2022-2023学年广东省广州市三校高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年广东省广州市三校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案.

【详解】利用向量的三角形法则，可得，，

为的中点，为的中点，则，

又  

.

故选D.

【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.

向量的运算有两种方法：

一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：

（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；

（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；

二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．

2．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】A：结合两直线的位置关系可判断或异面； B：结合线面平行的性质可判断； C：结合线面的位置关系可判断或相交； D：结合线面的位置关系可判断或.

【详解】A：若，则或异面，故A错误；

B：因为，所以在平面内存在不同于n的直线l，使得，则，从而，故，故B正确；

C：若，则或相交，故C错误；

D：若，则或，故D错误.

故选：B

3．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由图形可知 ．故选B．

4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）

A．16 B． C． D．21

【答案】D

【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.

【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，

故.

故选：D

5．P是所在平面上一点，满足，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.

【详解】由，可得，即，，

等式两边平方，化简得，，

因此，是直角三角形.

故选：B.

6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（    ）

A．平面平面 B．

C．平面 D．与相交

【答案】A

【解析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可.

【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，

选项A，如图可知，且平面，平面，

，且平面，平面，所以平面平面，故正确.

选项B，如图，可知与为异面直线，不平行，故错误.

选项C，如图可知平面与会相交，并不平行，故错误.

选项D，如图可知与为异面直线，不相交，故错误.

故选：A.

【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.

7．在正三角形ABC中，AB＝2，，且AD与BE相交于点O，则＝

A．－ B．－ C．－ D．－

【答案】B

【分析】根据题意将 用基底向量表示出来，然后通过基底向量进行计算．

【详解】由题意画图如下

因为,所以D时BC的中点，

所以,

因为，

所以，

设，则,

因为B,O,E三点共线，所以存在实数 ，使得

所以可得 解得

所以

所以

故选B

【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行数量积的运算．

8．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得.

【详解】依题意，作出图形，

因为点是的重心，所以是的中点，故，

由已知得，

因为，所以，

又因为点是的重心，所以，则，

又因为，所以，则，

又由余弦定理得，所以，整理得，

因为，令，则，

所以，

则.

故选：D.

.

二、多选题

9．已知，则下列命题正确的有（    ）

A．若，则 B．的最大值为2

C．存在，使 D．的最大值为3

【答案】BCD

【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB，当同向时，则有，将转化为三角函数的最值问题即可求解.

【详解】依题意，

对于A：，

即，

所以，故A错误；

对于B：由A知，

所以当时，

有最大值2，故B正确；

对于C：当时，，

，

所以，

，

所以，故C正确；

对于D：，

所以

，

当，

即时，

取得最大值9，所以的最大值为3，故D正确.

故选：BCD.

10．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（    ）

A．高为 B．表面积为

C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为

【答案】BCD

【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.

【详解】对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则，

解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A错误；

对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，

所以圆台的表面积为，选项B正确；

对于C，圆台的体积为 ，选项C正确；

对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D正确，

故选：BCD．

11．在中，a，b，c分别为的对边，下列叙述正确的是（    ）

A．若，则有两解

B．若，则为等腰三角形

C．若为锐角三角形，则

D．若，则为锐角三角形

【答案】AC

【分析】利用正弦定理可判定A，B的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C的正误，用正弦定理和余弦定理可得D的正误.

【详解】若，则由正弦定理，

可得，所以或，

此时有两解，A正确；

若，则由正弦定理可得，所以,

即，所以有或，

即或，B不正确；

若为锐角三角形，则，，

因为在为减函数，所以，C正确；

若，则由正弦定理可得，

设，其中；

则为最大边，，

为钝角三角形，D不正确.

故选：AC.

12．如图，在棱长为1的正方体中，P是上的动点，则（    ）

A．直线与是异面直线

B．平面

C．的最小值是2

D．当P与重合时，三棱锥的外接球半径为

【答案】ABD

【分析】选项A，利用平面可说明直线与是异面直线；

选项B，先证明平面平面，再由平面，得平面；

选项C，通过作辅助线，将的最小值转化为求的值，在中，利用勾股定理求出的值；

选项D，认识到当P与重合时，三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正方体来求外接球半径.

【详解】A选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A正确；

B选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平行四边形，

有，又平面，平面，所以平面，

同理可证平面，

又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面，

又平面，所以平面，故选项B正确；

C选项，延长到，使得，连接，

在上取点，使得，

则，有.

故.

过点作，交于点，

在中，因为，所以，又，

所以，，，，

所以的最小值为，故选项C错误；

D选项，当P与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，

又正方体的棱长为1，故其外接球半径，故选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知是方向相同的单位向量,且向量在向量方向上的投影向量为,求与的夹角__________.

【答案】

【分析】根据向量在向量上的投影向量为,由求解.

【详解】因为向量在向量上的投影向量为,

所以,

即,

因为,

所以,

故答案为:.

14．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．

【答案】/

【分析】设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，得到，结合圆柱和球的体积公式，即看求解.

【详解】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，

设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，则，

所以，可得，

所以外接球的体积，

圆柱的体积为，

所以该球与圆柱的体积之比为.

故答案为：.

15．如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为__海里．

【答案】．

【分析】先利用正弦定理求解AD的长，再利用余弦定理求出AB．

【详解】由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，∠BDC=45°，

在三角形ACD中，，

∴AD＝，

在直角三角形BCD中，BD＝，

在三角形ABD中，AB＝．

故答案为：．

16．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围.

【详解】

，且.

即

设与的夹角为，则.

因为，所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，满足，，．

(1)若，求实数的值；

(2)若设与的夹角为，求的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组基底，再根据共线定理得出实数的值；

（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入夹角公式即可.

【详解】（1）由可得：，

即，又由，得，，

代入解得：，所以，是不共线的向量.

由题可设：，因为，是不共线的向量，

所以且，解得．

（2）由于，

，

由与的夹角为：，

由于，所以．

18．如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高．

(1)求此正三棱锥的表面积；

(2)求此正三棱锥的体积．

【答案】(1)正三棱锥的表面积为；

(2)正三棱锥的体积为

【分析】(1)由条件列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积；(2)利用锥体体积公式求解.

【详解】（1）如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为，侧面积、底面积分别为，

过点O作，与交于点E，连接，则．

由，即，可得.

由，则，

即．

．则．

，则．

∴表面积．

（2）正三棱锥的体积

19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

(1)求；

(2)若的面积为，，求的周长.

【答案】(1)

(2)8

【分析】（1）由及正弦定理求解；

（2）由面积公式求得，由余弦定理及求得，从而得到的周长.

【详解】（1）.由正弦定理可得：

，

所以，

所以，

，

为三角形内角，，解得，，

.

（2），，

由余弦定理得，，

即，解得，

的周长为.

20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．

(1)求证：平面；

(2)求证：F为的中点；

【答案】(1)详见解析；

(2)详见解析；

【分析】（1）连接AC交BD于点G，连接GE，根据ABCD为平行四边形，得到G为AC的中点，再由E为PC的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF，再利用线面平行的性质定理得到求解.

【详解】（1）证明：如图所示：

连接AC交BD于点G，连接GE，

因为ABCD为平行四边形，

所以G为AC的中点，又E为PC的中点，

所以，又平面BDE，平面BDE，

所以平面；

（2）因为底面为平行四边形，

所以，

又 平面ABCD， 平面ABCD，

所以 平面ABEF，又平面平面，

所以，

又因为E 为PC的中点，

所以F为的中点.

21．如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱的中点．

(1)平面与直线交于R点，求的值；

(2)在线段上是否存在点M，使得面，若存在，请求出M点位置并证明；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，为线段上靠近点的四等分点

【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从而得到结果；

（2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边形，从而得到结果.

【详解】（1）

延长和交于，连接，交于，

即平面与直线交于点，

因为为中点， ，所以为中点，

于是，

所以.

（2）

存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面，

取中点，中点，连接，则，且，

所以，且，所以四边形为平行四边形，

所以，又因为平面，平面，

所以面.

22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．

(1)当时，求四边形的面积；

(2)求灯柱的高（用表示）；

(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)，最小值为

【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解；

（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；

（3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.

【详解】（1）当时，，

所以，

又

所以是等边三角形，所以，

所以在中，，即，

所以；

（2），，，

在中，由正弦定理得，

所以

所以

在中，由正弦定理得，

所以，

所以，所以；

（3）在中，由正弦定理得，

所以，

所以

所以

，

因为，所以，

所以当，即时，取最小值，

故关于的函数表达式为，最小值为.