新高一数学暑期衔接教材第3讲-命题与条件

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主    题命题与条件教学内容1. 理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；2. 理解四种命题及其相互关系；3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；（以提问的形式回顾）一、命题1. 我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.问题：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？在上面的例子中，命题（2）的条件和结论分别是命题（1）的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题．命题（3）的条件和结论分别是命题（1）的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题．命题（4）的条件和结论分别是命题（1）的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题．2. 一般地，设“若则”为原命题，那么“若则”就叫做原命题的逆命题；“若非则非”就叫做原命题的否命题；“若非则非”就叫做原命题的逆否命题．3. 四种命题之间的关系如下： 练习：写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：（1）若a=0，则ab=0；（2）若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形；（3）全等三角形的对应边相等； （4）四条边相等的四边形是正方形。解答：（1）原命题真，逆命题假，否命题假，逆否命题真；（2）原命题假，逆命题假，否命题假，逆否命题假；（3）原命题真，逆命题真，否命题真，逆否命题真；（4）原命题假，逆命题真，否命题真，逆否命题假。 4. 通过上面的练习思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假结论：互为逆否命题的两个命题真假性相同 二、条件讨论结果：一般地，“若p、则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q. 这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq. 于是我们就把p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件.定义：一般地如果命题若p、则q为真命题，即pq，那么我们就把p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件. 注意：1. 命题是“若p、则q”形式的，要认清p、q分别指什么。      2. 命题必须是真命题练习：下列“若p、则q”的命题中，哪些命题中的p是q 的充分条件？（1）若，则.（2）若x为无理数，则为无理数 分析：因为（1）是真命题，所以p是q 的充分条件；因为（2）是假命题，所以p不是q 的充分条件.从这个练习可以看出判断条件的第一步是判断命题的真假。同时从（2）说明p、q的关系：p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。 讨论结果：（1）中p是q 的充分条件且p不是q 的必要条件，即：且，这时我们把p叫做q的充分不必要条件。（2）中p是q 的必要条件且p不是q的充分条件，即：且，这时我们把p叫做q的必要不充分条件。（3）中p是q的充分条件且p是q 的必要条件，即：且，这时我们把p叫做q的充分必要条件，简称充要条件。（4）中p不是q的充分条件且p不是q 的必要条件，即：且，这时我们把p叫做q的既不充分也不必要条件。定义：（1）“若p、则q” 为真命题，且“若q、则p”为假命题，即：且，我们把p叫做q的充分不必要条件。（2）“若p、则q” 为假命题，且“若q、则p”为真命题，即：且，我们把p叫做q的必要不充分条件。（3）“若p、则q” 为真命题，且“若q、则p”为真命题，即：且，我们把p叫做q的充分必要条件，简称充要条件。（4）“若p、则q” 为假命题，且“若q、则p”为假命题，即：且，我们把p叫做q的既不充分也不必要条件。 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 判断下列命题的真假：（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；（2）关于的方程有且只有一个实数根。解：（1）真命题。（2）假命题。说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。 试一试：判断下列命题的真假：（1）质数都是奇数；（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；（3）若，，则。（4）若则。解：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题； 例2.  已知命题：若，则，写出它的四种形式并判断真假。解：逆命题：若，则。假命题。否命题： 若，则。假命题。逆否命题：若，则。真命题。 试一试：写出命题“已知，若，则”的其他三种形式。解：逆命题：已知，若，则。  假命题否命题：已知，若或，则。 假命题逆否命题：已知，若，则或。 真命题 例3. 已知，“”是“”的什么条件？解：必要非充分。 说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即可。 例4. 证明：是关于的一元二次方程有两个不同的实数根的充分非必要条件。解：充分性：若，则方程的，方程有两个不同的实数根。非必要性：当方程有两个不同的实数根，则，而不仅仅是。说明：证明非必要性，只需证明不成立即可。 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 设，，那么是的（　　）      AA．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件C．充要条件     D．既不充分也不必要条件 2. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）“有实根”是“”的_____________；   必要不充分条件
（2）“”是“”的_____________． 充分不必要条件 3. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．（1）若,则；（2）若，则．解：逆命题：若，则。否命题：若,则。逆否命题：若，则。4. 把下列命题改写成“若则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．（1）对顶角相等；（2）四条边相等的四边形是正方形．解：（1）若两个角是对顶角，则它们相等.  真命题   逆命题：若两个角相等，它们是对顶角. 假命题   否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 假命题   逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角. 真命题   （2）若四边形的四条边都相等，则这个四边形是正方形。 假命题   逆命题：若四边形是正方形，则四条边相等。 真命题   否命题：若四边形的四条边不相等，则这个四条边不是正方形。真命题   逆否命题：若四边形不是正方形，则四条边不相等。假命题 5. 已知，求证：成立的充分条件是。 证明：由，得：， ，即所以是的充分条件  本节课主要知识点：四种命题的改写，四种命题之间的真假关系，充分条件必要条件的判定 【巩固练习】1. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）“四边形的对角线互相平分”是“四边形为矩形”的          ；（2）“”是“”的           ；（3）设，的半径为，，则“”是“两圆外切”的          ．（1）必要不充分条件     （2）充要不必要条件  （3）充要条件． 2. 指出是的什么条件，简述理由。 答案：必要非充分条件。 理由：，反过来 【预习思考】1. 设，则的一个必要不充分条件是（　　）A．  B．  C．  D．2.                   的整体叫做集合。3. 元素与集合的关系有___ ___________及_____________两种。4. 集合元素的三个特征：（1） _______;(2)____________;(3)___________.5. 集合的表示方法有_________、______________.6. 按元素个数分，集合可以分为___________、 ______________、 _________。7. 集合与集合之间存在三种关系：_____与_______与        .8. （1）集合A与集合B的交集：___________________________.（2）集合A与集合B的并集：_____________________________. （3）集合A的补集：___________________.