四川省南充市南充高级中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

南充高中2022- 2023学年度下学期期中考试

高2022级数学试题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

命题人：唐茜茜 余龙 李思键 审题人：陈勇

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮㲾干净后，再选涂其他答案标号.回答非选挂题时，将答㭉写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

第I卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ）

A. （） B. （）

C. （） D. （）

【答案】C

【解析】

【分析】根据终边相同角的表示方法以及角度和弧度的应用，一一判断各选项，可得答案.

【详解】对于A，B，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确；

又与角的终边相同的角的表达式可以为（）或（），

对于，令，表示的角为与角的终边不相同，故C正确，D错误，

故选：C

2. 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，

则下列判断错误的是

A.  B. ∥

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且，∴选项A、B、C正确，故选D

3. 下列求值正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式计算.

【详解】，，

，．

故选：D．

4. 已知角的终边经过点，且，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由可得，再根据余弦函数的定义求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：C.

5. 下列函数不是奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义，结合三角函数的性质即可化简求值.

【详解】对于A , 定义域为,所以为奇函数，

对于B，定义域，且，所以为奇函数，

对于C，定义域为，且，所以为偶函数，

对于D，定义域满足且，所以且，

故定义域为或或,故定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，

故选：C

6. 先将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），所得函数的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象的伸缩变换即可求解.

【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变,得到，

再将所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变得到，

故选：B

7. 已知，且，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.

【详解】，

,

，

又，则，即

所以，

因为，所以，.

由平方可得，即，符合题意.

综上，.

故选：B.

8. 已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值，记的最小正周期为T，则当取最大值时，的值为（      ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化简得,结合已知可得，可解得，结合正弦函数的性质可得列不等式，得的范围，进而得解．

【详解】，

由，可得

∴是函数含原点的递增区间．

又∵函数在上递增，

∴，

∴得不等式组：，且，

又∵，

∴，

又函数在区间上恰好取得一次最大值，

根据正弦函数的性质可知，

所以且，

可得．

所以，

当时，，

所以，

故选：C.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 给出下列命题正确的是（    ）

A. 平面内所有的单位向量都相等

B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量

C. 若满足，且同向，则

D. 若四边形满足，则四边形是平行四边形

【答案】BD

【解析】

【分析】根据单位向量以及相反向量可判断AB，由向量以及相等向量可判断AD.

【详解】对于A,单位向量是模长相等，方向不一定相同，故A错误，

对于B，由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量，故B正确，

对于C，向量不可以比较大小，故C错误,

对于D，，则，且,故为平行四边形，故D正确，

故选：BD

10. 若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】利用三角形的内角和为和诱导公式求解即可.

【详解】因为,

所以,故A正确;

,故B错误;

,故C正确;

当时,选项D不正确;

故选:AC

11. 已知，且，函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 点是函数图像的一个对称中心

B. 直线是函数图像的一条对称轴

C. 函数在区间上单调递减

D. 若，则函数的值域为

【答案】AC

【解析】

【分析】先利用弦化切的思想，求出，由此求出的值，然后利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质求解即可．

【详解】：因为，由，

可得

而 ，所以 ，

于是

 .

 ，点是函数图像的一个对称中心，

直线不是函数图像的对称轴，A选项正确，B选项错误；

时，，是正弦函数的单调递减区间，所以在区间上单调递减，C选项正确；

当时，有， ，

则的值域为，D选项错误．

故选：AC

12 已知函数，则（    ）

A. 是周期函数

B. 是偶函数

C. 在上单调递增

D. 若，使得成立，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对选项A，根据是周期为的周期函数，是关于轴对称的函数，不是周期函数，即可判断A错误，对选项B，根据偶函数的定义即可判断B正确，对选项C，根据复合函数的单调性即可判断C正确，对选项D，根据题意得到，再结合单调性即可判断D正确.

【详解】对选项A，设，则，

因为是周期为的周期函数，

是关于轴对称的函数，不是周期函数，

所以不是周期函数，即不是周期函数，故A错误.

对选项B，的定义域为R，，

所以是偶函数，故B正确.

对选项C，，，

因为，在为增函数，

所以在为增函数，即在上单调递增，

故C正确.

对选项D，，使得成立，

即，

因为在上单调递增，

所以，即，，故D正确.

故选：BCD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13 化简得______.

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量的加法和减法法则计算．

【详解】．

故答案为：．

【点睛】本题考查平面向量的加法法则和减法法则，解题时注意减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．

14. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.

【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为，

故答案为：

15. 若，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，

所以，，

所以

.

故答案为：

16. 如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】计算得出，，利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可求得的最小值.

【详解】因为直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，

过点作直线，交于点，交于点，则，，且，

又因为，则，故，且，

在中，，则，

在中，，则，

所以，，

因为，则，故当时，即当时，取最小值，且最小值为.

故答案为：.

第II卷

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知.

（1）化简；

（2）若为第四象限角，且，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简；

（2）利用同角三角函数的关系求值.

【小问1详解】

由三角函数诱导公式知：

.

【小问2详解】

为第四象限角，且，则，

可得.

18. 在中，为的中点，在上取点，使，与交于，设.

（1）用表示向量及向量；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用向量的加减运算，用表示向量及向量；

（2），由三点共线知，可得的值.

【小问1详解】

是的中点，，则

，

.

【小问2详解】

，

由三点共线知，所以.

19. 设函数，图象的一条对称轴是直线.

（1）求；

（2）求函数在上的单调增区间.

【答案】（1）   

（2）单调增区间为，.

【解析】

【分析】（1）根据为函数的一条对称轴得到，解得，再根据的取值范围，即可得解；

（2）解法一：首先求出解析式，再根据正弦函数的性质求出函数上的单调递增区间，再与所给定义域求交集；

解法二：由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

【小问1详解】

因为是函数图象的对称轴，

所以，所以，解得.

又因为，所以.

【小问2详解】

解法一：由（1）知，则.

由，得，

即在上的单调递增区间为，

，当时，可得，

当时，可得，

所以函数在上的单调增区间为，.

解法二：，，

要函数在上的单调递增，

或，

解得或，

所以函数在上的单调增区间为，.

20. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，且，已知点的坐标为.

（1）求；

（2）求函数的最小值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用三角函数定义，结合诱导公式、同角公式求解作答.

（2）由（1）求出，换元结合二倍角的正弦转化为二次函数求解作答.

【小问1详解】

由三角函数定义，得，而，则，

由，得，即，

于是，

所以

【小问2详解】

由，得，

则函数，

令，

有，即，

令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.

21. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期以及函数在上的值域；

（2）已知为锐角，且，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用两角和的正弦公式、倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，由周期公式求最小正周期，由定义区间用整体代入法求值域；

（2）可解得，同角三角函数的关系求出，由，两角和的正弦公式可解.

【小问1详解】

因为

，

故数的最小正周期，

所以，则，

故函数的值域为.

【小问2详解】

由，得

又因为为锐角，所以，

，所以，

所以

22. 已知函数的部分图像如图所示，且，的面积等于.

（1）求函数的解析式；

（2）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）的面积求出，即，可求出，图像过点，求出，可得函数解析式；

（2）由函数图像的平移，求出解析式，设，化简函数解析式，依题意在区间上单调递减，利用正弦型函数的单调性求的最大值.

【小问1详解】

由题意可得，

，

所以，由解得，所以，

图像过点，则，又因为，所以，

所以，

【小问2详解】

由题意可得，

设

，当时，恒成立，

即恒成立，即恒成立，

在区间上单调递减，

令，解得，

因为，所以，则，

故，解得，

所以最大值为.