2022-2023学年四川省成都市实验外国语学校高一下学期期末数学试题含答案

  成都市实验外国语学校2022-2023学年下学期第二次测评

高一年级数学学科试题

考试时间120分钟    满分150分

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分

1 （    ）

A. －1 B.  C.  D.

2. 化简所得的结果是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列化简不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，，则角A为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

6. “石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在正方体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，则的最小正周期为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

9. 已知复数，则（    ）

A. z虚部为 B. 在复平面内对应的点在第四象限

C.  D. z是关于x的方程的一个根

10. 已知空间中是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（    ）

A.

B.

C. 与异面

D.

11. 下列四个命题为真命题的是（    ）

A. 若向量、、，满足，，则

B. 若向量，，则、可作为平面向量的一组基底

C. 若向量，，则在上的投影向量为

D. 若向量、满足，，，则

12. 已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆的直径长为．若为底面圆周上不同于的任意一点，则下列说法中正确的是（    ）

A. 圆锥侧面积为

B. 面积的最大值为

C. 圆锥的外接球的表面积为

D. 若，为线段上的动点，则的最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知，则____________.

14. 如图，在梯形ABCD中，，，，，，M，N分别为CD，AD的中点，则______.

15. 如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则等于_________米.

16. 已知直四棱柱，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为___________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17. 已知，，与的夹角为．

（1）求；

（2）当为何值时，．

18. 如图四边形ABCD是矩形，平面BCE，，点F为线段BE的中点.

（1）求证：平面ABE；

（2）求证：平面ACF.

19. 已知函数 的部分图像如图所示.

（1）求的解析式及对称中心；

（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间.

20. 如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积．

21. 第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE（如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务车道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED为赛道，已知，，，，______．（注：km为千米）

请从①；②这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．

（1）求服务通道AD的长；

（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED的最大值（即最大）．

注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．

22. 已知 分别为 三个内角 的对边， 且 ，

（1）求 ；

（2）若 ， 求 的取值范围；

（3）若 为 的外接圆， 若 分别切 于点 ， 求 的最小值.

成都市实验外国语学校2022-2023学年下学期第二次测评

高一年级数学学科试题

考试时间120分钟    满分150分

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分

1.

【答案】B

2.

【答案】C

3.

【答案】C

4.

【答案】D

5.

【答案】C

6.

【答案】B

7.

【答案】A

8.

【答案】B

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

9.

【答案】BCD

10.

【答案】BCD

11.

【答案】BC

12.

【答案】BCD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.【答案】

14.

【答案】

15.

【答案】

16.

【答案】

四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；

（2）由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数的值.

【小问1详解】

解：因为，，与的夹角为，

则，

所以，.

【小问2详解】

解：因为，则

，解得.

18.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；

（2）连接交于点，连接，由中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得答案.

【小问1详解】

因为平面BCE，平面BCE，所以，

因为，，平面，

所以平面ABE；

【小问2详解】

连接交于点，连接，所以点为中点，

因为点F为线段BE的中点，所以，因为平面，平面，

所以平面.

19.

【答案】（1），对称中心为，   

（2）

【解析】

【分析】(1) 由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.

(2)由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论.

【小问1详解】

根据函数 的部分图像，

可得，，．

再根据五点法作图，，，

故有．

根据图像可得，是的图像的一个对称中心，

故函数对称中心为，.

【小问2详解】

先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，

再向右平移个单位，得到的图像，

即，令，，解得，，

可得的减区间为，，结合，

可得在上的单调递减区间为．

20.

【答案】（1）证明见解析   

（2）2

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接，，利用勾股定理证明，易得平面，再根据面面垂直判定定理即可证明；

（2）由（1）可证明为三棱柱的高，利用同底等高的椎体与柱体的关系，通过割补法即可求解.

【小问1详解】

取的中点，连接，．

∵与均是边长为2的正三角形，

∴，，．

∴为二面角的平面角．

∵，∴，∴．

因为，，，平面

所以平面，又平面，

∴平面平面．

【小问2详解】

由（1）知，，．

∵，平面，平面，

∴平面．

∴为三棱锥的高．

∴．

∴四棱锥的体积为2．

21.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择条件①由正弦定理得，选择条件②由余弦定理得，再结合余弦定理可得AD的长；

（2）根据余弦定理结合均值不等式即可求角线段和最大值．

【小问1详解】

解：若选择条件①，

在△ABC中，由正弦定理得：，即，

解得；

若选择条件②，

在△ABC中，由余弦定理得：

即

解得；

在△ACD中，由余弦定理得，

即

解得或（舍去）∴服务通道AD的长为．

【小问2详解】

在△ADE中，由余弦定理得：，

∴，即，

∵，

∴，∴（当且仅当时取等号）

∴折线赛道AED的最大值为．

22.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由题目条件可证得,可得为直角三角形，可求出.

（2）由数量积的定义可求得，设，则，令，则，判断出的单调性，即可得出答案.

（3）用分别表示出，结合均值不等式即可求出答案.

【小问1详解】

因为，则，

所以，则，所以为直角三角形，

所以.

【小问2详解】

，

所以，而，

所以设，

所以，

令，

又因为

所以，所以，

令，因为在上单调递增，

所以在上单调递减，所以.

所以 的取值范围为

【小问3详解】

的外接圆的半径为，，设，

则，其中，

所以，

而，

，

当且仅当取等.

所以 的最小值为.