2021届河北省唐山市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届河北省唐山市高三数学一模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A. R                            B.                             C.                             D. 
z满足 ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.设 ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
4.圆 上到直线 距离为1的点恰有一个，那么 〔    〕
A. 3                                     B. 8                                     C. 3或-17                                     D. -22或8
5.记 展开式的偶数项之和为P ， 那么P的最小值为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
6.在0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，那么取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
7.双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C相交于A ， B两点，假设四边形 是矩形，那么双曲线C的离心率 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.函数 是奇函数，当 时， ，那么满足 的x的取值范围是〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 
二、多项选择题
F为椭圆 的左焦点，A ， B为E的两个顶点.假设 ，那么E的方程为〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
10.在以下函数中，其图象关于直线 对称的是〔    〕
A.                                         B. 
C.                                        D. 
11.在正方体 中，P是面对角线 上的动点，Q是棱 的中点，过 、P、Q三点的平面与正方体的外表相交，所得截面多边形可能是〔    〕

A. 三角形                                B. 四边形                                C. 五边形                                D. 六边形
12.函数 的图象〔如图〕称为牛顿三叉戟曲线，那么〔    〕

A. 的极小值点为
B. 当 时，
C. 过原点且与曲线 相切的直线仅有2条
D. 假设 ， ，那么 的最小值为
三、填空题
13.在等比数列 中， 为其前n项和， ， ，那么 ________.
14.与向量 同向的单位向量 ________.
15.在三棱锥 中， 是边长为3的等边三角形， ， ，二面角 的大小为 ，那么三棱锥 外接球的外表积为________.
16.为了解M离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：给100只小鼠服M离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同，经过一段时间后检测出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据得到如频率分布直方图，那么图中 ________；估计M离子残留百分比的平均数为________〔同组中的每个数据用该组区间的中点值代替〕

四、解答题
17.在 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， .
〔1〕假设 ， ，求 的面积；
〔2〕假设 ，证明： 为等腰直角三角形.
18.数列 满足 ， ，记数列 的前n项和为 .
〔1〕求 的值；
〔2〕求 的最大值.
19.如图，三棱柱 中，侧面 底面 ， ， .

〔1〕证明： ；
〔2〕假设 与平面 所成角的正弦值为 ，求四面体 的体积.
20.抛物线 ，点 ，斜率为 的直线l过点P ， 与E相交于不同的点A ， B.
〔1〕求k的取值范围；
〔2〕斜率为 的直线m过点P ， 与E相交于不同的点C ， D ， 证明：直线 ，直线 及y轴围成等腰三角形.
21.某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制.双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局.各选手抽签后两两交战〔结果是“非胜即败〞〕，胜者继续留在胜者组，败者那么被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛.对阵秩序表如以下列图所示：

赛前通过抽签确定选手编号为1~16，在胜者组进行第一轮比赛.每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，···，⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A ， B ， ···，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者.
参考知识：正整数 时， ，e为自然对数的底， .
〔1〕本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？〔直接写结果〕
〔2〕选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其期望 ；
〔3〕假设选手乙每轮比赛的胜率都为t ， 那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？
22.函数 .
〔1〕证明： 在定义域内为减函数；
〔2〕当 时， ，求a的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题知 ，那么 。
故答案为：C

【分析】利用条件结合补集和交集的运算法那么，从而求出集合。
2.【解析】【解答】设 且 ，那么由 得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合复数求模公式和复数乘除法运算法那么，从而求出复数z。
3.【解析】【解答】 ，

，
因为 单调递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 。
故答案为：C

【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数的大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。
4.【解析】【解答】圆 的圆心C(1,1)，半径r=2，过C作直线AB： 交圆C于点A ， B ， 如图：

那么直线AB垂直于动直线 ，因圆C上到直线 距离为1的点恰有一个，
那么直线 与圆C相离，且点A或B到该直线距离为1，即 ，
所以圆心C到直线 距离为3，即 ，解得c=-22或c=8。
故答案为：D

【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标和半径长，过C作直线AB： 交圆C于点A ， B ， 那么直线AB垂直于动直线 ，因圆C上到直线 距离为1的点恰有一个，那么直线 与圆C相离，且点A或B到该直线距离为1，即 ，再利用几何法得出圆心C到直线 距离，再结合点到直线的距离公式，从而求出c的值。
5.【解析】【解答】由得 ， ，
所以 ，
当且仅当 即 等号成立。
故答案为：B.

【分析】由得 ， ，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 展开式的偶数项，进而求出 展开式的偶数项的和，再利用 展开式的偶数项之和为P结合均值不等式求最值的方法，从而求出P的最小值。
6.【解析】【解答】在0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，根本领件总数n=5×5=25，
取到的整数十位上数字比个位上数字大包含的根本领件有：m=5+4+3+2+1=15，
那么取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是 。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合古典概型求概率公式，从而求出取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率。
7.【解析】【解答】显然直线 与 交于原点O ， 由双曲线对称性知，四边形 是矩形，当且仅当|AB|=|F1F2|，
设点 ，而
由 得 ，解得 ，
那么 ，而|F1F2|=2c ， ，
所以 化简得 ，即 ， ，
解得 ，双曲线C的离心率e有 。
故答案为：D

【分析】显然直线 与 交于原点O ， 由双曲线对称性知，四边形 是矩形，当且仅当|AB|=|F1F2|，设点 ，而 ， 再利用直线与双曲线相交求出交点的横坐标，再利用弦长公式求出A,B两点的距离为 ， 而|F1F2|=2c ， 再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，所以 ，化简变形得 ，因为 ，解得 的值 ，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线C的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
8.【解析】【解答】令 ，先考虑 的解.
假设 ，因为 为 的奇函数，那么 ，故 为 的解.
假设 ，此时 ，
因为 在 上均为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故 在 上的解为 ，
因为 为 上的奇函数，故 在 上的解为 ，
故 的解为 或 ，
故 或 ，所以 或 。
故答案为：C.

【分析】令 ，先考虑 的解，再利用分类讨论的方法结合奇函数的定义，得出假设 ，那么 ，故 为 的解，假设 ，此时 ，再利用增函数的定义，得出和 在 上均为增函数，从而得出函数 在 上为增函数，而 ，故 在 上的解为 ，因为 为 上的奇函数，故 在 上的解为 ，从而求出 的解，进而结合对数函数的单调性，从而求出满足 的x的取值范围。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】∵
∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时 ，
解得 ，椭圆方程为 ，D符合题意；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时 ，解得 ，椭圆方程为 ，A符合题意；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时 ，解得 ，椭圆方程为 ，C符合题意；
故答案为：ACD

【分析】因为 ， 所以仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；再利用分类讨论的方法结合几何法求出a,c的值，再结合条件，从而求出满足要求的椭圆的标准方程。
 
10.【解析】【解答】对于A， ， ，其图象关于直线 对称，A符合题意；
对于B， ， ，其图象不关于直线 对称，B不符合题意；
对于C， ， ，其图象不关于直线 对称，C不符合题意；
对于D， ， ，其图象关于直线 对称，D符合题意。
故答案为：AD

【分析】利用条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数和余弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再将余弦型函数转化为余弦函数，再利用正弦函数的图像和余弦函数的图像找出正弦型函数和余弦型函数图象关于直线 对称的函数。
11.【解析】【解答】当点P与D重合时，截面多边形是三角形，如图，A满足；

取棱CD中点 ，连 和 ，正方体 中，因Q是棱 的中点，
如图， ，平面 与BD交点可作P ， 此时截面多边形是四边形，B满足；

因棱C1D1中点为Q ， 取点P ， 使其距离B较近的一点，截面多边形是五边形，如图，C满足；

点P不管如何移动，截面与平面ABCD的交线平行于与平面A1B1C1D1的交线A1Q ，
这条交线只能与正方形ABCD边AB ， AD之一有交点(除顶点A外)，
那么截面不可能与正方形ABB1A1和正方形ADD1A1都有交线(除棱AA1外)，
截面不可能与正方体六个外表都有交线，截面与正方体的一个面最多只有一条交线，截面多边形不能是六边形，D不满足.
故答案为：ABC

【分析】利用条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，再结合截面的作法，从而得出 过 、P、Q三点的平面与正方体的外表相交，所得截面多边形可能的形状。
12.【解析】【解答】由函数 知， ，求导得： ，
对于A选项： ， ，那么 的极小值点为 ，A不正确；
对于B选项： 时， ， 时，
时， ，即 时，恒有 ，B符合题意；
对于C选项：设切点坐标为 ，那么切线斜率为 ，切线方程为 ，
而切线过原点，那么有 ，解得 ，即过原点且与曲线 相切的直线有一条，C不正确；
对于D选项： 时 ， ，
，令 ，那么 ，
， 时 ， 时 ，
函数 在 上递增，在 上递减， 时
即 有最小值3， 的最小为 ，D符合题意.
故答案为：BD

【分析】利用函数的解析式结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值点；当 时， ，当 时， ， 当时， ，即 时，恒有 ；利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，从而求出过原点且与曲线 相切的直线的条数； 当 时， ，令 ，那么 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，从而求出 的最小值，进而求出 的最小值，从而选出正确选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】设等比数列 的公比为q ， 依题意有 ，解得 或 ，
时， ， 时， ，
综上所述， 31。
故答案为：31。

【分析】利用条件结合等比数列的通项公式，从而求出首项和公比，再利用等比数列前n项和公式，从而求出等比数列前5项的和。
14.【解析】【解答】设 ，∵ 与 同向，
∴ ，〔 〕即 ，
又因为 为单位向量，模长为1，
那么 ， ，
解得 ，故 。
故答案为： 。

【分析】设 ，利用条件结合同向向量的定义和共线定理，得出，再利用单位向量的定义结合， 从而求出的值，从而求出单位向量的坐标。
15.【解析】【解答】在三棱锥 中，取AB中点O1 ， 连CO1 ， PO1 ， ， 是正三角形，如图：

那么 ，即 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
又 ，那么O1是三棱锥 外接球被平面ABC截得的小圆圆心，设O为球心，连接OO1 ， 那么 平面 ，
正三角形 的中心O2 ， 那么O2是三棱锥 外接球被平面ABP截得的小圆圆心，连接OO2 ， 那么 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，连OC ， 那么OC长为三棱锥 外接球半径，
是二面角 的平面角，即 ，而 ,那么 ，
因AB=3，那么 ， 中， ，
， 中， ，
所以三棱锥 外接球的外表积 。
故答案为：13π。

【分析】在三棱锥 中，取AB中点O1 ， 连CO1 ， PO1 ， ，三角形 是正三角形，再利用正三角形三线合一得出 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用平面 平面 ，得出平面 平面 ，又因为 ，那么O1是三棱锥 外接球被平面ABC截得的小圆圆心，设O为球心，连接OO1 ， 再结合面面垂直的性质定理，那么 平面 ，因为正三角形 的中心O2 ， 那么O2是三棱锥 外接球被平面ABP截得的小圆圆心，连接OO2 ， 那么 平面 ，连OC ， 那么OC长为三棱锥 外接球半径，所以是二面角 的平面角，即 ，而 ,那么 ，因AB=3，从而求出的长， 在中结合余弦函数的定义得出 的长 ，进而结合中点的性质求出
的长 ，在 中，利用勾股定理求出球的半径 的长 ，再利用球的外表积公式，从而求出三棱锥 外接球的外表积。
16.【解析】【解答】由频率分布直方图可得 ，故 ；
残留百分比的平均数为：
。
故答案为：0.150，6.1。

【分析】利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，从而求出a的值；再利用频率分布直方图求平均数公式结合条件，从而估计出M离子残留百分比的平均数。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合三角形内角和为180度的性质，从而求出角A的值，再结合正弦定理，从而求出b的值，再利用三角形面积公式，从而求出三角形的面积。
〔2〕利用条件结合二倍角的正弦公式和正弦定理，得出 ， 再利用余弦定理得出 ，于是 ， 再利用勾股定理得出角C为直角，从而结合等腰直角三角形的定义，从而证出三角形 为等腰直角三角形。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件得出当 时，       〔ⅰ〕，从而结合等差数列前n项和公式，进而求出 的值。
〔2〕由〔1〕得出当 时，       〔ⅰ〕，那么当 时，       〔ⅱ〕，〔ⅰ〕式减去〔ⅱ〕式得 ，又因为 ，于是 ， ， 再利用数列求和的定义，从而结合数列求最值的方法，进而求出 的最大值。
19.【解析】【分析】 〔1〕侧面 底面 ， ，再利用面面垂直的性质定理，得 侧面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，得 ，由 ，得 ；由 ，得出侧面 是菱形， ，再利用线线垂直证出线面垂直，那么 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
〔2〕 设 ，连接 ，由〔1〕可知 平面 ， 为 在平面 上的射影，那么 即为 与平面 的所成角，又因为 ，那么利用正弦函数的定义推出 的值，从而求出的值 ，进而得出 再利用三角形面积公式结合等体积法，再结合三棱锥的体积公式，从而求出四面体求出的体积。
20.【解析】【分析】〔1〕利用点斜式设出过点 ，斜率为 的直线l的方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法，从而求出实数k的取值范围。
〔2〕 设 ，由〔1〕结合韦达定理，可得 ，
由题意设m的点斜式方程为 ，与 联立得， ，再结合韦达定理和两点求斜率公式，得，同理 ，因为 ，从而证出直线 ，直线 及y轴围成等腰三角形。
21.【解析】【分析】〔1〕利用条件求出本赛事共计的比赛场数和一位选手最多能进行的比赛轮数。
〔2〕利用条件求出随机变量X的可能的取值，再利用二项分布求概率公式求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
〔3〕 利用二项式分布求概率公式得出乙经败者组进入决赛的概率为 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，由参考知识得 ，故 ，从而得出乙经败者组进入决赛没有三成把握。
22.【解析】【分析】〔1〕 利用条件结合导数的运算法那么，从而求出函数的导函数，那么，
令 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最大值，进而判断出函数f(x)的单调性，从而证出函数 在定义域内为减函数 。
〔2〕 由 ，令 ，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，又由 ，所以 时， ，从而 与 矛盾，所以 不满足题设，进而得出a的取值范围。