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2023年重庆市江津中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年重庆市江津中学中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年重庆市江津中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是( )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. “甲骨文”是中国的一种古老文字，又称“契文”“殷墟文字”.下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. 2x+y=2xy B. x2⋅x3=x6 C. 2x6÷x2=2x4 D. 4x−5x=−1
4. 下列条件不能够判定“平行四边形ABCD是菱形”的是( )
A. AB=BC B. AC⊥BD C. AD=CD D. AC=BD
5. 估算 125− 45的值应在( )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
6. 观察下列图形：根据图形的变化规律，第10个图形共有__________个点.( )
A. 81 B. 90 C. 91 D. 100
7. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱多乙余钱五倍，乙得甲十钱适等，问甲、乙怀钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人带有一些银子，都不知道数量，甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍，乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等，问甲、乙各带了多少两银子？设甲带了x两银子，乙带了y两银子，那么可列方程组为( )
A. x+10−(y−10)=5(y−10)x−10=y+10 B. x+10=5(y−10)x−10=y+10
C. x+10−(y−10)=5(y−10)x+10=y−10 D. x−10=5(y+10)x−10=y+10
8. 如图，延长正方形ABCD边BA至点E，使AE=BD，则∠E为( )
A. 22.5° B. 25° C. 30° D. 45°
9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A. 70°
B. 50°
C. 40°
D. 20°
10. 如果实数a，b满足a−b=ab的形式，那么a和b就是“智慧数”，用(a,b)表示.如：由于2−23=2×23，所以(2,23)是“智慧数”，现给出以下结论：
①−12和−1是“智慧数”；
②如果(3,☆)是“智慧数”，那么“☆”的值为34；
③如果(x,y)是“智慧数”，则y与x之间的关系式为y=xx+1；
④如果(x,y)是“智慧数”，当x>0时，y随x的增大而增大，其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 327−(π−2023)0= ______ ．
12. 如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段AB+CD=5，则线段AD−BC= ______ ．
13. 在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电阻及若干条导线连接如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是______ ．
14. 将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD=90°，∠BDC=30°，若∠1=78°，则∠2的度数为______．
15. 如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，C为弧AB的中点，四边形OACD为平行四边形，BD是⊙O的切线，则图中阴影部分的面积为______ (不取近似值)．
16. 如图，△ABO的顶点A在函数y=kx(x<0)的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为______．
17. 若关于x的不等式组2x+33≥x−16x−6>a−4有且只有五个整数解，且关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．
18. 对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数m，将它各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，得到一个新的数n，称n为m的“趣味数”，并规定f(m)=am−bn，(其中a、b为非零常数).例如m=234，其各个数位上的数字分别平方后数的个位数字分别是4、9、6，则234的“趣味数”n=496，已知f(7)=5，f(12)=10，则f(269)= ______ ，对于一个两位数s和一个三位数t，在s的十位数字和个位数字中间插入一个数k，得到一个新的三位数s′，若s′是s的9倍，且t是s′的趣味数，则f(t)的最小值= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)(x−2y)2−(x−y)(x+y)；
(2)x2−xx2−2x+1÷(1+1x−1)．
20. (本小题10.0分)
如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD=CD．
(1)用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，判断DE与AC的位置关系，并把证明过程补充完整．
判断：DE ______ AC，理由如下：
∵AD=CD，(已知)
∴∠A= ______ .( ③)
又∵DE平分∠BDC，(已知)
∴∠BDC=2∠CDE.( ④)
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD.(等量代换)
∴DE ______
AC.( ⑥)
21. (本小题10.0分)
某中学开展以“我理想的职业”为主题的调查活动，随机抽取了部分学生作问卷调查：用“A”表示“公务员”，“B”表示“教师”，“C”表示“医生”，“D”表示“其他”，如图是根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)本次问卷调查，共调查了多少人？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)如果该中学有学生2000人，请你估计该学校学生以“公务员”为理想职业的学生约有多少人？
22. (本小题10.0分)
在正方形ABCD中，AB=3，动点P从点A出发，沿着A→B→C匀速运动到点C时停止运动，速度是每秒1个单位，设点P的运动时间是x，线段BP的长度为y．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象；
(2)请写出函数y的一条性质；
(3)结合函数图象，在点P的运动过程中，当y>2时，自变量x的取值范围为______ ．
23. (本小题10.0分)
金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用
)
24. (本小题10.0分)
如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．
(1)求观测站A，B之间的距离(结果保留根号)；
(2)渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？(参考数据：
3≈1.73)
25. (本小题10.0分)
如图，直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
(1)求△ABC的面积；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点M，使∠MCB=∠ABC？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
(1)如图1，等腰△ABC(BC为底)与等腰△ADE(DE为底)，∠BAC=∠DAE，判断BD与CE的数量关系，并说明理由；
(2)如图在，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AD=4，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，使∠EAF=∠DAC，连接CF，当AE=3 2时，求CF的长度；
(3)如图3，矩形ABCD中，若AB=2 3,AD=6，AD=6，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连结CF，AE中点为G，CF中点为H，若GH= 13，直接写出DE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
3.【答案】C
【解析】解：A选项中2x与y不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B选项x2⋅x3=x5，故该选项错误，不符合题意；
C选项根据单项式除以单项式的法则，系数相除，同底数幂相除，故该选项正确，符合题意；
D选项4x−5x=−x，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据合并同类项法则可以判断A和D；
根据同底数幂的乘法可以判断B；
根据整式的除法可以判断C．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，解题时注意不是同类项不能合并．
4.【答案】D
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形亦可得到菱形；
C、邻边相等的平行四边形可判定是菱形；
D、选项中是矩形，不能判定其为菱形；
故选：D．
根据菱形的判定方法逐项分析即可．
此题考查菱形的判定，考查在平行四边形的基础上加上一个条件使其满足成为菱形．熟练掌握菱形的性质及判定定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵ 125− 45=5 5−3 5=2 5，
又∵(2 5)2=20，16<20<25，42=16，52=25，
∴4<2 5<5．
故选：B．
首先化简，然后用平方法估计2 5的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，注意在估算2 5时不能先估算 5的大小再乘以2是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点；
第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点，即有3个点；
第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点，即有7个点；
依此类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边(n−1)个点，故第n个图形中点的个数为n(n−1)+1．
∴n=10时，点的个数10×(10−1)+1=91；
故选：C．
解答此类的方法是从特殊的前几个图形进行分析找出规律．观察图形点分布的变化规律，发现每一个图形有一个中心点，且从中心点出发的边数在增加，边上的点数也在增加．从中找规律性即可．
本题主要考查了图形的变化类和归纳推理，找到图形的变化规律是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
x+10−(y−10)=5(y−10)x−10=y+10，
故选：A．
根据“甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍”、“乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等”建立方程组即可．
本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，且∠CAB=45°，
又∵BD=AE，
∴AE=CA，
∴∠E=∠ACE，
∵∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°．
故选：A．
连接AC，根据题意可得AC=BD=AE，则∠ACE=∠E，由外角的性质可得：∠CAB=∠ACE+∠E=45°，即可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，连接AC，根据正方形的性质得到AC=AE是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：方法一：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE=90°，
∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=20°，
∴∠BAC=∠CDB=20°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=20°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=40°，
则∠E=50°．
故选：B．
方法二：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE=90°，
∵∠CDB=20°，
∴∠CAB=∠CDB=20°，
∴∠COE=2∠CAB=40°，
∴∠E=∠OCE−∠COE=90°−40°=50°．
故选：B．
方法一：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．
方法二：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，再根据圆周角定理，即可得到∠COE的度数，再根据∠OCE=90°，即可得到∠E的度数．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①∵−12−(−1)=12，−12×(−1)=12，
∴−12−(−1)=−12×(−1)，
∴−12和−1是“智慧数”，表示为(−12．−1)，故①正确；确；
②根据“智慧数”的定义可得，3−☆=3☆，
解得，☆=34，故②正确；
③根据“智慧数”的定义得，x−y=xy，
∴(x−1)y=x，
当x≠1时，y=xx−1，
∴(x,y)是“智慧数”，y=xx+1，且x≠−1，故③错误；
④根据“智慧数”的定义得，x−y=xy，
解得y=xx+1=x+1−1x+1=1−1x+1，
令x+1=m，则y−1=−1m，
∴y−1是关于m的反比例函数，且−1<0，
∴当x>0，即m>1时，y−1随m的增大而增大，即当x>0时，y随x的增大而增大，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：C．
根据“智慧数“的定义，逐项判断即可．
本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“智慧数“的定义．
11.【答案】2
【解析】解：原式=3−1
=2．
故答案为：2．
直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵AB+CD=5，
∴AD=AB+CD+BC=5+BC，
∴AD−BC=5+BC−BC=5．
故答案为：5．
根据AB+CD=5，可得AD=AB+CD+BC=5+BC，可得AD−BC的值．
本题考查了两点间的距离，解题的关键是能找到各个线段之间的关系．
13.【答案】23
【解析】解：如图，由题意得：随机闭合图中的两个开关，一共有 3 种情况，分别是SS1，SS2，S1S2；其中能够让一个灯泡发光的情况有SS1，SS2共2 种，
∴随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率为23；
故答案为：23．
先确定总的结果数，再确定该事件包含的结果数，最后利用概率公式求解即可．
本题主要考查了列举法求解概率，正确理题意列举出所有的可能性的结果数是解题的关键．
14.【答案】18°
【解析】解：∵∠CBD=90°，∠1=78°，
∴∠DBE=180°−∠CBD−∠1=180°−90°−78°=12°，
∵直尺的两边平行，即EA//GH，
∴∠BDF=∠DBE=12°，
∵∠BDC=30°，
∴∠2=∠BDC−∠BDF=30°−12°=18°．
故答案为：18°．
先根据邻补角的定义求出∠DBE的度数，再根据平行线的性质得出∠BDF=∠DBE，最后根据∠BDC=30°求出∠2即可求出答案．
本题主要考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理进行推理是解此题的关键．
15.【答案】2−π2
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，且AB=4，C为AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=45°，
∵四边形OACD为平行四边形，
∴AC//OD，
∴∠DOB=∠A=45°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OB=BD=2，
∴图中阴影部分的面积=△OBD的面积−扇形BOE的面积
=12×2×2--45⋅π×22360
=2−π2，
故答案为：2−π2．
根据圆周角定理得到∠AOC=∠BOC=90°，求得∠A=45°，根据平行线的性质得到∠DOB=∠A=45°，根据切线的性质得到∠OBD=90°，根据等腰直角三角形的你现在得到OB=BD=2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16.【答案】−18
【解析】解：∵NQ//MP//OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S△ANQSAMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴S△ANQ3+S△ANQ=14，
∴S△ANQ=1，
∵1S△AOB=(ANAO)2=19，
∴S△AOB=9，
∴|k|=2S△AOB=18，
∴k=−18．
故答案为：−18．
易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确地求出S△ANQ=1是解题的关键．
17.【答案】14
【解析】解：解关于x的不等式组2x+33≥x−16x−6>a−4得：a+26
∴1≤a+26<2．
关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1的解为：y=8−a2．
∵关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1可得产生增根2，
∴8−a2≠2．
∵关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1的解为非负整数，
∴8−a2≥0且8−a2≠2．
∴1≤a+26<28−a2≥0且8−a2≠2．
解得：4
∴a=6，8．
∴符合条件的所有整数a的和为：6+8=14．
故答案为：14．
解不等式组，利用已知条件得到a的不等式，利用分式方程的解为非负整数点的关于a的不等式，将两个不等式组成新的不等式组，解不等式组取整数解即可．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，利用已知条件得到关于a的不等式组是解题的关键．
18.【答案】77 275
【解析】解：∵f(7)=5，f(12)=10，
∴7a−9b=512a−14b=10，
解得：a=2b=1，
∴f(269)=2×269−461=77；
设s的十位、个位数字分别为：a、b，
则s=10a+b，s′=100a+10k+b，
∴100a+10k+b=9(10a+b)，
∴a+k=4b5，
∵1≤a、b、k≤9，且a≠b≠k，
∴b=5，a+k=4，
∴当a=1时，k=3，b=5，s′=135，t=195，f(t)=2×195−115=275，
当a=3时，k=1，b=5，s′=315，t=915，f(t)=2×915−115=1715，
∴f(t)的最小值=275，
故答案为：77，275．
先根据新定义列出方程组，求出a、b的值，再根据整除求出s′，t，及f(t)．
本题考查了因式分解的应用，理解新定义及整除的意义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=x2−4xy+4y2−x2+y2
=5y2−4xy；
(2)原式=x(x−1)(x−1)2÷x−1+1x−1
=x(x−1)(x−1)2⋅x−1x
=1．
【解析】(1)先展开，再合并同类项；
(2)先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查整式混合运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握整式，分式相关运算的法则．
20.【答案】// ACD //
【解析】解：(1)作图如下：
(2)判断：DE//AC，理由如下：
∵AD=CD，(已知)，
∴∠A=∠ACD，(等边对等角)，
又∵DE平分∠BDC，(已知)，
∴∠BDC=2∠CDE.(角平分线的定义)，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD.(等量代换)，
∴DE//AC.(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：//，∠ACD，等边对等角，角平分线的定义，//，内错角相等，两直线平行．
(1)根据作角的平分线的基本作法作图；
(2)根据内错角相等，两直线平行证明．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及平行线的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)100÷20%=500(人)，
答：本次问卷调查，共调查了500人；
(2)B组人数为：500×30%=150(人)，
补全条形统计图如下：
(3)由样本估计总体得2000×200500=800(人)，
答：估计该学校学生以“公务员”为理想职业的学生约有800人．
【解析】(1)用C组人数除以它所占百分比可得样本容量；
(2)用样本容量乘B组所占百分比可得B组人数，从而补全条形统计图；
(3)用样本中以“公务员”为理想职业的学生所占百分比乘总人数200人可得答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】0≤x<1或5
∴AB=BC=3，
∵动点P从点A出发，沿着A→B→C匀速运动到点C时停止运动，速度是每秒1个单位，
∴0≤x≤6，
当0≤x≤3，即点P在AB上运动时，
此时AP=x，BP=AB−AP=3−x，
∴y=3−x(0≤x≤3)；
当3
∴BP=x−3，
∴y=x−3(3
(2)例如①函数的最小值为3；②当0≤x≤3时，y随x的增大而减小；当3
3−x>2，
解得：x<1，
∵0≤x≤3，
∴0≤x<1；
当3
解得：x>5，
∵3
(3)解法一：根据函数图象直接得出答案．
解法二：当0≤x≤3时，得3−x>2，解得x<1，则0≤x<1；当32，解得x>5，则5
23.【答案】解：(1)由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：60×0.6a=36a(元)，
即新能源车的每千米行驶费用为36a元；
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴40×9a−36a=0.54，
解得a=600，
经检验，a=600是原分式方程的解，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x km，
由题意得：0.6x+4800>0.06x+7500，
解得x>5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【解析】(1)根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
(2)①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
24.【答案】解：(1)过点P作PD⊥AB于D点，
∴∠BDP=∠ADP=90°，
在Rt△PBD中，∠PBD=90°−45°=45°，BP=20海里，
∴DP=BP⋅sin45°=20× 22=10 2(海里)，
BD=BP⋅cos45°=20× 22=10 2(海里)，
在Rt△PAD中，∠PAD=90°−60°=30°，
∴AD=DPtan30∘=10 2 33=10 6(海里)，
∴AB=BD+AD=(10 2+10 6)海里，
∴观测站A，B之间的距离为(10 2+10 6)海里；
(2)补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∴∠AFB=∠CFB=90°
由题意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°−60°=30°，
∴∠C=180°−∠ABC−∠PAD=45°，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=12AB=(5 2+5 6)海里，
在Rt△BCF中，∠C=45°，
∴BC=BFsin45∘=5 2+5 6 22=(10+10 3)海里，
∴补给船从B到C处的航行时间=10+10 320×60=30+30 3≈81.9(分钟)<83分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处．
【解析】(1)过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答；
(2)过点B作BF⊥AC，垂足为F，根据题意得：∠ABC=105°，∠PAD=30°，从而求出∠C=45°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0)，
∴0=12×4+c，
解得c=−2，
∴点C(0,−2)，
∵抛物线y=12x2+bx+c经过点B(4,0)，C(0,−2)，
∴c=−20=8+4b+c，
解得b=−32c=−2，
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2，
在y=12x2−32x−2中，令y=0得0=12x2−32x−2，
解得x=−1或x=4，
∴A点坐标为(−1,0)，
∴AB=5，
∵12×5×|−2|=5，
∴△ABC的面积为5；
(2)过点P作PE⊥x轴交BC于点E，如图：
由(1)知直线BC解析式为y=12x−2，
设点P(a,12a2−32a−2)，则点E(a,12a−2)，
∴PE=12a−2−(12a2−32a−2)=−12a2+2a，
∵S四边形ACPB=S△ABC+S△BCP，
∴S四边形ACPB=12(4+1)×2+12×(−12a2+2a)×4=−(a−2)2+9，
∵−1<0，
∴当a=2时，S四边形ACPB取最大值，最大值为9，
此时点P(2,−3)；
(3)在抛物线上存在点M，使∠MCB=∠ABC，理由如下：
当点M在BC上方时，设CM交x轴于点H，如图：
∵∠MCB=∠ABC，
∴CH=BH，
∵CH2=OC2+OH2，
∴BH2=CH2=22+(4−BH)2，
解得BH=52，
∴OH=OB−BH=4−52=32，
∴点H(32,0)，
设直线CH解析式为y=kx+b，
将点C(0,−2)，点H(32,0)代入得：
−2=b0=32k+b，
解得k=43b=−2，
∴直线CH解析式为y=43x−2，
联立解析式得y=43x−2y=12x2−32x−2，
解得：x1=0y1=−2或x2=173y2=509，
∴点M(173,509)；
当点M′在BC下方时，
∵∠M′CB=∠ABC，
∴M′C//AB，
∴点M′的纵坐标为−2，
在y=12x2−32x−2中，令y=−2得−2=12x2−32x−2，
解得x=0或x=3，
∴点M′的坐标为(3,−2)．
综上所述，点M坐标为(173,509)或(3,−2)．
【解析】(1)由直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0)可得c=−2，点C(0,−2)，用待定系数法得抛物线的解析式为y=12x2−32x−2，即可得A点坐标为(−1,0)，故△ABC的面积为5；
(2)过点P作PE⊥x轴交BC于点E，设点P(a,12a2−32a−2)，可得PE=12a−2−(12a2−32a−2)=−12a2+2a，根据S四边形ACPB=S△ABC+S△BCP，可得S四边形ACPB=12(4+1)×2+12×(−12a2+2a)×4=−(a−2)2+9，由二次函数性质可得答案；
(3)分两种情况：当点M在BC上方时，设CM交x轴于点H，可得CH=BH，即有BH2=CH2=22+(4−BH)2，得BH=52，点H(32,0)，用待定系数法得直线CH解析式为y=43x−2，联立解析式得y=43x−2y=12x2−32x−2，点M(173,509)；当点M′在BC下方时，M′C//AB，可得点M′的坐标为(3,−2)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形的面积，勾股定理及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26.【答案】解：(1)BD=CE；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
BA=CA∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE．
(2)点E在线段CD上运动，如图，作FM⊥AC于M，
∵∠EAF=∠DAC，
∴∠FAE=∠DAC，
∵∠FAE=∠FAM+∠MAE，∠DAC=∠MAE+∠EAD，
∴∠FAM=∠EAD，
由旋转的性质可得，AE=AF，
∵∠D=∠AMF=90°，
在△DAE和△MAF中，
∠D=∠AMF∠EAD=∠FAMAE=AF，
∴△DAE≌Rt△MAF(AAS)，
∴AD=AM，
∵AE=3 2，AD=4，∠D=90°，
∴DE= AE2−AD2= 2，
∵DC=AB=3，
∴AC= AD2+DC2=5，
∵△DAE≌△MAF，
∴AD=AM=4，FM=DE= 2，
∵AC=AM+CM，
∴CM=AC−AM=5−4=1．
∴CF= FM2+CM2= 2+1= 3；
(3)连接CG，并延长交BA的延长线于M，连接MF，
∵AB//CE，G为AE的中点，
∴∠AMG=∠ECG，∠MAG=∠ECG，AE=EG，
∴△AMG≌△ECG(AAS)，
∴MG=CG，AM=CE，
∵H是CF的中点，GH= 13，
∴GH是△CMF的中位线，
∴MF=2GH=2 13，
∵矩形ABCD中，AB=2 3，DC=AD=6，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=4 3，
延长AB至N，使AB=BN，连接NF，
∴AN=AC，∠NAC=∠EAF=60°，
同(1)①可知△ANF≌△ACE，
∴NF=CE，∠ANF=∠ACE=60°，
∵AN=AC，∠NAC=60°，
∴∠ANC=60°，
∴∠ANC=∠ANF，
∴点N，F，C三点共线，
过点F作FP⊥AN于点P，
设AN=NF=x，
在Rt△PNF中，∠N=60°，NF=x，
∴PN=12x，PF= 32x，
在Rt△MPF中，PF2+MP2=MF2，MP=MA+AN+PN=4 3+12x，MF=2 13，
∴( 32x)2+(4 3+12x)2=(2 13)2，
解得x=4−2 3(负值舍去)，
∴NF=CE=4−2 3，
∴DE=CD−CE=2 3−(4−2 3)=4 3−4．
【解析】(1)证明△BAD≌△CAE(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE；
(2)连结EF，延长AD至M，使得AM=AC，连结MC，证明△AFC≌△AEM(SAS)，由全等三角形的性质得出CF=ME，由勾股定理求出ME的长，则可得出答案；
(3)连接CG，并延长交BA的延长线于M，连接MF，证明△AMG≌△ECG(AAS)，由全等三角形的性质得出MG=CG，AM=CE，由三角形中位线定理得出MF=2GH=2 13，得出∠BAC=60°，AC=2AB=4 3，延长AB至N，使AB=BN，连接NF，过点F作FP⊥AN于点P，设AN=NF=x，由勾股定理求出x，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2023年重庆市江津中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是( )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. “甲骨文”是中国的一种古老文字，又称“契文”“殷墟文字”.下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. 2x+y=2xy B. x2⋅x3=x6 C. 2x6÷x2=2x4 D. 4x−5x=−1
4. 下列条件不能够判定“平行四边形ABCD是菱形”的是( )
A. AB=BC B. AC⊥BD C. AD=CD D. AC=BD
5. 估算 125− 45的值应在( )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
6. 观察下列图形：根据图形的变化规律，第10个图形共有__________个点.( )
A. 81 B. 90 C. 91 D. 100
7. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱多乙余钱五倍，乙得甲十钱适等，问甲、乙怀钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人带有一些银子，都不知道数量，甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍，乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等，问甲、乙各带了多少两银子？设甲带了x两银子，乙带了y两银子，那么可列方程组为( )
A. x+10−(y−10)=5(y−10)x−10=y+10 B. x+10=5(y−10)x−10=y+10
C. x+10−(y−10)=5(y−10)x+10=y−10 D. x−10=5(y+10)x−10=y+10
8. 如图，延长正方形ABCD边BA至点E，使AE=BD，则∠E为( )
A. 22.5° B. 25° C. 30° D. 45°
9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A. 70°
B. 50°
C. 40°
D. 20°
10. 如果实数a，b满足a−b=ab的形式，那么a和b就是“智慧数”，用(a,b)表示.如：由于2−23=2×23，所以(2,23)是“智慧数”，现给出以下结论：
①−12和−1是“智慧数”；
②如果(3,☆)是“智慧数”，那么“☆”的值为34；
③如果(x,y)是“智慧数”，则y与x之间的关系式为y=xx+1；
④如果(x,y)是“智慧数”，当x>0时，y随x的增大而增大，其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 327−(π−2023)0= ______ ．
12. 如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段AB+CD=5，则线段AD−BC= ______ ．
13. 在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电阻及若干条导线连接如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是______ ．
14. 将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD=90°，∠BDC=30°，若∠1=78°，则∠2的度数为______．
15. 如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，C为弧AB的中点，四边形OACD为平行四边形，BD是⊙O的切线，则图中阴影部分的面积为______ (不取近似值)．
16. 如图，△ABO的顶点A在函数y=kx(x<0)的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为______．
17. 若关于x的不等式组2x+33≥x−16x−6>a−4有且只有五个整数解，且关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．
18. 对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数m，将它各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，得到一个新的数n，称n为m的“趣味数”，并规定f(m)=am−bn，(其中a、b为非零常数).例如m=234，其各个数位上的数字分别平方后数的个位数字分别是4、9、6，则234的“趣味数”n=496，已知f(7)=5，f(12)=10，则f(269)= ______ ，对于一个两位数s和一个三位数t，在s的十位数字和个位数字中间插入一个数k，得到一个新的三位数s′，若s′是s的9倍，且t是s′的趣味数，则f(t)的最小值= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)(x−2y)2−(x−y)(x+y)；
(2)x2−xx2−2x+1÷(1+1x−1)．
20. (本小题10.0分)
如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD=CD．
(1)用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，判断DE与AC的位置关系，并把证明过程补充完整．
判断：DE ______ AC，理由如下：
∵AD=CD，(已知)
∴∠A= ______ .( ③)
又∵DE平分∠BDC，(已知)
∴∠BDC=2∠CDE.( ④)
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD.(等量代换)
∴DE ______
AC.( ⑥)
21. (本小题10.0分)
某中学开展以“我理想的职业”为主题的调查活动，随机抽取了部分学生作问卷调查：用“A”表示“公务员”，“B”表示“教师”，“C”表示“医生”，“D”表示“其他”，如图是根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)本次问卷调查，共调查了多少人？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)如果该中学有学生2000人，请你估计该学校学生以“公务员”为理想职业的学生约有多少人？
22. (本小题10.0分)
在正方形ABCD中，AB=3，动点P从点A出发，沿着A→B→C匀速运动到点C时停止运动，速度是每秒1个单位，设点P的运动时间是x，线段BP的长度为y．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象；
(2)请写出函数y的一条性质；
(3)结合函数图象，在点P的运动过程中，当y>2时，自变量x的取值范围为______ ．
23. (本小题10.0分)
金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用
)
24. (本小题10.0分)
如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．
(1)求观测站A，B之间的距离(结果保留根号)；
(2)渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？(参考数据：
3≈1.73)
25. (本小题10.0分)
如图，直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
(1)求△ABC的面积；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点M，使∠MCB=∠ABC？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
(1)如图1，等腰△ABC(BC为底)与等腰△ADE(DE为底)，∠BAC=∠DAE，判断BD与CE的数量关系，并说明理由；
(2)如图在，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AD=4，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，使∠EAF=∠DAC，连接CF，当AE=3 2时，求CF的长度；
(3)如图3，矩形ABCD中，若AB=2 3,AD=6，AD=6，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连结CF，AE中点为G，CF中点为H，若GH= 13，直接写出DE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
3.【答案】C
【解析】解：A选项中2x与y不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B选项x2⋅x3=x5，故该选项错误，不符合题意；
C选项根据单项式除以单项式的法则，系数相除，同底数幂相除，故该选项正确，符合题意；
D选项4x−5x=−x，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据合并同类项法则可以判断A和D；
根据同底数幂的乘法可以判断B；
根据整式的除法可以判断C．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，解题时注意不是同类项不能合并．
4.【答案】D
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形亦可得到菱形；
C、邻边相等的平行四边形可判定是菱形；
D、选项中是矩形，不能判定其为菱形；
故选：D．
根据菱形的判定方法逐项分析即可．
此题考查菱形的判定，考查在平行四边形的基础上加上一个条件使其满足成为菱形．熟练掌握菱形的性质及判定定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵ 125− 45=5 5−3 5=2 5，
又∵(2 5)2=20，16<20<25，42=16，52=25，
∴4<2 5<5．
故选：B．
首先化简，然后用平方法估计2 5的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，注意在估算2 5时不能先估算 5的大小再乘以2是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点；
第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点，即有3个点；
第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点，即有7个点；
依此类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边(n−1)个点，故第n个图形中点的个数为n(n−1)+1．
∴n=10时，点的个数10×(10−1)+1=91；
故选：C．
解答此类的方法是从特殊的前几个图形进行分析找出规律．观察图形点分布的变化规律，发现每一个图形有一个中心点，且从中心点出发的边数在增加，边上的点数也在增加．从中找规律性即可．
本题主要考查了图形的变化类和归纳推理，找到图形的变化规律是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
x+10−(y−10)=5(y−10)x−10=y+10，
故选：A．
根据“甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍”、“乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等”建立方程组即可．
本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，且∠CAB=45°，
又∵BD=AE，
∴AE=CA，
∴∠E=∠ACE，
∵∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°．
故选：A．
连接AC，根据题意可得AC=BD=AE，则∠ACE=∠E，由外角的性质可得：∠CAB=∠ACE+∠E=45°，即可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，连接AC，根据正方形的性质得到AC=AE是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：方法一：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE=90°，
∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=20°，
∴∠BAC=∠CDB=20°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=20°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=40°，
则∠E=50°．
故选：B．
方法二：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE=90°，
∵∠CDB=20°，
∴∠CAB=∠CDB=20°，
∴∠COE=2∠CAB=40°，
∴∠E=∠OCE−∠COE=90°−40°=50°．
故选：B．
方法一：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．
方法二：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，再根据圆周角定理，即可得到∠COE的度数，再根据∠OCE=90°，即可得到∠E的度数．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①∵−12−(−1)=12，−12×(−1)=12，
∴−12−(−1)=−12×(−1)，
∴−12和−1是“智慧数”，表示为(−12．−1)，故①正确；确；
②根据“智慧数”的定义可得，3−☆=3☆，
解得，☆=34，故②正确；
③根据“智慧数”的定义得，x−y=xy，
∴(x−1)y=x，
当x≠1时，y=xx−1，
∴(x,y)是“智慧数”，y=xx+1，且x≠−1，故③错误；
④根据“智慧数”的定义得，x−y=xy，
解得y=xx+1=x+1−1x+1=1−1x+1，
令x+1=m，则y−1=−1m，
∴y−1是关于m的反比例函数，且−1<0，
∴当x>0，即m>1时，y−1随m的增大而增大，即当x>0时，y随x的增大而增大，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：C．
根据“智慧数“的定义，逐项判断即可．
本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“智慧数“的定义．
11.【答案】2
【解析】解：原式=3−1
=2．
故答案为：2．
直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵AB+CD=5，
∴AD=AB+CD+BC=5+BC，
∴AD−BC=5+BC−BC=5．
故答案为：5．
根据AB+CD=5，可得AD=AB+CD+BC=5+BC，可得AD−BC的值．
本题考查了两点间的距离，解题的关键是能找到各个线段之间的关系．
13.【答案】23
【解析】解：如图，由题意得：随机闭合图中的两个开关，一共有 3 种情况，分别是SS1，SS2，S1S2；其中能够让一个灯泡发光的情况有SS1，SS2共2 种，
∴随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率为23；
故答案为：23．
先确定总的结果数，再确定该事件包含的结果数，最后利用概率公式求解即可．
本题主要考查了列举法求解概率，正确理题意列举出所有的可能性的结果数是解题的关键．
14.【答案】18°
【解析】解：∵∠CBD=90°，∠1=78°，
∴∠DBE=180°−∠CBD−∠1=180°−90°−78°=12°，
∵直尺的两边平行，即EA//GH，
∴∠BDF=∠DBE=12°，
∵∠BDC=30°，
∴∠2=∠BDC−∠BDF=30°−12°=18°．
故答案为：18°．
先根据邻补角的定义求出∠DBE的度数，再根据平行线的性质得出∠BDF=∠DBE，最后根据∠BDC=30°求出∠2即可求出答案．
本题主要考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理进行推理是解此题的关键．
15.【答案】2−π2
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，且AB=4，C为AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=45°，
∵四边形OACD为平行四边形，
∴AC//OD，
∴∠DOB=∠A=45°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OB=BD=2，
∴图中阴影部分的面积=△OBD的面积−扇形BOE的面积
=12×2×2--45⋅π×22360
=2−π2，
故答案为：2−π2．
根据圆周角定理得到∠AOC=∠BOC=90°，求得∠A=45°，根据平行线的性质得到∠DOB=∠A=45°，根据切线的性质得到∠OBD=90°，根据等腰直角三角形的你现在得到OB=BD=2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16.【答案】−18
【解析】解：∵NQ//MP//OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S△ANQSAMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴S△ANQ3+S△ANQ=14，
∴S△ANQ=1，
∵1S△AOB=(ANAO)2=19，
∴S△AOB=9，
∴|k|=2S△AOB=18，
∴k=−18．
故答案为：−18．
易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确地求出S△ANQ=1是解题的关键．
17.【答案】14
【解析】解：解关于x的不等式组2x+33≥x−16x−6>a−4得：a+26
∴1≤a+26<2．
关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1的解为：y=8−a2．
∵关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1可得产生增根2，
∴8−a2≠2．
∵关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1的解为非负整数，
∴8−a2≥0且8−a2≠2．
∴1≤a+26<28−a2≥0且8−a2≠2．
解得：4
∴a=6，8．
∴符合条件的所有整数a的和为：6+8=14．
故答案为：14．
解不等式组，利用已知条件得到a的不等式，利用分式方程的解为非负整数点的关于a的不等式，将两个不等式组成新的不等式组，解不等式组取整数解即可．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，利用已知条件得到关于a的不等式组是解题的关键．
18.【答案】77 275
【解析】解：∵f(7)=5，f(12)=10，
∴7a−9b=512a−14b=10，
解得：a=2b=1，
∴f(269)=2×269−461=77；
设s的十位、个位数字分别为：a、b，
则s=10a+b，s′=100a+10k+b，
∴100a+10k+b=9(10a+b)，
∴a+k=4b5，
∵1≤a、b、k≤9，且a≠b≠k，
∴b=5，a+k=4，
∴当a=1时，k=3，b=5，s′=135，t=195，f(t)=2×195−115=275，
当a=3时，k=1，b=5，s′=315，t=915，f(t)=2×915−115=1715，
∴f(t)的最小值=275，
故答案为：77，275．
先根据新定义列出方程组，求出a、b的值，再根据整除求出s′，t，及f(t)．
本题考查了因式分解的应用，理解新定义及整除的意义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=x2−4xy+4y2−x2+y2
=5y2−4xy；
(2)原式=x(x−1)(x−1)2÷x−1+1x−1
=x(x−1)(x−1)2⋅x−1x
=1．
【解析】(1)先展开，再合并同类项；
(2)先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查整式混合运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握整式，分式相关运算的法则．
20.【答案】// ACD //
【解析】解：(1)作图如下：
(2)判断：DE//AC，理由如下：
∵AD=CD，(已知)，
∴∠A=∠ACD，(等边对等角)，
又∵DE平分∠BDC，(已知)，
∴∠BDC=2∠CDE.(角平分线的定义)，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD.(等量代换)，
∴DE//AC.(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：//，∠ACD，等边对等角，角平分线的定义，//，内错角相等，两直线平行．
(1)根据作角的平分线的基本作法作图；
(2)根据内错角相等，两直线平行证明．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及平行线的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)100÷20%=500(人)，
答：本次问卷调查，共调查了500人；
(2)B组人数为：500×30%=150(人)，
补全条形统计图如下：
(3)由样本估计总体得2000×200500=800(人)，
答：估计该学校学生以“公务员”为理想职业的学生约有800人．
【解析】(1)用C组人数除以它所占百分比可得样本容量；
(2)用样本容量乘B组所占百分比可得B组人数，从而补全条形统计图；
(3)用样本中以“公务员”为理想职业的学生所占百分比乘总人数200人可得答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】0≤x<1或5
∴AB=BC=3，
∵动点P从点A出发，沿着A→B→C匀速运动到点C时停止运动，速度是每秒1个单位，
∴0≤x≤6，
当0≤x≤3，即点P在AB上运动时，
此时AP=x，BP=AB−AP=3−x，
∴y=3−x(0≤x≤3)；
当3
∴BP=x−3，
∴y=x−3(3
(2)例如①函数的最小值为3；②当0≤x≤3时，y随x的增大而减小；当3
3−x>2，
解得：x<1，
∵0≤x≤3，
∴0≤x<1；
当3
解得：x>5，
∵3
(3)解法一：根据函数图象直接得出答案．
解法二：当0≤x≤3时，得3−x>2，解得x<1，则0≤x<1；当3
23.【答案】解：(1)由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：60×0.6a=36a(元)，
即新能源车的每千米行驶费用为36a元；
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴40×9a−36a=0.54，
解得a=600，
经检验，a=600是原分式方程的解，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x km，
由题意得：0.6x+4800>0.06x+7500，
解得x>5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【解析】(1)根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
(2)①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
24.【答案】解：(1)过点P作PD⊥AB于D点，
∴∠BDP=∠ADP=90°，
在Rt△PBD中，∠PBD=90°−45°=45°，BP=20海里，
∴DP=BP⋅sin45°=20× 22=10 2(海里)，
BD=BP⋅cos45°=20× 22=10 2(海里)，
在Rt△PAD中，∠PAD=90°−60°=30°，
∴AD=DPtan30∘=10 2 33=10 6(海里)，
∴AB=BD+AD=(10 2+10 6)海里，
∴观测站A，B之间的距离为(10 2+10 6)海里；
(2)补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∴∠AFB=∠CFB=90°
由题意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°−60°=30°，
∴∠C=180°−∠ABC−∠PAD=45°，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=12AB=(5 2+5 6)海里，
在Rt△BCF中，∠C=45°，
∴BC=BFsin45∘=5 2+5 6 22=(10+10 3)海里，
∴补给船从B到C处的航行时间=10+10 320×60=30+30 3≈81.9(分钟)<83分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处．
【解析】(1)过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答；
(2)过点B作BF⊥AC，垂足为F，根据题意得：∠ABC=105°，∠PAD=30°，从而求出∠C=45°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0)，
∴0=12×4+c，
解得c=−2，
∴点C(0,−2)，
∵抛物线y=12x2+bx+c经过点B(4,0)，C(0,−2)，
∴c=−20=8+4b+c，
解得b=−32c=−2，
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2，
在y=12x2−32x−2中，令y=0得0=12x2−32x−2，
解得x=−1或x=4，
∴A点坐标为(−1,0)，
∴AB=5，
∵12×5×|−2|=5，
∴△ABC的面积为5；
(2)过点P作PE⊥x轴交BC于点E，如图：
由(1)知直线BC解析式为y=12x−2，
设点P(a,12a2−32a−2)，则点E(a,12a−2)，
∴PE=12a−2−(12a2−32a−2)=−12a2+2a，
∵S四边形ACPB=S△ABC+S△BCP，
∴S四边形ACPB=12(4+1)×2+12×(−12a2+2a)×4=−(a−2)2+9，
∵−1<0，
∴当a=2时，S四边形ACPB取最大值，最大值为9，
此时点P(2,−3)；
(3)在抛物线上存在点M，使∠MCB=∠ABC，理由如下：
当点M在BC上方时，设CM交x轴于点H，如图：
∵∠MCB=∠ABC，
∴CH=BH，
∵CH2=OC2+OH2，
∴BH2=CH2=22+(4−BH)2，
解得BH=52，
∴OH=OB−BH=4−52=32，
∴点H(32,0)，
设直线CH解析式为y=kx+b，
将点C(0,−2)，点H(32,0)代入得：
−2=b0=32k+b，
解得k=43b=−2，
∴直线CH解析式为y=43x−2，
联立解析式得y=43x−2y=12x2−32x−2，
解得：x1=0y1=−2或x2=173y2=509，
∴点M(173,509)；
当点M′在BC下方时，
∵∠M′CB=∠ABC，
∴M′C//AB，
∴点M′的纵坐标为−2，
在y=12x2−32x−2中，令y=−2得−2=12x2−32x−2，
解得x=0或x=3，
∴点M′的坐标为(3,−2)．
综上所述，点M坐标为(173,509)或(3,−2)．
【解析】(1)由直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0)可得c=−2，点C(0,−2)，用待定系数法得抛物线的解析式为y=12x2−32x−2，即可得A点坐标为(−1,0)，故△ABC的面积为5；
(2)过点P作PE⊥x轴交BC于点E，设点P(a,12a2−32a−2)，可得PE=12a−2−(12a2−32a−2)=−12a2+2a，根据S四边形ACPB=S△ABC+S△BCP，可得S四边形ACPB=12(4+1)×2+12×(−12a2+2a)×4=−(a−2)2+9，由二次函数性质可得答案；
(3)分两种情况：当点M在BC上方时，设CM交x轴于点H，可得CH=BH，即有BH2=CH2=22+(4−BH)2，得BH=52，点H(32,0)，用待定系数法得直线CH解析式为y=43x−2，联立解析式得y=43x−2y=12x2−32x−2，点M(173,509)；当点M′在BC下方时，M′C//AB，可得点M′的坐标为(3,−2)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形的面积，勾股定理及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26.【答案】解：(1)BD=CE；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
BA=CA∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE．
(2)点E在线段CD上运动，如图，作FM⊥AC于M，
∵∠EAF=∠DAC，
∴∠FAE=∠DAC，
∵∠FAE=∠FAM+∠MAE，∠DAC=∠MAE+∠EAD，
∴∠FAM=∠EAD，
由旋转的性质可得，AE=AF，
∵∠D=∠AMF=90°，
在△DAE和△MAF中，
∠D=∠AMF∠EAD=∠FAMAE=AF，
∴△DAE≌Rt△MAF(AAS)，
∴AD=AM，
∵AE=3 2，AD=4，∠D=90°，
∴DE= AE2−AD2= 2，
∵DC=AB=3，
∴AC= AD2+DC2=5，
∵△DAE≌△MAF，
∴AD=AM=4，FM=DE= 2，
∵AC=AM+CM，
∴CM=AC−AM=5−4=1．
∴CF= FM2+CM2= 2+1= 3；
(3)连接CG，并延长交BA的延长线于M，连接MF，
∵AB//CE，G为AE的中点，
∴∠AMG=∠ECG，∠MAG=∠ECG，AE=EG，
∴△AMG≌△ECG(AAS)，
∴MG=CG，AM=CE，
∵H是CF的中点，GH= 13，
∴GH是△CMF的中位线，
∴MF=2GH=2 13，
∵矩形ABCD中，AB=2 3，DC=AD=6，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=4 3，
延长AB至N，使AB=BN，连接NF，
∴AN=AC，∠NAC=∠EAF=60°，
同(1)①可知△ANF≌△ACE，
∴NF=CE，∠ANF=∠ACE=60°，
∵AN=AC，∠NAC=60°，
∴∠ANC=60°，
∴∠ANC=∠ANF，
∴点N，F，C三点共线，
过点F作FP⊥AN于点P，
设AN=NF=x，
在Rt△PNF中，∠N=60°，NF=x，
∴PN=12x，PF= 32x，
在Rt△MPF中，PF2+MP2=MF2，MP=MA+AN+PN=4 3+12x，MF=2 13，
∴( 32x)2+(4 3+12x)2=(2 13)2，
解得x=4−2 3(负值舍去)，
∴NF=CE=4−2 3，
∴DE=CD−CE=2 3−(4−2 3)=4 3−4．
【解析】(1)证明△BAD≌△CAE(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE；
(2)连结EF，延长AD至M，使得AM=AC，连结MC，证明△AFC≌△AEM(SAS)，由全等三角形的性质得出CF=ME，由勾股定理求出ME的长，则可得出答案；
(3)连接CG，并延长交BA的延长线于M，连接MF，证明△AMG≌△ECG(AAS)，由全等三角形的性质得出MG=CG，AM=CE，由三角形中位线定理得出MF=2GH=2 13，得出∠BAC=60°，AC=2AB=4 3，延长AB至N，使AB=BN，连接NF，过点F作FP⊥AN于点P，设AN=NF=x，由勾股定理求出x，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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