2022-2023学年江苏省南通市如东县、海安市高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市如东县、海安市高二下学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南通市如东县、海安市高二下学期期中数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C．（0，1） D．
【答案】B
【分析】分别化简集合，根据并集的定义求解.
【详解】
不等式的解集是集合
又因为
又，所以满足函数中的范围就是集合
所以
所以
故选：B
2．已知复数z满足，则复数z的实部与虚部的和为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的运算法则求出复数，则得到答案.
【详解】
，，
故实部与虚部的和为，
故选：D.
3．命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据全称命题为真命题，求出的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：对任意，”为真命题，
则对任意，”，
当，，
，
则命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是，
故选：．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据命题为真命题求出的取值范围是解决本题的关键．
4．为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了，它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的，假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使飞机比飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用独立重复事件概率公式，分别求两种飞机正常飞行的概率，再根据条件
列出不等式，即可求解.
【详解】若飞机正常飞行，至少3个引擎正常运行，
概率，
若飞机正常飞行，2个引擎都正常运行，概率，
由题意可知，，解得：，
则，所以飞机引擎的故障率应控制的范围是.
故选：C
5．为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（    ）
附：若，则，．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为85
C．该校学生体育成绩的及格率小于85%
D．该校学生体育成绩的优秀率大于3%
【答案】C
【分析】根据正态分布的特征可求A,B选项的正误，根据优秀和及格的标准可得C,D选项的正误.
【详解】因为，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A,B均不正确；
因为60分及以上为及格，
所以，C正确；
因为90分及以上为优秀，所以，D不正确.
故选：C.
6．“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（    ）
A．72 B．36 C．48 D．18
【答案】B
【分析】将4名专家分为3组，一组2人，其余2组各1人，然后分到3个地方，结合排列组合数的计算即得答案.
【详解】由题意可知有2名专家去一个地方，其余2地方各分派一名专家，
故共有种分派方法.
故选：B.
7．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（    ）
A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096
【答案】B
【分析】分别用事件，，表示“被保险人是‘谨慎的’，‘一般的’，‘冒失的’”， 事件表示“被保险人在一年内发生事故”，再利用条件概率求解.
【详解】设事件表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件表示“被保险人是‘一般的’”，事件表示“被保险人是‘冒失的’”，则，，.设事件表示“被保险人在一年内发生事故”，则，，.由全概率公式，得.
故选：B
8．在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（    ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】通过计算推出为的外接圆的直径，到平面的距离为，设的中点为，则为的外接圆的圆心，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，根据以及求出的最小值及取最小值时，有平面，再取的中点，连，，则可得，计算可得.
【详解】因为，，所以，
所以，所以，所以，
所以为的外接圆的直径，
设的中点为，则为的外接圆的圆心，
因为，设到平面的距离为，
则，所以，
当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则平面，
若点和点在平面的同侧，如图：

则，即，当且仅当三点共线时，取等号，
在中，，所以，
所以，所以，当且仅当三点共线时，取等号，
若点和点在平面的异侧，

则，所以，
若与重合时，，不合题意，
综上所述：的最小值为，且当时，三点共线，
此时平面，取的中点，连，，则，

因为平面，平面，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以，
所以是侧面与底面的夹角，即，
因为，，
所以.
故选：B

二、多选题
9．已知函数，则下列关于的展开式的命题中，正确的是（    ）
A．当时，的展开式共有项
B．当时，的展开式第项与第项的二项式系数之比为
C．当时，的展开式中，各项系数之和为
D．若第项和第项的二项式系数同时最大，则
【答案】BD
【分析】利用展开式的项数与的关系，可判断A选项；利用二项式系数的概念可判断B选项；当时，可知展开式各项系数和为，可判断C选项；陆二项式系数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，的展开式共有项，A错；
对于B选项，当时，的展开式第项与第项的二项式系数之比，B对；
对于C选项，当时，，
此时，的展开式中，各项系数之和为，C错；
对于D选项，若第项和第项的二项式系数同时最大，则函数的展开式中共项，
即，故，D对.
故选：BD.
10．教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中指出，“各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”.提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力.某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率直方图如图所示，则下列结论中正确的是（    ）
  
A．样本的众数为67.5 B．样本的80百分位数为72.5
C．样本的平均值为66 D．该校男生中低于的学生大约为300人
【答案】ABD
【分析】根据众数的估计方法判断A；根据80百分位数的求法可判断B；根据平均值的估计方法判断C；根据频数的计算方法判断D.
【详解】对于A，由频率分布直方图可得样本的众数为，正确；
对于B，由于，
，
故设样本的80百分位数为x，则，正确；
对于C，样本的平均值为，错误；
对于D，该校男生中低于的学生大约为（人），正确，
故选：ABD
11．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据古典概型的概率公式及条件概率的概率公式计算可得.
【详解】对于A：掷两个正四面体，一共有种基本事件，
事件发生，则两个四面体朝下一面的数字为一奇一偶，有种，所以，
因为掷一个四面体朝下一面为奇数和偶数的方法种数相同，
所以，，即，故A正确；
对于B：，，，
所以，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：ABC
12．已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（    ）
  
A．当，时，到的距离为
B．当时，点的到平面的距离的最大值为1
C．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．当，时，四棱锥外接球的表面积为
【答案】CD
【分析】根据向量的线性关系确定所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离，根据线面角的定义求直线与平面所成角的最大正切值，求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积.
【详解】A：，则，即，故在上运动，
所以到的距离为，即棱与的距离，错；
B：，则，故在底面上运动，
所以，当在上时，的到平面的距离最大，
而，面，面，则面，
所以，由长方体结构特征，最大值问题化为到的距离，，则，错；
C：，则，故在上运动，
根据长方体的结构易知：当与重合时，直线与面所成角正切值的最大值为，对；
D：，则，故为中点，
如下图，，，
  
所以的底面为矩形，顶点在的投影为底面中心，即的交点，
故外接球的球心一定在直线上，令球体半径为R，
所以，，且，
可得，则外接球的表面积为，对.
故选：CD
【点睛】关键点点睛：根据各选项的条件，利用向量加减、数乘的几何意义确定的位置或运动区域为关键.

三、填空题
13．展开式中的常数项为 ．
【答案】
【分析】由，利用其展开的通项公式求解即可.
【详解】因，其通项公式，
由题设，即，故.
故答案为：.
14．甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有 种不同的坐法.
【答案】16
【分析】先排甲乙，再排丙，最后安排丁可得答案.
【详解】先排甲乙，共有种方法，产生3个空位，要求甲、乙两人位于丙的同侧，
故丙有2种选择，三人排好后，产生4个空位，故丁有4种选择，
所以共有种不同的做法.
故答案为：16.
15．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示.（残差＝观测值－预测值）

3
4
5
6

2.5
3
4

根据表中数据，得出关于的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为 .
【答案】4.5
【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再利用样本中心一定在回归直线上，即可求得答案.
【详解】由题意可得时的预测值为，
则有，
即，
又，
故，
故答案为：4.5
16．已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数量积公式，即可求出结果.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且，
  
由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故答案为：.

四、解答题
17．2021年12月17日，工信部发布的“十四五“促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业.下表是某地各年新增企业数量的有关数据：
年份(年)
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码(x)
1
2
3
4
5
新增企业数量：(y)
8
17
29
24
42
(1)请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；
(2)若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望．
参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，
【答案】(1)；估计2023年此地新增企业的数量为54家
(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）求得x,y的平均值，根据最小二乘法估计公式求得回归方程的系数，即可求得答案,将代入回归直线方程，即可预测2023年此地新增企业的数量；
（2）由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布的概率计算求得X的分布列，进而求得期望.
【详解】（1）,
，
，
，
所以，，
所以．
2023年，即当时，由线性回归方程可得，
所以估计2023年此地新增企业的数量为54家．
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，
因为，，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以．
18．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：
              单位：人

购置新能源汽车
购置传统燃油汽车
总计
男性
50
10
60
女性
25
15
40
总计
75
25
100
(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；
(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)购车种类与性别有关；
(2)X的分布列见解析，.

【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.
（2）求出抽取传统燃油汽车的概率、X的所有可能值，利用二项分布求出分布列及期望作答.
【详解】（1）设零假设为：购车种类与性别无关，
根据数表可得，
所以零假设是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.
（2）随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为，
被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，
依题意，，，
，，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




X的数学期望.
19．如图多面体中，四边形是菱形，平面，.

(1)证明：平面；
(2)在棱上有一点（不包括端点），使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取的中点，证明是平行四边形即可证明结论；
（2）连接交于，取中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合平面的向量夹角公式求出点坐标，再利用向量距离公式即可求出点到平面的距离．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为，且，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为是菱形，所以，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，，
又平面平面，
所以平面；

（2）连接交于，取中点
平面平面，且，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设在棱上存在点使得平面与平面的夹角余弦值为，

则设，
所以
设平面的一个法向量为，
则即，令，
得
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
得，.
，
解得或，，又，
此时，
点到平面的距离．

20．如图1，在矩形ABCD中，，E是CD的中点，将沿AE折起至的位置，使得平面平面ABCE，如图2．

(1)证明：平面平面PBE．
(2)M为CE的中点，求直线BM与平面PAM所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由平面平面平面PBE；
（2）先说明两两垂直，再以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果.
【详解】（1）在矩形ABCD中，，E是CD的中点，
,,所以，所以，
在折叠后的图形中，也有，
因为平面平面ABCE，平面平面ABCE，
平面ABCE且，所以平面，
因为平面，所以，
因为，且，
所以平面.
（2）取的中点，的中点，连，，
因为，所以，因为，，所以，
因为平面，所以，所以，
所以两两垂直,
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，得，，得，
所以直线BM与平面PAM所成角的正弦值为.
21．在平面直角坐标系中，已知动点C到定点的距离与它到直线的距离之比为.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)点P为直线l上的动点，过点P的动直线m与动点C的轨迹相交于不同的A，B两点，在线段上取点Q，满足，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）直接根据题意翻译条件为代数式，即可求解.
（2）设点设直线，将条件翻译成代数式，联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理消元即可.
【详解】（1）设动点，由动点C到定点的距离与它到直线的距离之比为.
得，
化简得，即点C的轨迹方程为
（2）设，直线的斜率显然存在设为k，则的方程为.
因为A，P，B，Q四点共线，不妨设，
由可得，
即，
所以
可得，化简可得.（*）
联立直线和椭圆C的方程：
，消去y得：，
由韦达定理，，.代入（*）
化简得，即
又代入上式：，化简：，
所以点Q总在一条动直线上，且该直线过定点
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)函数在上单调递增
(2)证明见解析

【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出答案；
（2）当时，，即证在上恒成立，利用导数求出函数的单调区间，再利用导数比较在时，和的大小，即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，
所以函数在上单调递增；
（2）原不等式为，即，
即证在上恒成立，
设，则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
令，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在时，有成立.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数证明不等式问题，考查了转化思想及逻辑推理能力，有一定的难度.