2022-2023学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题 一、单选题1．复数的虚部是（    ）A． B． C．1 D．i【答案】C【分析】求出复数的代数形式，进而可得其虚部.【详解】，其虚部为.故选：C.2．已知向量，，若，则（    ）A． B． C． D．6【答案】A【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式列方程得答案.【详解】，，，，解得.故选：A.3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理求出，再求.【详解】在中，对于，利用余弦定理得：.因为为三角形内角，所以.故选：C4．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别求出四个选项对应函数的最小正周期，判断对称性，即可判断.【详解】对于A：.最小正周期为π，但是为对称轴，所以不是关于原点对称.故A错误；对于B：.最小正周期为π，并且关于原点对称.故B正确；对于C：的最小正周期为.故C错误；对于D：.最小正周期为π，不关于原点对称.故D错误.故选：B5．设，是两个不共线的非零向量，则“与共线”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】“与共线”等价于.因为，是两个不共线的非零向量，所以，解得：.所以“与共线”是“”的必要不充分条件.故选：B6．函数的部分图象如图所示，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象可得，即可求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得解.【详解】依题意可得，解得，又，所以，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，，所以，，又，所以，所以.故选：A7．在中，，则的形状为（    ）A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】利用三角公式得到，求出，即可判断.【详解】在中，因为，所以，即,展开，整理化简得：.因为为三角形内角，所以，所以.因为为三角形内角，所以，所以为直角三角形.故选：B8．在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ）A． B．4 C． D．6【答案】D【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.则，所以，.所以， 所以（当且仅当时等号成立）.所以的最小值是6.故选：D 二、多选题9．对于任意的两个向量，，，下列命题一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】对四个选项一一验证：对于A：由交换律直接判断；对于B：由，而，直接判断；对于C：由向量加法的几何意义以及三角形法则即可判断；对于D：由数量积的定义和三角函数的有界性可以以判断.【详解】对于A：由交换律可知：.故A正确；对于B：因为，而，所以不一定成立.故B错误；对于C：由向量加法的几何意义以及三角形法则可知：当向量，反向时，；当向量， 不共线时，；当向量，同向时，.综上所述：恒成立.故C正确；对于D：由数量积的定义可得：，所以恒成立.故D正确.故选：ACD10．已知非零复数，则下列运算结果一定为实数的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案.【详解】设复数（a，，），，（，），，对于A，，虚部为0，则一定为实数，故A正确；对于B，，虚部不为0，故一定不为实数，故B不正确；对于C，，若，则不一定为实数，故C不正确；对于D，，，故D正确.故选：AD.11．在中，，，E为AC上一点，且，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先利用正弦定理和余弦定理求出，.不妨设，.对四个选项一一验证：对于A：直接判断；对于B：利用模长公式求出，即可判断；对于C：利用正弦定理分别表示出，.即可证明；对于D：利用余弦定理分别求出， .即可判断.【详解】在中，因为，所以，即.因为，所以由余弦定理得：.不妨设，则.对于A：.故A正确；对于B：因为，所以所以.故B正确；对于C：在中，由正弦定理得：，所以.同理可求：.因为，所以.所以.因为，所以，即.而，所以.故C正确；对于D：因为，，所以在中，，，，由余弦定理得：.同理可求：.所以不成立.故D错误.故选：ABC12．如图，单位圆O与x轴非负半轴交于点A，锐角的终边与单位圆交于点B，轴.设的面积为，与弦AB围成的弓形面积为，图中阴影部分面积为，则下列结论正确的是（    ）A．任意锐角，都有 B．存在锐角，使得C．任意锐角，都有 D．存在锐角，使得【答案】AC【分析】先求出 关于 的表达式，作差，根据函数的单调性求解.【详解】由图可知：单位元的半径 ， ，  ，令 ， ，当 时， ，当 时， ， 是单调递增的，当 时， 是单调递减的，并且  ，所以，当 为锐角时， ；A正确，B错误；令 ， ，令 ，则 ，令 ，得 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，并且 ， ，即 是增函数，又 ， ，C正确，D错误；故选：AC. 三、填空题13．若向量，满足，，且与的夹角为，则_______.【答案】【分析】先通过条件求出，然后根据展开计算即可.【详解】由已知得，则.故答案为：.14．函数在的零点个数为_______.【答案】4【分析】直接求出零点，即可判断.【详解】令，解得：，所以.因为，所以当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意.当或时，，不符合题意.综上所述：函数在的零点个数为4.故答案为：415．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为_______.【答案】【分析】利用正弦定理直接判断.【详解】要使三角形有两解，由正弦定理，只需，即，解得：.故实数m的取值范围为.故答案为：16．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则_______.【答案】【分析】先求出.设则.由，利用二倍角公式求出，根据数量积的定义直接求解.【详解】如图示，作出的外接圆O，设半径为R.由正弦定理得：,即，解得：，所以.设则.所以.因为O为的外心，所以,所以.同理：,.因为，所以，所以.由二倍角的余弦公式可得：.所以.故答案为：.【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理． 四、解答题17．已知复数，其中i是虚数单位，.(1)若z是纯虚数，求；(2)当时，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据纯虚数的实部为零，虚部不为零列方程可求出复数，再利用可得答案；（2）代入，然后通过复数的运算得到的代数形式，进而可得的模.【详解】（1）是纯虚数,，解得，，，；（2）当时，，，.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求角A的大小；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先将条件整理，然后利用正弦定理角化边，最后利用余弦定理求解；（2）先根据的面积得到的值，再结合（1）中得到的关系可得的值，则周长可求.【详解】（1），，，由正弦定理角化边得，，又，；（2）由已知得，，又，，，，的周长为.19．如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别在边BC和CD上，且，.(1)当时，用向量，表示；(2)求的取值范围.【答案】(1);(2). 【分析】（1）利用向量的线性运算直接求得；（2）利用向量的运算得到，利用单调性求出取值范围.【详解】（1）根据题意，由向量的线性运算可知，当时，.（2）因为，，由向量的线性运算，可得.因为，所以，因为，所以20．已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数.关于x的不等式对恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求出；（2）利用换元法和分离参数法得到恒成立.研究的单调性，求出最小值，即可求解.【详解】（1）.要求函数的单调递增区间，只需,解得：.所以函数的单调递增区间为.（2）先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到；再向右平移个单位，得到函数.令，当时，，所以.所以关于t的不等式对恒成立，所以恒成立.令.因为在均单增，所以在单增，所以当在最小，所以.所以实数m的取值范围为.21．沙坪坝区政府为了给市民打造宜居环境，现启动了“诗意田园，乡村旅游”项目的建设，其中一项目是计划对区内的水库和湖泊进行改造，发展乡村旅游.青木湖是位于沙坪坝区青木关镇的一个圆形湖泊，湖区山清水秀，负氧离子高，湖中还有一个小岛，为了让市民更好的欣赏湖泊景色，沙区政府决定在小岛上修一个观赏亭，并在湖中修两条步行栈道连接观赏亭和湖岸，如图所示，过观赏亭P修AC和BD两条步行栈道，其中BD为直径，且，，.(1)求AP，BP；(2)与此同时，沙区政府还规划了湖区游船项目，为尽量减少对生态环境的破环，沙区政府在A点、P点、D点以及劣弧上的M点处设立了游船停靠点，并规划游船路线为，求游船路线长度（即四边形APDM周长）的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意在中，利用正弦定理解三角形；（2）根据题意在中，利用余弦定理结合基本不等式求的最大值.【详解】（1）在Rt中，，可得，由题意可得：，在中，，可得，由正弦定理，可得，故.（2）由（1）可得：，在中，由余弦定理，即，整理得，∵，当且仅当时，等号成立，则，整理得，即，可得故游船路线长度（即四边形APDM周长）的最大值为.22．如图，在等边中，，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且，，.(1)用k，表示DE，DF；(2)若为等腰直角三角形，求k的取值范围；(3)若，求面积的最小值.【答案】(1),.(2)(3) 【分析】（1）分别利用正弦定理表示出DE，DF；（2）由得到，利用三角函数求出k的取值范围；（3）建立三角形面积的函数关系式，利用三角函数求出最小值.【详解】（1）由， ，不妨设，则.在等边中， ，所以.因为，所以，所以,所以.在中， ，，，，由正弦定理得：，所以.同理可求：（2）要使为等腰直角三角形，只需.所以，整理得：.因为，所以，所以.（3）由可得：，则.所以令，则，其中.所以，解得：.所以当时，存在，使得，所以【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.