广东省广州深圳四校（广雅、华附、省实、深中）2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题（学生版）

2020学年第二学期高二期末

华附、省实、广雅、深中2022届高二四校联考

数学

命题学校：深圳中学   定稿人：董正林、赵志伟

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分．考试用时120分钟．

第一部分选择题(共60分)

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知z为复数，则是“z为纯虚数”的(      )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

3. 多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分. 若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为(      )

A.  B.  C.  D.

4. 若的展开式中的系数为20，则a=(     )

A.  B.  C.  D.

5. 已知四边形ABCD满足，点M满足，若 ，则x+y= (    )

A. 3 B.  C. 2 D.

6. 已知为第四象限角，且，则=(      )

A  B.

C.  D.

7. 蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.年月日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点、、、，满足，，，则该鞠的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，且，则 a ， b ， c 的大小为( )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.

9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(    )

A. 的最小正周期为

B. 的最大值为2

C. 在区间上单调递增

D. 为偶函数

10. 已知由样本数据点集合其中，求得的回归直线方程记此模型对应的相关指数为. 观察残差图发现：除了数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为，则下列结论中正确的是(      )

A. 变量x与y正相关 B. 记，则

C.  D.

11. 设是抛物线的焦点，直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则下列结论正确的是(     )

A.

B. 可能大于

C. 若，则

D. 若在抛物线上存在唯一一点(异于、)，使得，则

12. 己知函数，下列关于f(x)的说法中正确的是(     )

A. 当且仅当a=0时，f(x)有唯一的零点

B. f(x)最多有两个极值点

C. 若 则f(x)仅有一个极值点

D. 若f(x)无极值点，则

第二部分非选择题(共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知是两个不同的平面，均为外的两条不同直线，给出四个论断：①;②;③;④. 请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题_______________________(示例：请将答案写成如下形式：“①②③⇒④”)

14. 若直线恒过圆的圆心，则的最小值为___________．

15. 已知公差不为0的等差数列满足，则=______ .

16. 在三棱锥P-ABC中，侧面PAB，侧面PAC，侧面PBC与底面所成的角均为，若AB=2，CA+CB=4，且是锐角三角形，则三棱锥P-ABC体积的取值范围为___________ .

四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答.

已知数列的前n项和为，，且满足             

(1)求数列的通项公式;

(2)记 ，求数列 的前n项和为.

18. 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”;否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下. 用频率估计概率，解答下列问题:

(1)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；

(2)医学上通常认为，人的体温不低于且不高于时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.

19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若. D为BC的中点，，记

(1)若，求AB的值;

(2)求a+2c的取值范围.

20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面， ，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF//平面PAB.

(1)求证：平面;

(2)求二面角F-AE-P的正弦值.

21. (1)(i)证明：；

(ii)证明：时，；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的值.

22. 已知双曲线C:的左右顶点分别是且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是，不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点(异于)，P关于原点O的对称点为S.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)若直线与直线相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得的面积为定值，并求出该定值.