2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线 的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由斜率与倾斜角的关系求解，【详解】由题意得直线的斜率，即直线的倾斜角为故选：D2．在空间直角坐标系中，，，则（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据空间两点间距离公式进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选：B3．在正项等比数列 中，，则数列的前 5 项之和为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据对数的运算性质以及等比数列的性质即可求解.【详解】由等比数列的性质得, 数列的前 5 项之和为，故选：C4．在 中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】直接利用余弦定理计算得到，再根据同角三角函数关系得到答案.【详解】，，，.故选：A5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（    ）A．20 B．40 C．70 D．112【答案】C【分析】根据程序框图的步骤，进行计算，可得答案.【详解】第一次执行，由，则，又由，则进入循环；第一次循环，由，则，又由，则进入循环；第二次循环，由，则，又由，则进入循环；第三次循环，由，则，又由，则进入循环；第四次循环，由，则，又由，则输出.故选：C.6．已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】计算公共弦所在直线为，得到，解得答案.【详解】圆 与圆的公共弦所在直线为，即，故，解得，故直线过定点.故选：A7．已知 ，且，则 （     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解，进而根据模长公式即可求解.【详解】由，得，所以，故选：D8．已知集合,，若有两个子集，则的值可以为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据集合的含义结合有两个子集，可知两圆，相切，由此列出方程，可求得答案.由题意可得，，故要使有两个子集，则中有一个元素，即集合中两圆的位置关系为内切或外切．由于点在圆的外部，故需满足且，解得或，故选：D.9．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①利用中位线证明出线线平行，从而得到直线BE与直线CF是共面直线，①错误；直线BE与直线AF满足异面直线的定义，②正确；证明出线线平行，进而证明出线面平行，③正确；BE与PA的关系不能确定，故④不一定正确；【详解】画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以直线EF平面PBC，故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.所以正确结论的个数是2.故选：B10．圆 上的动点到直线的距离的最大值是（     ）A．4 B．6C． D．【答案】C【分析】直线过定点，圆上的点到直线的最大距离即圆上的点到定点的距离，计算即可.【详解】直线 所过的定点坐标为，圆的圆心坐标为，半径为 2 ，当圆上的动点到直线的距离最大时，即为圆上的动点到定点的距离，已知圆心到定点的 距离为，所以距离的最大值为.   故选：C11．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出已知圆的圆心与半径，则圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，可化为圆心到直线的距离，从而求得直线的斜率的取值范围.【详解】圆的方程，可化为，则圆心为，半径为，根据遈意知，只有圆心到直线的距离时圆上至少有三个不同点到直线的距离为，即.所以有①，当时有，此时圆心到直线的距离为，不成立;当时有，此时圆心到直线的距离为，不成立;当 且时，直线，则，将①式同时除以得，即，解得，综上直线的斜率的取值范围是.故选：A12．对于圆 上任意一点的值与无关，有下列结论:① 点的轨迹是一个圆；② 有最小值；③ 当 时，有最大值；④ 当 时，.其中正确的个数是（     ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由，将已知条件看作到直线、距离之和的倍，且已知圆在平行线、之间得，再结合各项描述分析正误.【详解】令，可看作到直线、距离之和的倍，由的值与无关，所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间，而两线距离为，①当时，的轨迹是直线，错误；②由上分析知：r有最大值，无最小值，错误；③时，，即有最大值，正确；④时，则，故，正确.所以正确的有③④.故选：B 二、填空题13．两平行直线之间的距离为________【答案】##【分析】用平行线间的距离公式，代入即可.【详解】直线，即为，所以两平行直线与之间的距离为.故答案为：14．直线 垂直于直线，且在轴上的截距为 2 ，则直线的一般式方程为________【答案】【分析】根据垂直关系得出直线的斜率，再根据截距写出直线的表达式，即可化为一般方程.【详解】解：由题意∵直线 垂直于直线∴直线 斜率为-1∵在轴上的截距为 2∴：故线的一般式方程为：，故答案为：.15．直线 过且与圆相切，则直线的方程为________【答案】或.【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】因为 ，所以点在圆外. 圆的圆心坐标为，半径为 2.当直线的斜率存在时，设其方程为，即.所以 ，解得，故直线的方程为,当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足条件.故直线的方程为或.故答案为:或.16．已知圆 ，圆，点分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是________【答案】【分析】先求出圆心和半径，作关于轴的对称圆，结合三角形三边关系可判断当三点共线时，取到最大值，数形结合即可求解.【详解】由题意可知，圆的圆心，半径为，关于轴的对称圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，设关于轴的对称点为，则，则的最大值为的最大值，当三点共线时，所以的最大值为.故答案为：9 三、解答题17．已知的三顶点的坐标为.(1)求边的中线所在直线的一般式方程(2)求的面积.【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根据中点坐标以及两点斜率公式，由点斜式即可写出直线的方程，（2）根据两点式得直线的方程，进而由点到直线的距离即可求解三角形的高，进而可求面积.【详解】（1）线段 中点为，所以直线的斜率为，故直线的方程为:，即（2）由两点式得的方程为，即，所以点到直线的距离为:，又，所以18．某工厂使用 两种原料生产甲、乙两种产品，每天生产所用种原料不超过 8 吨，种原料不超过 6 吨.已知生产1吨甲、乙两种产品各所需原料如下表所示: 甲乙A（吨）21B（吨）11 (1)设该工厂每天生产甲、乙两种产品分别为 吨，试写出关 于的线性约束条件并画出可行域;(2)如果生产 1 吨甲、乙两种产品可获得的利润分别为 3 万元、 2 万元，试求该工厂每天生产 甲、乙两种产品各多少吨可获得的利润最大，最大利润为多少?【答案】(1)约束条件为,作图见解析，(2)该工厂每天生产甲产品2吨，乙产品4吨可获得的利润最大，最大利润为14万元. 【分析】（1）根据题意即可列出不等关系，进而可得可行域，（2）根据几何意义，结合可行域求截距最值即可.【详解】（1），可行域见阴影部分.（2）设利润为，则，所以，由 ，设.易知当直线经过点时，纵截距最大.所以 .故该工厂每天生产甲产品2吨，乙产品4吨可获得的利润最大，最大利润为14万元.19．已知圆 ，点是坐标原点，是圆上一动点.(1)求线段 的中点的轨迹方程;(2)设 是 (1) 中轨迹上一点，求的最大值和最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据相关点法即可将点坐标代入求解，（2）根据两点距离公式结合几何意义即可求解最值.【详解】（1）设 ，则，因为点在圆上，所以，化简得，即;的轨迹方程为，它是圆心为，半径为 1 的圆（2）设 ，所以，由平面几何知识知， ，其中，所以20．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成的角的正切值；【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由平面几何知识证明，由线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而可得面面垂直；（2）由（1）得是PC与平面PAD所成角的平面角，求出这个直角三角形（需证明）中两直角边长，然后可得结论．【详解】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，在中，E是AD中点，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，∵平面PCE，∴平面平面PAD.（2）∵平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，即是PC与平面PAD所成角的平面角，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，在中，，在中，，∵平面PAD，平面PAD，∴，在中，，∴PC与平面PAD所成角的正切值为.21．某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量万件与月促销费用万元满足关系式(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件.已知生产该产品每月固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 6 万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为万元.（注：利润销售收入生产投入－促销费用)(1)将表示为的函数;(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大? 最大利润为多少?【答案】(1)(2)当月促销费为 3 万元 时，该产品的月利润最大，最大利润为 12 万元. 【分析】（1）根据题意即可求解销售收入，进而可求利润，（2）由基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）由已知，当 时，;（2）当时，，当且仅当 ，即时等号成立.所以，当月促销费为3万元 时，该产品的月利润最大，最大利润为 12 万元.22．已知动点 到原点的距离与它到点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)直线 与曲线交于两点，求的取值范围 (为坐标原点);(3)点是直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.试问直线是否恒过定点，若是，求出这个定点; 若否，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)直线经过的定点为. 【分析】（1）由题意列式求解，（2）联立直线与圆方程，由韦达定理转化为的函数后求解，（3）设点坐标，由几何关系得直线方程后求解，【详解】（1）由已知，化简得，化为所以曲线的方程为:;（2）设，联立直线与圆的方程，，消去，得，得则，直线与曲线相交，所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得，（3）设，，由题意得在以为直径的圆上，由得该圆方程为，即，该圆与曲线相交，与联立得所以直线的方程为，整理得 ，令，直线经过的定点为.