2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是(    )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 下列计算正确的是(    )
A. (2a4)3=6a12 B. 5a−4a=1
C. 3a⋅a2=3a2 D. (a+3)(a−3)=a2−9
3. 五一期间，株洲醴陵市炒粉节3天时间共接待游客783000人次，783000用科学记数法表示为(    )
A. 7.83×104 B. 78.3×104 C. 7.83×105 D. 7.83×106
4. 如图是某企业2020年5～10月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是(    )

A. 5～6月份月利润增长量大于9～10月份月利润增长量
B. 5～10月份月利润的中位数是700万元
C. 5～10月份月利润的平均数是760万元
D. 5～10月份月利润的众数是1000万元
5. 关于x的不等式12x−a>0的一个解是x=6，则a的值可能是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 如图，将木条a、b和c用螺丝钉在一起，且∠1=70°，∠2=50°，若木条b、c位置不动，将木条a绕固定点顺时针旋转，使得a//b，则旋转的角度可以是(    )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 50°
7. 若a>b，则下列不等式不一定成立的是(    )
A. 2a>2b B. −a<−b C. a+2>b+1 D. a2>b2
8. 如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为(    )
A. 116°
B. 120°
C. 124°
D. 126°
9. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”.已知二次函数y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是(    )
A. m=94 B. m=49 C. m=1 D. m=4
10. 如图，在▱ABCD中，BC=8,AB=AC=4 5，点E为BC边上一点，BE=6，点F是AB边上的动点，将△BEF沿直线EF折叠得到△GEF，点B的对应点为点G，连接DE，有下列4个结论：①tanB=2；②DE=10；③当GE⊥BC时，EF=3 2；④若点G恰好落在线段DE上时，则AFBF=13.其中正确的是(    )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 因式分解：3x2−12=______．
12. 从1，2，3，…，10这十个整数中任意取一个数，这个数是3的倍数的概率是______ ．
13. 计算：( 8− 12)× 2= ______ ．
14. 方程5x−2=3x的解是______ ．
15. 某中学举办“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是______ ．

甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
90
85
方差
50
42
50
42

16. 如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且BE平分∠ABC，交AC于点O，若AB=3，BC=4，则AOOC= ______ ．


17. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1,m)，C(3,m+6)，反比例函数y=kx(x>0)的图象同时经过点B与点D，则k的值为______．


18. 如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MN//BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a−b)=a2−b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连接EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2.若点A，L，G在同一直线上，①若b=1，则a= ______ ；②S1S2的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：(π−2023)0+ 3tan30°−(13)−1．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+ba−b)⋅a2−b2a2，其中a=2，b=4．
21. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)已知tanB=43,CE=4，求AC的长．

22. (本小题10.0分)
如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直(∠ACB=90°)，BC=3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE=α且sinα=25，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE=4米．
(1)求该支架的边BD的长；
(2)求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF.(结果保留根号)

23. (本小题10.0分)
荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读话动，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况(积分为整数)进行分析：
【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下(单位：分)：
32 43 34 35 15 56 48 24 45 10 25 40 59 42 55 30 47 28 37 42
【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整
积分/分
星级
频数
10≤x≤19
红
2
20≤x≤29
橙
3
30≤x≤39
黄
5
40≤x≤49
绿
m
50≤x≤59
青
n
根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图．
(1)填空：m= ______ ，n= ______ ；
(2)补全频数分布直方图；
【得出结论】
(3)估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数．
(4)已知该校八年级学生小明的积分为a分，是绿星级；小红的积分为b分，是青星级.如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么b−a的最大值是______ ．

24. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系Oxy中，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(m,3)，交y轴于点B．
(1)求m、k的值；
(2)过点A的直线DE，交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点C，分别交x、y轴于点D、点E.若AC=AD，求△BEC的面积．

25. (本小题13.0分)
四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，点E在BC的延长线上，且∠BDC=∠DEC．
(1)如图1，求证：DE是⊙O的切线；
(2)如图1，若AC//DE，当AB=8，⊙O的半径为2 5时，求DE的长；
(3)如图2，AD、BC的延长线交于点F，若AB=AC，求证：ED=EF．


26. (本小题13.0分)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)．

(1)若a=−1，c=3，且该二次函数的图象经过点(1,−2)，求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的值；
(2)如图1，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x1<0 ①求证：∠ACB=90°；
②如图2，过点C作CD⊥y轴交二次函数的图象于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，若四边形OCDE为正方形，令T=1a2−2b−3c，求T的最小值．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−2的相反数是2．
故选：A．
利用相反数的定义判断即可．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：A、(2a4)3=23(a4)3=8a12≠6a12，计算错误，不符合题意；
B、5a−4a=(5−4)a=a≠1，计算错误，不符合题意；
C、3a⋅a2=3a1+2=3a3≠3a2，计算错误，不符合题意；
D、(a+3)(a−3)=a2−9，根据平方差公式可知计算正确，符合题意；
故选：D．
根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及平方差公式分别验证即可得到答案．
本题考查了整式混合运算，掌握整式混合运算的法则及公式是解决问题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：783000用科学记数法表示为7.83×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．

4.【答案】B 
【解析】解：由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900，1000、
A.5～6月份利润增长了600−500=100，9～10月份利润，增长了900−700=200，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
B.5～10月份利润的中位数为700万元，故B说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意．
C.5～10月份利润的平均数为16(500+600+700+700+900+1000)=73313(万元)，故C说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
D.700出现了2次，是出现次数最多的，5～10月份月利润的众数700万元，故D说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
故选：B．
先从统计图获取信息，再对选项逐一分析，选择正确结果．
本题考查了折线统计图，平均数和中位数，根据图表准确获取信息是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：∵12x−a>0
解得：x>2a
∵不等式12x−a>0的一个解是x=6，
∴6>2a
解得：a<3
∴a的值可能是2，
故选：A．
先解不等式，然后根据不等式12x−a>0的一个解是x=6，求得a的范围即可求解．
本题考查了根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：根据题意，当木条a绕固定点顺时针旋转，使得a//b时，∠1′=∠2，
∵未旋转前，∠1=70°，∠2=50°，
∴旋转后，∠1′=∠2=50°，即木条a绕固定点顺时针旋转，使得a//b，则旋转的角度可以是∠1−∠1′=70°−50°=20°，
故选：B．
根据“三线八角”可知∠1与∠2是同位角，若旋转木条a使a//b，则∠1′=∠2，从而由∠1=70°，∠2=50°得到旋转角度．根据“三线八角”可知∠1与∠2是同位角，若旋转木条a使a//b，则∠1′=∠2，从而由∠1=70°，∠2=50°得到旋转角度．
本题考查“三线八角”及平行线的判定与性质，读懂题意，弄清旋转前后的角度变化是解决问题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：由题意可得，
∵a>b，
∴2a>2b，−a<−b，a+2>b+1，
当a>b>0时，a2>b2，
故选：D．
根据不等式性质知直接判断即可得到答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．

8.【答案】D 
【解析】解：∵正五边形的内角=(5−2)×180°÷5=108°，
∴∠A=108°，
在⊙A上取一点M，
连接FM、GM，
∴∠FMG=12∠A=54°，
∴∠P=180°−∠FMG=126°，
故选：D．
根据正多边形的内角和公式得到正五边形的内角=(5−2)×180°÷5=108°，求得∠A=108°，在⊙A上取一点M，连接FM、GM，根据圆周角定理得到∠FMG=12∠A=54°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
由“零和点”的定义可得点P在直线y=−x上，令x2+3x+m=−x，根据Δ=b2−4ac=0求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系．
【解答】
解：由题意得点P在直线y=−x上，
∴y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”时，方程x2+3x+m=−x有两个相同的解，
∴Δ=b2−4ac=42−4m=0，
解得m=4，
故选：D．  
10.【答案】D 
【解析】解：①过点A作AH⊥BC于点H，
∵BC=8,AB=AC=4 5，
∴BH=12BC=4，
∴AH= AB2−BH2=8，
∴tanB=AHBH=2；故①正确；
②过点D作DK⊥BC于点K，则：四边形AHKD为矩形，
∴DK=AH=8，HK=AD=BC=8，
∵BE=6，
∴CE=2，
∵CH=12BC=4，
∴CK=4，
∴EK=CE+CK=6，
∴DE= EK2+DK2=10；故②正确；
③过点F作FM⊥BC于点M，
∵GE⊥BC，
∴∠BEG=90°，
∵翻折，
∴∠BEF=∠GEF=45°，
∴∠EFM=∠BEF=45°，
∴EM=FM，
设EM=FM=x，
∵tanB=FMBM=2，
∴BM=12FM=12x，
∴BE=BM+EM=12x+x=6，
∴x=4，
∴EM=FM=4，
∴EF= 2EM=4 2；故③错误；
④当点G恰好落在线段DE上时，如图：设AC与DE交于点N，
∵AB=CD，
∴AD//BC，
∴△AND∽△CNE，
∴ENDN=CEAD=28=14，
∴ENDE=15，
∴EN=15DE=2=CE，
∴∠ENC=∠ECN，
∴∠BEN=∠ENC+∠ECN=2∠ECN，
∵翻折，
∴∠BEN=2∠BEF，
∴∠BEF=∠ECN，
∴EF//AC，
∴AFBF=CEBE=26=13；故④正确，
综上：正确的是①②④；
故选：D．
过点A作AH⊥BC于点H，利用三线合一以及正切的定义，求出tanB，即可判断①；过点D作DK⊥BC于点K，利用勾股定理求出DE，判断②；过点F作FM⊥BC于点M，证明△EMF为等腰直角三角形，设EM=FM=x，三角函数求出BM的长，利用BE=BM+EM，求出x的值，进而求出EF的长，判断③；证明△AND∽△CNE，推出∠ENC=∠ECN，根据折叠的性质，推出EF//CA，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．
本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．

11.【答案】3(x+2)(x−2) 
【解析】解：原式=3(x2−4)
=3(x+2)(x−2)．
故答案为：3(x+2)(x−2)．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12.【答案】310 
【解析】解：从1，2，3，…，10这十个整数中任意取一个数共有10种等可能结果，其中这个数是3的倍数的有3、6、9这3种结果，
所以这个数是3的倍数的概率是310，
故答案为：310．
从1，2，3，…，10这十个整数中任意取一个数共有10种等可能结果，其中这个数是3的倍数的有3、6、9这3种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

13.【答案】3 
【解析】解：( 8− 12)× 2
= 8× 2− 12× 2
=4−1
=3．
故答案为：3．
先运用乘法分配律展开，再利用二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是关键．

14.【答案】x=−3 
【解析】解：去分母，得5x=3(x−2)，
去括号，得5x=3x−6，
 移项、合并，得2x=−6，
解得x=−3，
检验：当x=−3时，x(x−2)≠0，
所以，原方程的解为x=−3，
故答案为：x=−3．
公分母为x(x−2)，去分母转化为整式方程求解，结果要检验．
本题考查了解分式方程．(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，(2)解分式方程一定注意要验根．

15.【答案】乙 
【解析】解：从平均分看，乙、丙的平均分相同且都高于甲、丁的平均数，
故应从乙、丙中选择一人参赛，
从方差来看，乙、丁的方差相同且都低于甲、丙的方差，
故应从乙、丁中选择一人参赛，
综上所述，应选择乙同学参赛．
故答案为：乙．
根据应选择平均分大且方差小的同学参赛进行求解即可．
本题主要考查了根据平均数和方差做决策，掌握平均数和方差的定义是解题的关键．

16.【答案】34 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，BC=4，
∴AD//CB，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴EA=AB=3，
∵AE//CB，
∴△AEO∽△CBO，
∴AOOC=EABC=34，
故答案为：34．
由AD//CB，得∠AEB=∠CBE，而∠ABE=∠CBE，所以∠AEB=∠ABE，则EA=AB=3，由AE//CB，证明△AEO∽△CBO，则AOOC=EABC=34，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∠AEB=∠ABE是解题的关键．

17.【答案】9 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为(1,m)，C(3,m+6)，
∴设B、D两点的坐标分别为(1,m+6)、(3,m)，
∵点B与点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=m+6=3m，
∴m=3，
∴k=3×3=9．
故答案是：9．
设B、D两点的坐标分别为(1,y)、(x,2)，再根据点B与点D在反比例函数数y=kx(x>0)的图象上求出m的值，进而可得出k的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．

18.【答案】3  24 
【解析】解：如图，连接AL，GL，PF．

由题意：S矩形AMLD=S阴=a2−b2，PH= a2−b2，
∵点A，L，G在同一直线上，AM//GN，
∴△AML∽△GNL，
∴AMGN=MLNL，
∴a+ba−b=a−bb，
整理得a=3b，若b=1时，a=3．
∴S1S2=12(a−b)⋅ a2−b2a2−b2=2 2b28b2= 24，
故答案为：3； 24．
如图，连接AL，GL，PF.利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可．
本题考查平方差公式的背景，解题的关键是利用相似三角形的性质求出a与b的关系，进而解决问题．

19.【答案】解：原式=1+ 3× 33−3
=1+1−3
=−1． 
【解析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．

20.【答案】解：原式=(a−ba−b+ba−b)⋅(a+b)(a−b)a2
=aa−b⋅(a+b)(a−b)a2
=a+ba
=1+ba，
当a=2，b=4时，原式=1+42=1+2=3． 
【解析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a，b的值代入进行计算．
本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠B=∠D，AB=AD，
在△ABE和△EHF中，
∠AEB=∠AFD∠B=∠DAB=AD
∴△ABE≌△ADF(AAS)；
(2)解：∵在Rt△ABE中，tanB=AEBE=43，
设AE=4x，BE=3x(x>0)，
在Rt△ABE中，AB= AE2+EC2=5x，
∴BC=AB=5x，
∵CE=4，
∴3x+4=5x，
解得：x=2，
∴AE=8，
∵AE⊥BC，
在Rt△AEC中，AE= AE2+EC2= 82+42=4 5． 
【解析】(1)根据菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，即可证明△ABE≌△ADF；
(2)设AE=4x，BE=3x(x>0)，勾股定理得出BC=AB=5x，进而求得x=2，则AE=8，在Rt△AEC中，勾股定理即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，已知正切求边长，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵DE⊥AB，
∴△DBE是直角三角形，
在Rt△DBE中，sinα=BEDB=25，
∵BE=4，
∴BD=10，
即该支架的边BD的长为10米；
(2)根据已知可得，在Rt△DBG中∠DBG=45°，且BD=10，
∴sin∠DBG=sin45°=DGDB，
即DG10= 22，
解得：DG=5 2，
在矩形GFCB中，GF=BC=3，
∴DF=DG+GF=(5 2+3)米． 
【解析】(1)在Rt△DBE中，sinα=BEDB=25，根据已知可得BE=4，即可求解．
(2)由sin∠DBG=sin45°=DGDB代入数据求得DG，进而根据DF=DG+GF=5 2+3，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．

23.【答案】7  3  17 
【解析】解：(1)由样本数据得40≤x≤49的有7人，50≤x≤59的有3人，则m=7，n=3，
故答案为：7；3；
(2)由(1)中m=7，n=3，补全频数分布直方图如下：

(3)样本中，积分在绿星级以上的人数，占抽样人数的7+320=12，
∴600×12=300(人)，
答：估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数约为300人；
(4)俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，由题意知，b的最大值为58，a的最小值为41，
∴b−a的最大值为58−41=17，
故答案为：17．
(1)整理样本中的数据，得满足40≤x≤49的共7个；满足50≤x≤59有共3个；即可得到答案；
(2)根据(1)中所得的数据，绿星级对应的频数是7，青星级对应的频数是3，画图即可；
(3)总人数乘以样本中绿星级以上的人数所占比例即可；
(4)找到b的最大值、a的最小值，相减即可得出答案．
本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

24.【答案】解：(1)∵一次函数y=12x+1的图象经过点A(m,3)，
∴12m+1=3，
解得：m=4，
∴A(4,3)，
∵反比例函数y=kx经过点A(4,3)，
∴k=3×4=12；
(2)由(1)可得反比例函数解析式为y=12x，
设C(xC,12xC),D(x2,0)，
∵AC=AD，A(4,3)，
∴12(12xC+0)=3，
解得：xC=2，
∴C(2,6)，
设直线DE的解析式为y=ax+b，
将A(4,3)，C(2,6)代入得，4a+b=32a+b=6，
解得：a=−32b=9，
∴直线DE的表达式为y=−32x+9，
当x=0时，y=9，
∴E(0,9)，
由y=12x+1，当x=0时，y=1，则B(0,1)，
∴BE=8，
∴S△BEF=12BE⋅xC=12×8×2=8． 
【解析】(1)先将点A(m,3)代入一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式即可求解；
(2)由(1)可得反比例函数解析式，进而设C(xC,12xC),D(x2,0)，根据AC=AD，求得C(2,6)，继而求得直线DE的表达式为y=−32x+9，得出E(0,9)，进而根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∵∠BDC=∠DEC，
∴∠BED+∠DBE=90°，
∴∠BDE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，BD=4 5，
∴AD= BD2−AB2=4，
∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEB，
∵∠BDC=∠DEC，∠ACB=∠ADB，
∴∠ACB=∠BDC=∠ADB，
∵∠BCD=∠BAD=90°，BD=BD，
∴△BAD≌△BCD，
∴AD=CD=4，
∵∠BDC+∠CDE=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠CDE=∠ABD，
∴cos∠CDE=cos∠ABD，即：CDDE=ABBD，
∴4DE=84 5，
∴DE=2 5．
(3)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAD=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠F=∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠F=∠EDF，
∴ED=EF． 
【解析】(1)由圆周角定理∠BCD=90°，得到∠DBC+∠BDC=90°，进而得到∠BED+∠DBE=90°，即可得出结论；
(2)由勾股定理求出AD的长，平行得到∠ACB=∠DEB，进而得到∠ACB=∠BDC=∠ADB，证明△BAD≌△BCD，得到AD=CD，同角的余角相等，得到∠CDE=∠DBC=∠ABD，解Rt△ECD，即可得解；
(3)等边对等角得到∠ABC=∠ACB，圆周角定理，得到∠ACB=∠ADB，利用等角的余角相等，得到∠F=∠EDF，即可得证．
本题考查圆周角定理，切线的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．

26.【答案】(1)解：∵a=−1，c=3，且该二次函数的图象经过点(1,−2)，
∴a+b+c=−2，
∴b=−2+1−3=−4，
∴Δ=b2−4ac=16+12=28；

(2)①证明：由y=ax2+bx+c(a<0)，当x=0时，y=c，
∴C(0,c)，顶点坐标为P(−b2a,4ac−b24)，
设直线PC的解析式为y=kx+c，
∴4ac−b24=−b2ak+c，
解得：k=b2，
∴直线PC的解析式为：y=b2x+c，
当y=0时，x=−2cb．
∴F(−2cb,0)，
∵∠ACF=∠ABC，∠CFA=∠BFC，
∴△CFA∽△BFC，
∴FCFA=FBFC，
即FC2=FA⋅FB，
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
∴FC2=c2+4c2b2，FA=x1+2cb，FB=x2+2cb，
∴c2+4c2b2=(x2+2cb)(x2+2cb)，
即c2+4e2b2=x1x2+2cb(x1+x2)+4c2b2，
∵x1+x2=−ba,x1x2=ca，
∴c2+4c2b2=−ca+4c2b2，即ac=−1，
∵A(x1,0)，B(x2,0)，C(0,c)，
∴CA2=c2+x12，CB2=c2+x2，
∴CA2+CB2=2c2+x12+x2
=2c2+b2a2−2ca
=2a2c2+b2−2aca2
=b2+4a2，
又∵AB2=(x2−x1)2=(x1+x2)2−4x1x2=b2a2−4ca=b2+4a2，
∴CA2+CB2=AB2，
∴∠ACB=90°；

②解：∵DC⊥y轴，C(0,c)，
∴D(−ba,c)，
∴OC=c,DC=−ba，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OC=DC，
∴c=−ba，即ac=−b，
由①可得ac=−1，
∴b=1，
将b=1，1a=−c代入T=1a2−2b−3c，
T=c2−3c−2=(c−32)2−174，
∴当c=32时，T有最小值为−174． 
【解析】(1)根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解；
(2)①根据抛物线解析式求得C，P的坐标，得出直线PC的解析式，进而求得F的坐标，证明△CFA∽△BFC，进而得出ac=−1，根据根与系数的关系以及勾股定理的逆定理进行证明即可求解；
②根据正方形的性质得出OC=DC，即c=−ba结合①的条件，得出b=1，代入T，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．