广东省广州市省实，执信，广雅，二中，六中五校2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题

2020-2021学年度第一学期省实、执信、广雅、二中、六中五校联考

高二年级数学科期末考试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分．考试用时120分钟．

第一部分选择题（共60分）

一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）

A．  B．  C．  D．

2．已知，，则，，，三者的大小关系是（    ）

A．  B．  C．  D．

3．已知直线、和平面，在下列给定的四个结论中，的一个必要但不充分条件是（    ）

A．，     B．，

C．，    D．、与所成的角相等

4．已知等比例数列，满足且，则数列的公比是（    ）

A．    B．   C．    D．

5．已知向量，，与共线，则（    ）

A．  B．  C．  D．

6．下列叙述：①某人射击次，“射中环”与“射中环”是互斥事件；

②甲、乙两人各射击次，“至少有人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；

③抛掷一枚硬币，连续出现次正面向上，则第次出现反面向上的概率大于；

④若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为．则所有正确结论的序号是（    ）

A．①③   B．①②④   C．②④   D．①②

7．要得到函数的图象，可将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度    B．向左平移个单位长度 

C．向右平移个单位长度    D．向右平移个单位长度

8．已知直线与椭圆相交于、两点，点、分别是椭圆的右焦点和右顶点，若，则（    ）

A．   B．   C．   D．

9．如图，南北方向的公路，地在公路正东处，地在北偏东方向处，河流沿岸曲线上任意一点到公路和到地距离相等．现要在曲线上某处建一座码头，向，两地运货物，经测算，从到，修建公路的费用都为万元，那么，修建这两条公路的总费用最低是（    ）

A．万元  B．万元  C．万元  D．万元

10．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，当的周长最短时，的值为（    ）

A．   B．   C．   D．

二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

11．关于函数的性质描述，正确的是（    ）

A．的定义域为   B．的值域为

C．的图象关于原点对称    D．在定义域上是增函数

12．已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球的表面上，侧面的面积为．则正确的结论是（    ）

A．若的中点为，则平面

B．若三棱柱的体积为，则到平面的距离为

C．若是边长为的等边三角形，则与平面所成的角为

D．若，则球体积的最小值为

第二部分非选择题（共90分）

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置）

13．若命题“，使得”为真命题，则实数的范围为________________．

14．已知直线与圆心为的圆相交于，两点，且，则实数的值为__________．

15．在等差数列中，，则该数列的前项和等于_________．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过作平行的直线交于点，若，则双曲线的离心率为_____________．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求的值；  （2）若，，求的面积．

18．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

频率分布表

（1）求，，，的值；

（2）根据以上问卷调查估计：若的受调查者满意度评分值不超过值，求的最小值；

（3）若在满意度评分值为的人中随机抽取人进行座谈，求所抽取的人中至少一人来自第组的概率．

19．已知等差数列的各项均为正数，且

（1）求数列的通项公式．

（2）求数列的前项和．

20．已知四边形是梯形（如图），，，，，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（如图），且．

  图         图

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

21．椭圆的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点、，直线与椭圆交于点、．设为坐标原点，直线、、、的斜率分别为、、、．问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

22．已知：函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若函数（且）在区间上恰好有一个零点，求的最小值．