2023年河北省唐山市、保定市四校高考数学一模试卷（含解析）

2023年河北省唐山市、保定市四校高考数学一模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在各项均为正数的等比数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，则“，相交“是“，相交”的(    )

A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  黄金三角形有两种，一种是顶角为的等腰三角形，另一种是顶角为的等腰三角形已知在顶角为的黄金三角形中，角对应边与角对应边的比值为，这个值被称为黄金比例若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  关于函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 是曲线的一个对称中心
B. 是曲线的一个对称轴
C. 曲线向左平移个单位，可得曲线
D. 曲线向右平移个单位，可得曲线

10.  已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知，，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，，若，则        ．

14.  的展开式中，的系数为______ ．

15.  设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点作平分线的垂线，垂足为，则 ______ ．

16.  “蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”是最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似现在的踢足球活动已知某“鞠”的表面上有四个点，，，，且满足，，则该“鞠”的表面积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，，求的面积．

18.  本小题分
在，，，成等比数列，这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．
问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____．
求；
若，且，求数列的前项和．

19.  本小题分
为深入贯彻党的十九大教育方针．中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表：
表一：“双减”政策后

表二：“双减”政策前

Ⅰ用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化同一时间段的数据用该组区间中点值做代表；
Ⅱ为给参加运动的学生提供方便，学校在球场边安装直饮水设备．该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌、：品牌售价百元，使用寿命个月或个月概率均为；品牌售价百元，寿命个月或个月概率均为现有两种购置方案，方案甲：购置个品牌；方案乙：购置个品牌和个品牌试从性价比设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比角度考虑，选择哪一种方案更实惠．

20.  本小题分
在直角梯形中，，，，点是的中点将沿折起，使，连接，，，得到三棱锥．

求证：平面平面；
若，二面角的余弦值为，求二面角的正弦值．

21.  本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为．
求椭圆的方程；
若直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆上异于，的一点，四边形为平行四边形，探究：平行四边形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，，
则，
或，，
可得，
故选：．
利用交集运算可求得答案．
本题主要考查了集合的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：是等比数列，
，又，
，又，
，解得．
故选：．
根据题意可得，又，则，进一步根据，即可求出的值．
本题考查等比数列的性质，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：不超过的质数为，，，，；
随机选取两个不同的数，共有种方法，
其和为偶数的共有种方法，
其和为偶数的概率为．
故选：．
写出不超过的质数有哪些，再利用古典概率模型求概率即可．
本颞考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：若，相交，，，则其交点在交线上，故，相交，
若，相交，可能，为相交直线或异面直线．
综上所述：，相交是，相交的充分不必要条件．
故选：．
，，，相交，利用面面相交的性质可得：其交点在交线上，，相交．反之不成立．
本题考查了面面相交的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，该函数的定义域为，
，
为奇函数，排除选项B和，
当时，，，排除选项A，
故选：．
先判断函数的奇偶性，可排除选项B和，再考虑当时，与的大小关系，即可作出选择．
本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
直线，互相垂直，垂足为，，
，，
．
故选：．
设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，可得，，可求四边形的面积的最大值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查重要不等式的应用，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意，得，
则，
故选：．
依题意，可得，代入所求值的关系式，利用二倍角公式及诱导公式化简可得答案．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数的图象，
对于：当时，，故A正确；
对于：当时，，故B错误；
对于：曲线向左平移个单位，得到的图象，故C错误；
对于：曲线向右平移个单位，可得曲线的图象，故D正确．
故选：．
直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，则，故A错误，
，，故B错误，
则成立，故C正确，
当是偶数时不妨设，则，
则，而当，时，，则不成立，故D错误，
故选：．
分解符号函数的定义，分别进行判断即可．
本题主要考查符号函数的性质，根据符号函数分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：当在抛物线外时，，当且仅当，，在同一直线上时取等号，故此时，

当在抛物线内时，记到准线的距离为，则，当且仅当，，共线时取等号，

此时，，故A在定直线上，记，则，故，
，
综上所述：
故选：．
分在抛物线外与在抛物线内两种情况求解即可．
本题考查距离的最小值的求法，考查数形结合思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据泰勒公式：，，，
，，．
故选：．
根据泰勒公式即可得出，，从而判断出B正确；再根据对数函数和指数函数的单调性即可判断都正确．
本题考查了泰勒公式的运用，指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：在 的展开式中，
为的系数，
故答案为：．
把展开，再利用二项式展开式的通项公式，求得的展开式中，的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，
延长交于点，由为的平分线及，易知≌，所以．
根据双曲线的定义，得，即，
从而．
在中，易知为中位线，则．
故答案为：．
利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由已知得，均为等边三角形，如图所示，
设球心为，的中心为，取中点，连接，，，，，
则，，而，平面，
且求得，而，，则，
在平面中，过点作的垂线，与的延长线交于点，
由平面，得，故AE平面，
过点作于点，则四边形是矩形，
而，，
设球的半径为，，则由，，
得，，
解得，，
故三棱锥外接球的表面积为
由题意画出图形，可得，均为等边三角形，设球心为，的中心为，取中点，连接，，，，，构造直角三角形，利用勾股定理求解棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式求解．
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：因为在中，角，，的对边分别为，，，且满足，
所以，即，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以，
可得，可得；
因为，，，
所以由余弦定理，可得，
所以，
所以的面积． 

【解析】利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合范围，可得，可求，进而可求的值；
由已知利用余弦定理可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解的面积．
本题考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：，为等差数列，
，，成等比数列，由于，故，
，
选，解得，，；
选，解得，，；
选，解得，，；
由，，可得，
由，，可得

，
上式对也成立，所以，
则． 

【解析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于拔高题．
由等差数列的通项公式和求和公式，化简，选，，，解方程可得首项和公差，进而得到；
由数列恒等式求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
 

19.【答案】解：双减政策后运动时间的的众数是，双减政策前众数是，说明双减政策后，大多数学生的运动时间都变长．
若采用甲方案，记设备正常运行时间为单位是月，则的取值有，，
，，
则的分布列：

，
它与成本之比为，
若采用乙方案，记设备正常运行时间为单位是月，则的取值有、、，
，，，

．
它与成本之比为，
，
方案乙性价比更高． 

【解析】根据已知条件，分别求出双减前后的众数，通过对比，即可求解．
根据已知条件，结合期望公式，分别求出甲，乙两种方案的期望，再通过比较性价比，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

20.【答案】证明：因为直角梯形中，，，
所以，
因为，，所以平面，
所以，
因为，，
所以平面，
因为在平面内，
所以平面平面；
解：由知平面，
所以二面角的平面角为，
因为平面，所以，
所以，得所以，
设，则，
由题意可知∽，所以，即，解得，
所以，
如图所示，建立空间直角坐标系，

则，
所以，
因为平面，所以令平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
设二面角的平面角为，
则，
所以，
所以二面角的正弦值为． 

【解析】由和，可得平面，所以，而，所以平面，从而可证得平面平面；
由平面，可知二面角的平面角为，由二面角的余弦值为，解出，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，即可得二面角的正弦值．
本题考查面面垂直的证明，考査二面角的正弦值的求法，属于中档题．
 

21.【答案】解：当时，，
，是的一个零点；
又令，，
在上单调递增，又，，时，，
在单调递减；在单调递增；
不等式在上恒成立，
即不等式恒成立．
令，则等价于不等式恒成立，
若，不等式显然成立，此时．
若时，不等式等价于，
设，当时，，
令，则，，
，在上单调递减，在单调递增，
，
，在单调递增，
，．
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】当时，求得，然后判断导函数的符号，得到的单调区间；
依题意得不等式恒成立，令，则原式等价于不等式恒成立，然后分与两类讨论，求得实数的取值范围即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、三角函数的最值及不等式恒成立问题，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：直线的方程为，
由题意可得，解得，椭圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时．
当直线的斜率存在时，设：，，，
联立，可得，
则，，，
四边形为平行四边形，
，
，
点在椭圆上，
，整理得，
，
原点到直线的距离，
，
综上，四边形的面积为定值． 

【解析】直线的方程为，利用已知条件列出方程组，求解，即可得到椭圆方程．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时当直线的斜率存在时，设：，，，联立，可得，利用韦达定理，求出弦长，结合点到直线的距离求解三角形的面积，推出结果．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．