在上递增．当时，在区间，，即递减；在区间，，即递增．【小问3详解】当时，，，由（2）知，在上递增，，，所以存在使得，即．在区间，，递减；在区间，，递增．所以当时，取得极小值也即是最小值为，∵，∴，所以．由恒成立，得，故的最大整数值为．22. 已知函数，．（1）当时，证明：在上恒成立；（2）若有2个零点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）设，对函数求导得，根据指数函数和幂函数的性质知函数在上单调递增且，结合导数研究函数的单调性求出即可；（2）函数有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，利用导数讨论函数的单调性，结合图形即可求解.【小问1详解】当时，设，则，设，由函数和在上单调递增，知函数在上单调递增，且，所以当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以即在上恒成立；【小问2详解】由，得，令，则有2个零点，等价于函数与图象有2个交点，令，得，当时，当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，故，且当时，，当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，作出函数的大致图象如下：结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，故a的取值范围是．