2022-2023学年重庆市南开中学校高一下学期第二次月考数学试题含答案

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重庆市南开中学高2025届高一下第二次月考

数学试题卷

一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）

1.过原点的圆的圆心为，直线与圆相切于原点，则的倾斜角为（    ）

A.5    B.    C.    D.

2.若向量与不共线，，且，则向量与向量的夹角为（    ）

A.0    B.    C.    D.

3.三棱锥中，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为.则直线与平面所成的角正弦值的最小值是（    ）

A.    B.    C.    D.

4.在中，角所对应的边分别为，设的面积为，若不等式恒成立，则的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.已知直线与圆有公共点，且公共点的横纵坐标均为整数，则满足的有（    ）

A.40条    B.46条    C.52条    D.54条

6.已知不等式的解集为，且函数在上无最值，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知长方体中，，过点且与直线平行的平面将长方体分成两部分，且分别与棱交于点.现同时将两个球分别放入被平面分成的两部分几何体内.在平面变化过程中，这两个球半径之和的最大值为（    ）

    B.    C.    D.

8.已知分别为曲线与圆上的动点，若存在，使得三角形是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.若周长为15的三角形的三边长均为整数，则（    ）

A.的任一边长不超过7    B.不同的的个数不超过8

C.的面积不小于4    D.的面积可能超过12

10.若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于（    ）

A.    B.    C.    D.

11.如图，在中，，设点在上的射影为，将绕边任意转动，则有（    ）

A.若为锐角，则在转动过程中存在位置使

B.若为直角，则在转动过程中存在位置使

C.若，则在转动过程中存在位置使

D.若，则在转动过程中存在位置使

12.如图，已知正方体的边长为1，球的半径为1，记正方体内部的球表面为曲面，过点作平面与曲面相切，记切点为，平面与平面所成二面角为，则（    ）

A.点平面

B.点的轨迹长度为

C.的最小值为

D.当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.设，若，则的最小值为__________.

14.已知正方体是线段上的一点.若正方体的各个顶点中，恰有两个顶点满足，则此时的值为__________.

15.已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为__________.

16.在中，内角满足，若关于的不等式对任意恒成立，则角的取值范围是__________.

四､解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.如图，三棱锥中，平面平面，点在线段上，且，点在线段上，且.

（1）证明：平面.

（2）若四棱锥的体积为7，求线段的长.

18.已知函数为奇函数，且其图象相邻两对称轴间的距离为.

（1）求和；

（2）当时，记方程的根为，求的范围.

19.已知圆和定点，动点在圆上.

（1）过点作圆的切线，求切线方程；

（2）若满足，求证：直线过定点.

20.内一点，满足，则点称为三角形的布洛卡点.布洛卡点的一个性质为，

（1）若分别是的对边，，证明：；

（2）在（1）的条件下，若的周长为4，将表示为的函数，并求的取值范围.

21.如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥.

（1）求四棱锥的体积的最大值；

（2）若棱的中点为，求的长；

（3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.

22.在平面直角坐标系中，已知圆

（1）若直线与圆相切，且在坐标轴上截距相等，求直线的方程；

（2）若过点的射线与圆有两个不同交点，且射线上存在点使得，求的取值范围.

重庆市南开中学高2025届高一下第二次月考

数学试题卷-参考答案

一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）

1.【答案】B    2.【答案】D    3.【答案】A    4.【答案】A

5.【答案】A    6.【答案】A    7.【答案】A    8.【答案】A

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.【答案】AB    10.【答案】ABD    11.【答案】AC    12.【答案】ABD

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.【答案】    14.【答案】2或

15.【答案】    16.【答案】

四､解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.【答案】（1）略（2）3或

18.【答案】（1）

，

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.

又因为函数为奇函数，

所以，则，解得.

由得.

此时，易知其为奇函数.

（2）由（1）知，，即.

因为，可得，

结合正弦函数图象知，，即.

且，

则，

故.

19.【答案】（1）因为圆，所以圆心，半径，

当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心与的距离为，则直线与相离，不满足题意；

当直线斜率存在时，设切线方程为，即，

则，解得或，

所以切线方程为或，即或.

（2）若直线斜率不存在，由对称性得，

又，所以，故直线为，

联立，解得或（舍去），

故，则，直线方程为，

若直线斜率存在，设直线方程为

联立，消去，得，

所以，

而，

化简得，解得或，

当时，直线为，显然过点，不符合题意，舍去，

故，直线为，显然过定点，而直线也过，

综上：直线过定点.

20.【答案】（1）设，

在和中，由正弦定理得

又，

，

，又，

，即.

（2）

，即，

设，

，解得：，又，得，

由且在上递增，

所以在上为减函数，易知，

21.【答案】（1）取的中点，连接，

因为，则，

当平面平面时，点到平面的距离最大，

四棱锥的体积取得最大值，

此时平面，且，

底面为梯形，面积为，

则四棱锥的体积最大值为

（2）取中点，连接，

则因为为中点，所以为的中位线，

所以且，

因为为的中点，四边形为矩形，

所以且，

所以且，

故四边形为平行四边形，

所以.

（3）连接，

因为，所以，

所以为的平面角，即，

过点作平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

过作于点，由题意得平面，

设，

因为，所以，

所以

所以，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

设平面的法向量为，

因为，

则

令，可得：，

设两平面夹角为，

则

令，所以，

所以，所以当时，有最小值，

所以平面和平面夹角余弦值的最小值为

22.【答案】（1）或

（2）