2023年湖北省黄冈市教改联盟中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖北省黄冈市教改联盟中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：年国内生产总值预期增长目标左右，城镇新增就业万人左右，将万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，点在直线上，且，，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 全
B. 面
C. 依
D. 法

5.  已知点点，且直线轴，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，为的直径，弦交于点，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在矩形中，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、交于点、，连接、若，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线下列结论，其中正确的有(    )
；；；若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  二次根式有意义，那么的取值范围是______ ．

10.  分解因式：______．

11.  已知一组数据，，，，，它的平均数是，这组数据的中位数是______．

12.  设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______ ．

13.  如图，将一个边长为的正方形活动框架边框粗细忽略不计扭动成四边形若，则对角线 ______ ．

14.  如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度约为______ 按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：
 

15.  人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．，，记，，，，则______．

16.  如图，将正方形放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，分别在轴、轴上，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，是的中点，连接当的长度取最小值时，的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
某商场计划购进、两种新型台灯共盏，它们的进价与售价如表所示：

若商场预计进货款为元，则这两种台灯各购进多少盏？
将两种台灯全部售出，若总利润不低于元，则该商场需要至少购进多少盏型台灯？

19.  本小题分
前两年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：表示“从未听说过”，表示“不太了解”，表示“比较了解”，表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题：
参加这次调查的学生总人数为______ 人；将条形统计图补充完整；
扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是______ ；
若该中学共有学生人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对“碳中和、碳达峰”知识达到“比较了解”和“非常了解”程度的总人数；
在类的学生中，有名男生和名女生，现需从这名学生中随机抽取名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
 

20.  本小题分
如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，且与的延长线交于点．
求证：是等腰三角形；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为．
求的值；
求点坐标；
若点是轴上一点，且的面积为，求点的坐标．

22.  本小题分
某商品市场销售抢手，其进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元．
求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为元？根据以上结论，请你直接写出在什么范围时，每个月的利润不低于元？

23.  本小题分
如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点．
填空：______度；
如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由；
如图，若点是的中点，连接、，判断与有什么数量关系？并说明理由．

 

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接，直线解析式为．
______ ； ______ ； ______ ； ______ ；
如图，点为线段上方的抛物线上一动点，点为轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
在的条件下，将抛物线向右移两个单位，再向上移两个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：万，
用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．
故选：．
由平角等于可求出的度数，由直线，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是依，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点，点，且直线轴，
，
解得，
故选：．
根据点，点，且直线轴，可知点和点的横坐标相等，从而可以得到，然后求出的值即可．
本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于轴的直线上的点的横坐标都相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

为的直径，，
，
，，
，
为的直径，
，
，
．
故选：．
连接，根据垂径定理的推论可得，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，，即可求解．
本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作图过程可得：为的垂直平分线，
，．
设与交于点，如图，

则．
四边形是矩形，
，
，，
在和中，

≌，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为菱形，
四边形的周长．
设，则，
，
在中，
，
，
解得：，
四边形的周长．
故选：．
利用作图过程可得为的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证明四边形为菱形，利用勾股定理求得，则结论可得．
本题主要考查了基本作图，作线段的垂直平分线，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，判定四边形为菱形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：图象开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
图象与轴的交点在轴的上方，
，
，
说法正确，
由图象可知抛物线与轴有两个交点，
，
错误，
由图象可知，当时，，
，
正确，
由题意可知是的一个根，
对称轴是直线，
另一个根为，
正确，
正确的有，
故选：．
根据图象可判断的符号，可判断结论，由图象与轴的交点个数可判断，由对称轴及时的函数值即可判断，由和对称轴即可判断．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，即，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的双重非负性即是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，，，它的平均数是，
，
解得，，
这组数据按照从小打到排列为：，，，，，
这组数据的中位数是，
故答案为：．
根据题目中的平均数可以求得的值，然后将这组数据按照从小到大的顺序排列即可得到这组数的中位数．
本题考查中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根与系数的关系确定出与的两根之积与两根之和的值，再代入变形后的代数式即可解答．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，设与相交于点，
原来四边形为正方形，
四条边相等，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
 ．
故答案为：．
设与相交于点，根据菱形的性质可得，，，，从而可得是等边三角形，进而可得，然后再在中，利用勾股定理求出，从而求出的长．
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
，
米，
这棵树的高度约为米，
故答案为：．
根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，

，
．
故答案为：．
利用分式的加减法则分别可求，，，，再利用规律计算即可．
本题考查了分式的加减法，找出规律是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，如图所示：

则，
在正方形中，，，
，
根据旋转的性质，可得，，
，
，
，，
≌，
，，
设，
，
，
，，
，
是的中点，且，，
，
，
当时，取得最小值，
此时，
故答案为：．
过点作轴于点，根据正方形的性质和旋转的性质易证≌，可得，，设，根据中点坐标公式可得点坐标，再根据两点之间的距离公式可得，根据二次函数的性质可得取得最小值时的长．
本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，两点之间的距离公式，中点坐标公式，最值问题等，构造全等三角形是解题的关键，本题综合性较强．
 

17.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：设购进型台灯盏，型台灯盏，
根据题意得：，
解得，
答：购进型台灯盏，型台灯盏；
设购进型台灯盏，型台灯盏，
根据题意得：，
解得，
答：该商场至少需要购进盏型台灯． 

【解析】设购进型台灯盏，型台灯盏，可得：，即可解得购进型台灯盏，型台灯盏；
设购进型台灯盏，型台灯盏，根据题意得，即可解得答案．
本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
 

19.【答案】   

【解析】解：参加这次调查的学生总人数为人，类别人数为人，补全图形如下：

故答案为：；
扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
人；
答：估计该中学学生中对“碳中和、碳达峰”知识达到“比较了解”和“非常了解”程度的总人数为人；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好选中名男生和名女生的结果数为，
所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
根据类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，根据四种类别人数人数之和等于总人数求出类别人数即可补全图形；
用乘以类别人数所占比例即可；
用样本估计总体的射线解决问题；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即是等腰三角形；
解：设，则，，
在中，，即，
，
，
在中，，即，
解得：舍去，，
． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，根据等角的余角相等得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
根据正切的定义得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是切线的性质、正切的定义、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

21.【答案】解：点在反比例函数上，且的纵坐标为，
，
解得：，
点，
直线经过点，把点坐标代入得：
，
；

如图，设直线与轴的交点为，

直线与轴的交点为，
点，
由题意可得：，
或舍去
点；

设点，
，
，
，
点或． 

【解析】先求出点坐标，代入解析式可求解；
先求出点坐标，然后直线方程与反比例函数联立求得交点；
由面积的和差关系可求，即可求解．
本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分割法求三角形的面积．
 

22.【答案】解：设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元，由题意得：

，
每件售价不能高于元，
，
，
与的函数关系式为，自变量的取值范围为，且为正整数；

，
当时，有最大值元．
每件商品的涨价元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是元；
令，得：，
解得：，，
，
，即每件商品的涨价为元时，每个月的利润恰为元；
由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当，且为正整数时，每个月的利润不低于元．
每件商品的涨价为元时，每个月的利润恰为元；当，且为正整数时，每个月的利润不低于元． 

【解析】根据总利润等于每件的利润乘以销售量，可列出关于的函数关系式；根据每件售价不能高于元，可得关于的不等式，求解即可；
将中的二次函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案；
令，可得关于的一元二次方程，解得值，并根据问题的实际意义作出取舍，再结合二次函数的性质，可得的取值范围．
本题考查了二次函数和一元二次方程在成本利润问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系式，并明确二次函数和一元二次方程的性质及解法，是解题的关键．
 

23.【答案】
解：结论：．
理由：如图中，

，都是等边三角形，
，，，

即，
在和中，
，
，
．
解：如图中，结论：．
理由：延长到，使得，连接，．

点是的中点，

在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
． 

【解析】解：如图中，

是等边三角形，
，，
在和中，

，
，
，
．
故答案为：．
见答案；
见答案；
证明，可得结论．
结论：，证明，可得结论．
证明，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

24.【答案】       

【解析】解：把、代入抛物线中，得：
，
解得：，
抛物线交轴于点，
点坐标为，
把点、分别代入中，得：
，
解得：，
故答案为：；；；；
如图，过点作轴交于点，

设坐标为，
则点坐标为，
，
，
当时，的面积有最大值，此时点的坐标为；
，
，
过点作的平行线，过点作与该平行线垂直，垂足为，与轴的交点即为所求的点，
，
，
，
，
设直线向下平移个单位得到直线，则直线的解析式为，
令，则，
解得：或，
点，
，，
直线的解析式为，
过点作于，
设点到的距离为，直线与轴交于，
，
在中，，
，
，
，
的最小值为；
抛物线向右移两个单位，再向上移两个单位，
，
平移后的新抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
当为平行四边形的对角线时，，
，
当为平行四边形的对角线时，，
，
当为平行四边形的对角线时，，
，
综上所述：点的坐标为或或
用待定系数法分别求出、、、的值即可；
过点作轴交于点，设得到点，根据二次函数的应用求出的最大面积，求出此时点的坐标，过点作的平行线，过点作与该平行线垂直，垂足为，与轴的交点即为所求的点，此时，设直线向下平移个单位得到直线，求出其解析式，过点作交于点，设点到的距离为，由勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出的高，即可求出的最小值及点的坐标；
求出平移后的抛物线解析式，设出点和点的坐标，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论即可．
本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，胡不归求最短距离的方法是解决问题的关键．