江苏省南通海安2021-2022高二下学期数学期末试卷及答案

2021-2022学年江苏省南通市海安高二期末考试

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若，则

A.  B.  C.  D.

2. 根据样本点，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则

A.  B.  C.  D.

3. 一个袋子中共有个大小相同的球，其中个红球，个白球，从中随机摸出个球，则取到红球的个数的期望为

A.  B.  C.  D.

4. 第十三届冬残奥会于年月日至月日在中国成功举行已知从某高校名男志愿者，名女志愿者中选出人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者，且仅有名女志愿者入选，则不同的选择方案共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

5. 投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表：
   
   则下列说法正确的是

A. 投资甲种股票期望收益大 B. 投资乙种股票期望收益大
C. 投资甲种股票的风险更高 D. 投资乙种股票的风险更高

6. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则   

A.  B.  C.  D.

7. 六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途已知六氟化硫分子构型呈正八面体每个面都是正三角形，如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为．

A.  B.  C.  D.

8. 若，则

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 对于样本相关系数，下列说法不正确的是

A. 越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B. ，成对样本数据没有任何相关关系
C. 刻画了样本点集中于某条直线的程度
D. 成对样本数据相关的正负性与的符号正负相同

10. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是

A. 若，，则
B. 若，，两两共面，则，，共面
C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

11. 箱中共有包装相同的件正品和件赝品，从中不放回地依次抽取件，用表示“第一次取到正品”，用表示“第二次取到正品”，则

A.  B.
C.  D.

12. 在平行六面体中，，，点在线段上，则

A.
B. 到和的距离相等
C. 与所成角的余弦值最小为
D. 与平面所成角的正弦值最大为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 试写出一个点的坐标：          ，使之与点，三点共线．
14. 已知的展开式中第项和第项的二项式系数相同，则展开式中项的系数为          ．
15. 请在下面两题中选择一题作答：
    题设点是抛物线与双曲线在第一象限的唯一公共点，点，分别是的准线与的两条渐近线的交点，则的面积为          ．
    题已知球的体积和表面积均是球半径的函数，分别记为，若球的半径满足，点到球心的距离为，过点作平面，则平面截球所得截面圆的面积的最小值为          ．
16. 某商场共有三层，最初规划第一层为家生活用品店，第二层为家服装店，第三层为家餐饮店招商后，最终各层各类店铺的数量单位：家统计如下表：

若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为          若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 请在下面两题中选择一题作答：
    题已知是等差数列的前项和，且，，求：
    数列的通项公式
    数列的前项和．
    题在中，已知，，，点在边上，且，求

18. 某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了位学生进行调查，结果如下：
    回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的在回答“不满意”的人中，女生人数占．
    请根据以上信息填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关

附：

参考公式：，其中．
为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于分为达标，超过的学生达标则认为达标效果显著已知这名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著
附：若∽，则，，．

19. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，且边长为，，，与交于点．
    求证：平面
    求二面角的余弦值．

20. 已知椭圆的左焦点，右顶点．
    求的方程
    设为上一点异于左、右顶点，为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．

21. 已知函数．
    证明：
    若，求．

某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为．
若，从中随机取出只鸡，记取到病鸡的只数为，求的概率分布及数学期望
对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡方案如下：按每只鸡一组分组，并把同组的只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组只鸡逐只化验设每只鸡的化验次数为随机变量，当且仅当时，的数学期望，求的取值范围．

答案

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查排列公式的计算，属于基础题．

【解答】

解：由 ，则 ．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了回归直线方程，属于基础题．

【解答】

解：由已知得 ，
而 ，所以 ，
解得 ．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．
由题意知 ，再计算出概率可得其分布列，再利用数学期望计算公式即可得出

【解答】

解：由题意可得取到红球的个数 的取值为： ，
，   ，   ，

．
故答案为 ．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的综合运用，属于基础题．

【解答】

解：由题意可得需要选 名男生， 名女生，
所以不同安排方案有 种

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了均值、方差与风险评估，属于基础题．

【解答】

解：甲收益的期望，
方差，
乙收益的期望，
方差，
所以，，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的线性运算以及向量中点公式的应用，属于基础题．

【解答】

解： ，
其中 为中点，有 ，故可知 ，
则知 为 的中点，故点 满足 ， ．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查利用空间线线的位置关系求解概率，属于中档题．

【解答】

解：根据题意可得，假设四边形 取 ，则与 异面的直线为 ， ， ， ，同理可得 ， ， 的异面直线，则 ．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了指定项的系数与二项式系数，属于中档题．

【解答】

  解：令 可得： ，
令 可得： ，
两式相加可得： ，
所以 ，
令 可得 ，
所以 ．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了相关系数的概念，属于基础题．
相关系数是一个绝对值小于等于 的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，得到结论．

【解答】

解：相关系数是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的 相关系数是一个绝对值小于等于 的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以 不正确，
相关系数为 说明两变量不存在直线相关关系，但这并不意味着两个变量之间不存在其他类型的关系，故 B 不正确，
与 的阐述均正确．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的判断，属于中档题．

【解答】

解： ， ， 是空间的三个单位向量，
由 ， ， 则 ，故 A 正确．
， ， 两两共面，但是 ， ， 不一定共面，故 B 错误．
由空间向量基本定理，可知只有当 ， ， 不共面，才能作为基底，得到后面的结论，故 C 错误
若 是空间的一组基底， 则 ， ， 不共面，可知 也不共面，所以 也是空间的一组基底，故 D 正确．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了条件概率的计算，属于基础题．

【解答】

解： ， ， ，
，故 A 选项对；
，故 B 选项错；
，故 C 选项正确；
，故 D 选项正确．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量数量积运算性质、利用空间向量求线线角问题，考查了空间想象能力，推理能力与计算能力，属于中档题．

【解答】

解：若 且 ， ，可知 面 ，则 面 ，显然矛盾，故错误
对于选项 B ，其中 点在线段 上， 平分 ，且 ，可知 上所有点到 与 的距离相等，故 B 正确
设平行六面体 的边长为 ，
易得 ，其中 ，可得 ，
当 点运动到 点处时，此时 与 所成角的余弦值最小， ，故 C 正确；
当 点运动到 点处时，此时 与平面 所成角的正弦值最大，
则有 ，故正弦值最大为 ， 选项正确．
 

13.【答案】注：答案不唯一，形如均正确

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的共线，属于基础题．

【解答】

解：根据题意可得，设 ，则设 ，
故 ，则 ．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了二项展开式及其通项，属于基础题．

【解答】

解：由已知可得，所以，
则二项式 的展开式的通项公式为
，
令，解得，
所以展开式中的系数为 ．

15.【答案】

【解析】

【分析】

题 考查抛物线与双曲线的性质，为中档题；
题 考查球中的截面问题，求出 ，再计算出截面圆的半径即可算出截面圆面积的最小值．

【解答】

解：选择题 ：
因为抛物线 与双曲线 在第一象限只有唯一公共点，
将 带入 内，有 ， ，解得 ．
可得点 ，双曲线的渐近线方程为 ，可知 ， ，
则 的面积 ，
选择题 ：
， ，
其中 ，可得 ，故截面圆半径的最小值为 ，
则截面圆面积的最小值为 ．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查古典概型，属于基础题．
根据条件结合古典概型概率公式直接计算即可得到答案．

【解答】

解：若从第一层店铺中随机抽一家， 则该店铺与最初规划一致的概率为 ，
若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为 ．

17.【答案】解：若选题，
设等差数列的公差为，则，所以．
所以，
由知，，
所以，
解：在中，由余弦定理，
得，所以
在中，由正弦定理，
得，
在中，由 ，
所以，故．
所以．

【解析】题考查了等差数列求通项，裂项相消，属于中档题．
题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：补充列联表如图：
 

零假设为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别没有关联．
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
因为学生的测试成绩服从正态分布，所以，，且，
所以
．
答：该校增加锻炼时长后达标效果显著．

【解析】本题考查独立性检验与正态分布性质的运用，为中档题．
 

19.【答案】证明：因为和均为正三角形，所以．
又，所以为的中垂线．
所以为的中点．
又，所以．
又，，平面，所以平面．
因为，为的中点，所以．
又因为，所以，，为全等三角形．
所以，所以．
结合知，不妨以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，，
故，，
令，则，，
所以．
设二面角的大小为，
则，．
又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．

【解析】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求解二面角，属于中档题．
 

20.【答案】解：设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．
所以，故C的方程为：；
设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以
，
所以，所以．

【解析】本题考查了椭圆的标准方程，利用向量求椭圆的相关问题，属于中档题．
 

21.【答案】证明：的定义域为，且
令，得．
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以，所以
令，则．
当时，有，与题设矛盾，故舍去．
当时，令，得
当时，，单调递减当时，，单调递增，所以
由知，当且仅当时，取等号，
所以，所以．

【解析】问题考查利用导数证明不等式成立，问题不等式成立求参数的范围，为中档题．
 

22.【答案】解：依题意，的所有可能取值为，，．
且，
，
，
所以的概率分布表为

所以．
设．
若同一组的只鸡无感染，则否则，．
所以，．
所以．
又当且仅当，时，，即，
所以当且仅当且时，
设，则，令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减．
由知，，，，，
解得，所以的取值范围是