2022-2023学年广东省广州市铁一三校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市铁一三校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义，求解即可.

【详解】根据交集的定义，.

故选：B

2．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在上的单调性，得到答案.

【详解】选项A中，，是奇函数，但在上单调递增，不满足要求；

选项B中，，是偶函数，不满足要求，

选项C中，，是奇函数，在上单调递减，满足要求；

选项D中，，是偶函数，不满足要求.

故选：C.

【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.

3．已知向量，，若，则实数（    ）

A．-1 B．1 C．2 D．-2

【答案】B

【解析】根据已知向量坐标，将应用坐标表示，由知，结合数量积的坐标公式求参数值

【详解】∵向量，

∴

又

∴，即，解得

故选：B

【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示求参数，根据向量垂直，由数量积的坐标公式列方程求参数

4．已知，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分别对，，与特殊值或进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题.

5．设函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数解析式，讨论结合指对数的单调性求的取值范围.

【详解】当时，，可得，故；

当时，，可得，故.

综上，.

故选：C.

6．在等差数列中，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出等差数列的公差，进而可求得的值.

【详解】由题意可知，等差数列的公差为，因此，.

故选：A.

7．函数是

A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2

C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为

【答案】D

【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.

【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，

又，

所以当时，取最大值.

故选：D.

8．在等差数列中，设，则是的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分非必要条件

【答案】D

【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项．

【详解】若等差数列为

则当时，成立，但不成立，所以非充分条件

当时，成立，但不成立，所以非必要条件

综上可知，是的既非充分非必要条件

所以选D.

【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题．

9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

【答案】A

【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

10．已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（    ）

A． B． C． D．无数

【答案】B

【分析】分、、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值.

【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，关于的方程有且只有一个实根，不合乎题意；

当时，，如下图所示：

函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，

由题意可得，解得；

若，则，如下图所示：

函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增，

由题意可得，此时无解.

综上所述，.

故选：B.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

11．集合，则A，B间的关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据公式解出集合A，再根据一元二次不等式的解法求出集合B，即可判断两集合的关系．

【详解】由，解得，即，

由解得，或，即，

所以，，.

故选：A.

12．已知幂函数过点，则在其定义域内（    ）

A．有最大值 B．有最小值 C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】C

【分析】已知函数为幂函数，设函数解析式为，将点代入，解得，判断函数的性质.

【详解】因为为幂函数，设解析式为，将点代入，

得，，

所以，值域为，所以A，B不对，

又因为，所以为奇函数，C对，D不对.

故选：C.

13．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】取特殊值说明与的推出关系不成立.

【详解】取，则成立，但不成立，故充分性不成立；

取，则成立，但不成立，故必要性也不成立；

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D

14．将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的平移变换求得的解析式，结合奇偶性、零点个数及特殊值可排除错误选项.

【详解】．

因为，

即，所以为奇函数，排除A；

令，解得，即有唯－的零点，排除C；

由解析式可知，排除D．

只有B符合条件．

故选：B．

【点睛】本题考查了根据函数解析式选择函数图象，结合奇偶性、单调性、特殊值等性质即可排除错误选项，属于基础题.

15．已知，，，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，，，

因为幂函数在R上单调递增，所以，

因为指数函数在R上单调递增，所以，

即b<a<c.

故选：A.

16．若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，，则实数t的值为（    ）

A．0 B．1011 C．2022 D．2023

【答案】B

【分析】构造函数，判断其奇偶性，利用所构造函数的奇偶性的性质进行求解即可.

【详解】令，

∵，即为奇函数，

设的最大值为，最小值为，则，

∴，即.

故选：B.

17．下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A．若，则函数的最大值为

B．若，则的最小值为

C．若，则的最小值为1

D．若，则的最小值为

【答案】B

【分析】利用基本不等式求解，要注意“一正，二定，三相等”，然后计算即可.

【详解】选项A: 因为，所以，

得，，

因为，利用均值不等式得，

当，即时，等号成立，

所以，所以函数的最大值为，故A错误；

选项B：由，可知，，

所以，

当时，因为，得 ，等号成立，故的最小值为，故B正确；

选项C：因为，所以，又因为，

所以有，化简的，当时，等号成立，

所以的最小值为，故C错误；

选项D：因为，得，

又因为，得，所以，因为，

所以，

当时，因为，得，等号成立，所以的最小值为，故D错误.

故选：B

18．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简的解析式，作出图象，得函数在R上为增函数，再分,分别求解即可.

【详解】解：因为，作出图象，如图所示：

由此可得在R上为增函数，

又因为对任意的，不等式恒成立，

所以恒成立，

若,则，

所以，无解；

若，当时，有，，

所以不等式等价于，

即，

所以对任意的恒成立，

所以，

解得：.

故选：A.

二、多选题

19．给出下列四个对应，其中构成函数的是

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】本题可通过每一个自变量是否有唯一的数字与之对应来判断是否可以构成函数.

【详解】A项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，A正确；

B项：自变量没有对应的数字，不能构成函数，B错误；

C项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数，C错误；

D项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，D正确，

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义，需考虑是否满足定义域中的每一个元素是否通过这个对应关系都有唯一的一个元素与之对应，是中档题.

20．已知x，y，u，v，s，t均为实数，下列命题正确的是（    ）

A．已知，则存在正数t使成立

B．“”是“”的充分不必要条件

C．若，则

D．若正数x，y满足是，则

【答案】AC

【分析】对于A，利用作差法分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，举例判断.

【详解】对于A， ，因为，，

所以，所以当时，，则，

所以当存在正数t使成立，所以A正确，

对于B，当时，不一定成立，当时，成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，所以B错误，

对于C，因为，所以，因为，

所以，所以，

所以，所以，

所以，所以C正确，

对于D，若时，，此时，所以D错误.

故选：AC

21．已知函数，若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数k的值可以是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】AB

【分析】作出函数图象，根据图象可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，而最多有2个实根，由此分类讨论可求得结果.

【详解】的图象如图所示，由图可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，

当时，方程无实根，

当时，方程有唯一实根，

当时，方程有2个实根，

当或时，方程有3个实根，

当时，方程有4个实根，

因为最多有2个实根，此时，

所以方程有8个不同的实数根，等价于的实根至少有4 个，

当时，的3个根均大于，不合题意，

当时，的4个根均大于，方程有8个不同的实数根，符合题意，

当时，方程有7个不同的实数根，不符合题意，

当时，的3个根均大于，不合题意，

综上，实数k的取值范围为，

故选：AB

22．对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（    ）

A． B．

C．，若，则 D．不等式的解集为

【答案】BCD

【分析】根据的值，分析每个选项，A项可以举出反例，B项可以在中找出存在令命题成立的一对实数，，C项根据，可以得到，属于相同区间，D项先解出的范围，再解出的取值范围.

【详解】对于A，，，所以A为假命题；

对于B，，，，所以B为真命题；

对于C，因为，所以，，所以，C为真命题；

对于D，解不等式，得或，所以不等式的解集为，D为真命题.

故选：BCD

三、填空题

23．函数的定义域是____________．

【答案】

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【详解】由题意得，

故答案为：

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

24．若函数， 对任意的都满足，则常数的一个取值为_______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由，代入利用两角和与差的余弦公式化简即可.

【详解】由，即，

即，

即，又，

所以，

所以，

即常数的一个取值为，

故答案为：.

25．已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论：

①函数的最小正周期是；

②函数在区间上单调递增；

③函数的图象过点；

④直线为函数的图象的一条对称轴．

其中所有正确结论的序号是____________．

【答案】①②④

【分析】根据函数图象求出，结合三角函数的性质进而求出函数的零点，作出图象，利用数形结合的思想依次判断结论即可.

【详解】由图象得，，

又函数图象过点，所以，

由，得，所以，

所以，令，

所以函数的零点有，作出图象，如图，

由图象可得，

的最小正周期为，故①正确；

函数在上单调递增，即在上单调递增，故②正确；

令，得，即函数图象过点，故③错误；

由函数图象知直线是图象的一条对称轴，故④正确.

故答案为：①②④

26．已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.

【答案】

【分析】由即可求出结果.

【详解】因为函数的定义域为，

所以要使函数有意义，只需，即，

所以函数的定义城是.

故答案为：

27．已知函数满足且，有，则实数a的取值范围是__________．（用集合或区间表示）

【答案】

【分析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.

【详解】因为对，且都有成立，

所以函数在上单调递增.

所以，解得.

故答案为：.

28．已知函数,当时,恒成立,则实数a的最大值为______________．

【答案】4

【分析】根据绝对值不等式去绝对值符号,对a进行全分离,注意与0进行分类讨论,全分离后求函数的最值,即可求出a的范围,即a的最大值.

【详解】解:由题知,

即,

即

(1)当时,成立,,

(2) 当时, 可化为

,

即

记可知

在单调递增,,

当且仅当时取等,

,

综上,

所以a的最大值为4.

故答案为:4

四、双空题

29．已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

【答案】         

【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.

【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，

，

则点，，，

因此，，.

故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

30．已知数列满足，记，则_____________；_____________．

【答案】          ##

【分析】根据题设中的递推关系可得，进而根据等差数列通项公式求解即可.

【详解】解：由题设可得，

又，，，

所以，，

所以，，即，

所以为等差数列，公差为，首项为

所以，．

故答案为：；

31．若区间满足：

①函数f(x)在[a，b]上有定义且单调；

②函数f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的共鸣区间．

请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间________；

（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是________．

【答案】     或或（填一个即可）    

【分析】空1：根据定义，结合函数的单调性进行求解即可；

空2：根据定义，结合函数的单调性、利用换元法进行求解即可；

【详解】空1：设是区间上的共鸣区间，因为在上递增，且在上的值域也为，

所以，即，因为，所以或或，

函数的共鸣区间为或或.

空2：因为函数在上单调递增，若存在共鸣区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根，

令，得，

所以在上有两个不等的实根，

令，

则，即，解得，

故实数k的取值范围是

故答案为：；

【点睛】关键点睛：第二问利用等价转化思想将问题转化为一元二次方程根的问题求解是解题关键.

五、解答题

32．已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为8．

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数在区间上的最大值与最小值．

【答案】（1） a=4，b=−3；（2）函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为；（3）函数f(x)在[−1,1]上的最大值为6，最小值为

【分析】(1)由已知，利用f(1)=2，解方程求解即可；

 (2) 求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；

(3)由(2)知,函数f(x)在处取得极小值，结合，比较大小即可得结果.

【详解】(1)由

可得

∵函数的图象过点P(1,2)

∴f (1)=2，∴a+b=1，

又函数在点处的切线斜率为8，

解得 a=4，b= −3，

 (2)由(1)得，

令f ′(x)>0,得 x<−3或 ，

令f ′(x)<0,得，

函数f (x)的单调增区间为

函数f (x)的单调减区间为

(3)由(2)知,又函数f(x)在处取得极小值，，

所以函数f(x)在[−1,1]上的最大值为6,最小值为.

【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大小．

33．已知函数，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）的最小正周期；

（2）在区间上的最大值．

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】若选①，（1），（2）最大值为；若选②，（1），（2）最大值为；

【分析】若选①，

（1），再计算周期即可.

（2）根据得到，从而得到，即可得到函数的最大值.

若选②，

（1），再计算周期即可.

（2）根据得到，从而得到，即可得到函数的最大值.

【详解】若选①，

（1）

.

.

（2）因为，所以，

所以，即的最大值为.

若选②，

.

.

（2）因为，所以，

所以，即的最大值为.

34．“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：

(1)从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；

(2)从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；

(3)若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．

【答案】(1)

(2)分布列祥见解析、数学期望

(3)

【分析】（1）计算出样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的人数，除以100即可解决；

（2）以n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式去求解X的4个概率；

（3）以二项分布的方差公式去求解两个方差.

【详解】（1）由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有

（人）

又样本中未参加任何课后服务的有14人，

故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）

则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为

由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率

（2）样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25

以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，

X的可能取值为0，1，2，3，

X的分布列为

X的数学期望

（3）由题意可知随机变量X服从二项分布，故.

又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），

则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P ，且.

以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，

故,.

35．已知的内角的对边分别为，且

(1)求的值；

(2)给出以下三个条件：

条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：

（i）求的值；

（ii）求的角平分线的长.

【答案】(1)；

(2)条件正确，(i)；(ii).

【分析】(1)根据两角和与差的正弦公式、辅助角公式化简计算可得，即可求得B；

(2)利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出，结合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程组即可.

【详解】（1），

，

，

，得Z，

由，得；

（2）若条件①正确，由，得，

由余弦定理，得，即，

解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；

(i)由，，

得，解得，

由余弦定理，得，

因为，所以，由正弦定理，

得，即；

(ii)由正弦定理，得，即，

因为平方，，所以，

在中，由正弦定理，得，

在中，由正弦定理，得，

又，上述两式相除，得，

解得，所以.

36．已知函数（）.

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若有两个极值点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若，求在区间上的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】由题意得；

（Ⅰ）当时，求得，，根据点斜式方程即可求出切线方程；

（Ⅱ）由题意得两个不等的正根，令，则，由此可得函数的单调性，由此可求出答案；

（Ⅲ）由题意可得，由二阶导的取值符号可得到的单调性，得到，由此可求出函数在上单调递减，从而求出最值．

【详解】解：∵，

∴；

（Ⅰ）当时，，，

∴曲线在点处的切线方程为，

即；

（Ⅱ）∵若有两个极值点，

∴有两个不等的正根，即两个不等的正根，

令，，，

令，

当时，此时单调递增，；

当时，此时单调递减，

∴函数在处取得极大值，也是最大值，

因为两个不等的正根，

∴，得，

∴实数a的取值范围是；

（Ⅲ）∵，

∴，，

∵，，令，

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减，

故，

∴在上单调递减，

故在上的最小值为．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．

37．设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”.

(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？

(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中，3，，.

(3)如果，且对于任意，3，，，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值.

【答案】(1)数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列，数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列

(2)证明见解析

(3)12873

【分析】（1）由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；

（2）讨论为偶数或奇数，结合新定义即可得证；

（3）在数列中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是的倍数，，3，，，讨论数列的项数超过8，推得数列的项数至多7项.讨论数列的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值.

【详解】（1）（1）由不为整数，

可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；

数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，

则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；

（2）证明：若为偶数，设，考虑1，2，3，，这项，其和为.

所以这项的算术平均值为：，此数不是整数；

若为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，；

这项，其和为，所以这项的算术平均数为：，

此数不是整数；故数列：1，2，3，4，，不是“阶平衡数列”，其中，3，4，；

（3）在数列中任意两项，，，

对于任意，3，4，5，，，在中任意取两项，，相异的项，

并设这项和为.由题意可得，都是的倍数，

即，，，为整数），可得，

即数列中任意两项之差都是的倍数，，3，，，

因此所求数列的任意两项之差都是2，3，，的倍数，

如果数列的项数超过8，那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，

即，，，均为420的倍数，为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），

，

即，这与矛盾，

故数列的项数至多7项.

数列的项数为7，那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，

即，，，均为60的倍数，为2，3，4，5，6的最小公倍数），

又，且，

所以，，，，

所以，

当且仅当，，，取得最大值12873；

验证可得此数列为“阶平衡数列”，，3，，，

如果数列的项数小于或等于6，由，

可得数列中所有项的之和小于或等于，

综上可得数列中所有元素之和的最大值为12873.

【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力､推理能力，属于难题.

38．（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；

（2）证明：已知，且，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）利用作差法判断即可；

（2）根据不等式的性质计算可得；

【详解】解：（1）因为，，

所以

因为，，所以，，

所以，即；

（2）因为，且，所以，，

所以，

所以，

所以；

39．定义一种新的集合运算且．若集合，．

(1)求集合M；

(2)设不等式的解集为P，若是的充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)先求出集合的具体范围，再根据题设的条件即可求解；

(2)将条件是的充分条件等价转化为，再分讨论求出集合P，进而求出实数a的取值范围.

【详解】（1）因为，

，因为且

所以.

（2）因为是的充分条件，所以,

因为不等式的解集为P，

当，也即时，,此时满足条件；

当，也即时，，

要使成立，则有，解得：；

当，也即时，，

要使成立，则有，解得：；

综上所述：若是的充分条件，求实数a的取值范围为.

40．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(3)解不等式：．

【答案】(1)

(2)在上单调递减，证明见解析

(3)

【分析】(1)由定义在上的奇函数，及，解出，，并检验，得的解析式；

(2)在上任取，，化简并判断的正负，判断证明函数的单调性；

(3)由函数的单调性及奇偶性，将不等式转化为，同时注意定义域，解不等式.

【详解】（1）由定义在上的奇函数，，

即，所以，

又因为，

经检验，，使得为奇函数，所以.

（2）在上单调递减.

证明：，

由， ，，

所以，即

在上单调递减.

（3）因为为奇函数，所以原不等式可化为

，

又因为在上单调递减，所以

，解得.

不等式的解集为

41．在2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，广州市某村施行“封村”行动．为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x米．

(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少？

(2)现有乙工程队也参与此监测站建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．

【答案】(1)当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低，最低报价为元

(2)

【分析】（1）由题意，整理甲工程队报价关于的表达式，利用基本不等式，可得答案；

（2）由题意，将问题转化为证明不等式恒成立问题，利用参变分离，构造新函数，利用函数单调性，求得最值，可得答案.

【详解】（1）由题意，屋子的左右两侧墙的长度均为x米，则正面新建墙体的长为米，设甲工程队报价为元，

，

，当且仅当，时等号成立，

当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低，最低报价为元.

（2）由题意可得，对任意恒成立.

即，从而，恒成立，

令，，

令，任意取，设，则，由，则

即在上单调递增，故当时，，

所以.

42．已知二次函数在区间上有最大值4，最小值0．

(1)求函数的解析式；

(2)设．若在时恒成立，求k的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式．

（2）化简已知得，设得在恒成立，利用二次函数求出函数的最大值即得解.

【详解】（1）其对称轴x＝1，x∈[0，3]上，

∴当x＝1时，取得最小值为﹣m+n+1＝0 ①．

当x＝3时，取得最大值为3m+n+1＝4 ②．

由①②解得m＝1，n＝0，

故得函数的解析式为.

（2）由题得，

，所以，

所以，所以，

所以，

设，所以在恒成立.

又函数在时最大值为.

所以

43．已知函数，

(1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；

(2)当时，记函数的最大值为，求的最小值．

【答案】(1)①函数单调递增区间为和；②；

(2)

【分析】（1）由已知，将代入原函数，去掉绝对值，分别在和两种情况下讨论二次函数的单调区间，根据得到的函数的单调性，在区间上可确定最值点，从而确定值域；

（2）分别在，以及三种情况下，结合二次函数的对称轴与端点值的大小即可确定函数的最大值，从而求解出的解析式，然后根据函数的单调性，在求解的最小值.

【详解】（1）当时，函数，

当时，函数，

此时，函数在上单调递增，

当时，函数，

此时，函数在上单调递增，

所以函数单调递增区间为和；

因为函数单调递增区间为和，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，，

因为，，

，，

所以函数在区间的值域为；

（2）由已知可得，，

当时，即时，，对称轴为，

当时，即时，函数在区间上单调递增，

所以，

当时，即时，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，

当时，即时，若，，若，，

因为当时，，对称轴为，

所以函数在区间上单调递增，所以，

当，即时，此时，

当，即时，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，

当，即时，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以

若，即时，，

若，即时，，

综上所述，，

函数在区间上单调递减，

函数在区间上单调递减，

函数在区间上单调递增，

所以.

【点睛】在涉及二次函数有关的函数单调性、最值和值域的求解问题时，解题的关键是能够够结合对称轴的位置，分段函数分段处对参数进行讨论，在参数不同范围的情况下确定最值点的位置.