2022-2023学年云南省普洱市西盟重点中学高一（下）月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省普洱市西盟重点中学高一（下）月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知幂函数在上单调递减，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知向量，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  函数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若、是在内的两根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  化简以下各式：
；；；．
结果为零向量的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  下列命题正确的是(    )

A. ， B. 是的充分不必要条件
C. ， D. 若，则

12.  在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是(    )

A. 函数在上是减函数
B. 若，则
C. 函数，则的最大值
D.

三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  已知集合，若，则的值为______ ．

14.  已知函数在内有零点，则实数的取值范围是______

15.  定义在上的函数为奇函数，，又也是奇函数，则 ______ ．

16.  偶函数的图象关于直线对称，，则          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简与求值：；
已知，求的值．

18.  本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
求，的值；
当时，求，的值．

19.  本小题分
为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为元台，出厂价为元台，每月的销售量单位：台与销售单价单位：元之间的关系近似满足一次函数．
设他每月获得的利润为元，写出与之间的函数关系式．
根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元如果他想要每月获得不少于元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？

20.  本小题分
已知函数为偶函数
求的值；
判断函数在的单调性，并证明你的结论；
若函数有四个不同的零点，求的取值范围．

21.  本小题分
已知是第二象限角，且，
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．

22.  本小题分
如图，在菱形中，．
若，求的值；
若，，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
化简集合，并列举出集合的所有元素，进而求出交集即可．

【解答】

解：由，可得，
故集合，
集合，
所以．
故本题选C．

2.【答案】 

【解析】解：，，且，
，
，
当且仅当且，即，时取等号，
故选：．
由已知可得，，从而有，展开后利用基本不等式可求．
本题主要考查了利用的代换配凑基本不等式的应用条件求解最值，属于基础试题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为该函数是幂函数，
所以，或，
当时，函数在上单调递减，符合题意；
当时，函数在上单调递增，不符合题意．
故选：．
根据幂函数的定义和单调性进行求解即可．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，涉及二次函数的性质，属于基础题．
根据题意，求出二次函数的对称轴，结合函数单调性的定义可得或，再求出的取值范围即可．

【解答】

解：根据题意，函数为二次函数，其开口向上，对称轴为，
若函数在区间上具有单调性，
则或，解得或，
所以实数的取值范围是；
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，，
，，
．
故选：
由已知得，，从而．
本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质的合理运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由平面向量的模的运算直接可求．
本题考查平面向量的模的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
利用辅助角公式，即可解出．
本题考查了三角函数的最值，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数，
其中， ，
把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
的周期，
，是在内的两根，
当时，可得，
当时，可得，
互为相反，
．
即，，
可得：
令，
可得：

那么：．
故选：．
利用三角函数公式将化简，根据平移变换规律求解解析式，根据，是在内的两根，即，，求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，灵活利用辅助角公式是解决本题的关键．考查了函数的图象变换规律，属于难题．
 

9.【答案】 

【解析】解：；
；
；
，
故零向量的是，
故选：．
根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可．
本题主要考查向量的概念和运算，结合向量加法，减法的运算法则是解决本题的关键．比较基础．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，则，，，与的大小关系不确定．
只有AC正确．
故选：．
利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误．
本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假的判断，涉及充分、必要、充要条件的判断，不等式的性质．
找出的值判断；利用充要、必要条件判断；全称量词命题判断；举反例判断．

【解答】

解：当时，，所以A正确；
推不出，反之成立，所以是的必要不充分条件，所以不正确；
，，所以，成立，所以C正确；
若，取，，则，所以不正确．
故选AC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是三角函数的新定义问题，属中档题．
根据题中给出的新定义，利用辅助角公式以余弦函数的单调性判断选项A，利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系判断选项B，利用正弦函数的有界性判断选项C，利用诱导公式判断选项D，即可得到答案．

【解答】

解：函数，
在上单调递减，故选项A错误；
因为，所以，即，故选项B正确；
函数，
所以的最大值为，故选项C错误；
因为，故选项D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：集合，，，
则，解得，，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
本题主要考查集合的相等，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：分类讨论：
当在内有一个零点时，
由，得或，此时函数的零点为或，不合题意，
由零点存在性定理可得，即，解得，
当在内有两个零点时，则，解得，
综上，，即实数的取值范围为，
故答案为：．
由零点存在性定理结合二次函数的性质求解即可求得实数的取值范围．
本题主要考查由函数的零点求参数取值范围的方法，二次函数的性质，函数零点存在定理及其应用等知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：是上的奇函数，
的图象关于原点对称，且，
又是奇函数，
的图象关于点对称，
是函数的一个周期，
．
故答案为：．
依题意，可得是函数的一个周期，进而得解．
本题考查函数奇偶性及周期性的运用，考查函数的求值，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性是解决本题的关键，比较基础．
根据函数奇偶性和对称性的性质，得到，即可得到结论．

【解答】

解：因为偶函数的图象关于直线对称，
所以，
即，
则，
故答案为：．

17.【答案】解：．
解：原式，
因为，故原式． 

【解析】由题意利用对数的运算性质，计算求得结果．
由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求出所给式子的值．
本题主要考查对数的运算性质，诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：由得：，
故函数的定义域为：；
．
，
，
．
当时，
，
． 

【解析】由，解得函数的定义域；
将，代入可得：，的值；
将，代入可得：，的值．
本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．
 

19.【答案】解：由题意得，函数，．
由题意得：，化简得，解得，
当时，，
因为，当时，，
设政府每个月为他承担的总差价为元，
则，
因为，所以随的增大而减小，
当时，有最小值，当时，有最大值为，
所以政府每个月为他承担的总差价取值范围是元． 

【解析】根据利润函数销售单价成本价销售量，计算即可．
由利润函数，求出的取值范围，结合题意求出政府每个月为他承担的总差价取值范围．
本题考查了利润函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：函数为偶函数，
恒成立，即，
，
则；
函数在上单调递增．
证明如下：，设，
则
．
，，，
则，
即，
在上单调递增；

．
令，则，
则，
若有四个不同的零点，则方程在上有两个不等实数根．
，解得．
函数有四个不同的零点时的取值范围是． 

【解析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用函数奇偶性求解参数，利用定义判定函数的单调性，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于较难题．
由题意可得恒成立，即，整理可得的值；
利用函数单调性的定义证明在上单调递增；
，令，则，则，问题转化为方程在上有两个不等实数根，得到关于的不等式组求解．
 

21.【答案】解：Ⅰ因为是第二象限角，，
所以，．
Ⅱ又是第二象限角，故．
所以． 

【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的三角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号．
Ⅰ由条件利用二倍角的余弦公式求得的值．
Ⅱ利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．
 

22.【答案】解：因为在菱形中，．
故，
故，所以．
显然，
所以
，
因为菱形，且，，故，．
所以．
故式．
故． 

【解析】本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算，考查运算能力，属于基础题．

结合向量线性运算的几何意义，用表示出向量，即可求出，的值，问题可解；

将也用表示，结合已知求得，然后结合数量积的定义求解即可．