2023年广东省汕头市龙湖区林重点中学中考数学三模试卷

这是一份2023年广东省汕头市龙湖区林重点中学中考数学三模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省汕头市龙湖区林重点中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  甲型流感病毒的直径是，将用科学记数法表示是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算中，正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  如图所示，直线，，，则(    )A.
B.
C.
D.
 4.  从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是(    )A. 成语“守株待兔”是随机事件
B. 成语“水中捞月”是随机事件
C. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
D. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件5.  如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  实数、在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 7.  如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是(    )A.
B.
C.
D. 8.  下列命题是真命题的是(    )A. 每个内角都相等的多边形是正多边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 两直线平行，同位角互补 D. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线9.  把半径长为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论；
中正确的是(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  分解因式：______．12.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．13.  在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值则           度
 
  
 14.  如图，，，，，五个顶点均在小正方形组成的网格的格点上若于点，且，则的长为______ ．
 15.  如图，直线与曲线，分别交于点，，，，，，，过点，，，，，，作轴和轴的垂线，围成如图所示的“字形”阴影部分，分别记作，，，，则 ______ ．
 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
计算：．17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．18.  本小题分
如图，点、在菱形的对角线上，且求证：．

 19.  本小题分
某校在宣传“中华民族大团结”活动中，采用四种宣传形式：器乐，舞蹈，朗通，唱歌学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

请结合题图中所给信息，解答下列问题：
本次调查的学生共有______ 人；
补全条形统计图；
该校共有名学生，请估计喜欢唱歌的学生有多少人？
某班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位学生表现优秀，现从这四位学生中随机选出两名学生参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．20.  本小题分
某学校在纪念“五四”青年节歌咏比赛活动中，准备购买一些围棋和篮球作为奖品发放，每个篮球的价格比每副围棋价格的倍多元，且元购买的围模数量与购买的篮球数量相同．
求围棋和篮球的的单价各是多少元；
若该学校决定购买围棋和篮球共计份作为奖品，并要求购买围棋的数量不超过篮球数量的倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，
把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与轴相交于点．
求证：≌；
求点的坐标；
若点在线段上，且点的坐标为时，连接、试证明四边形是菱形．
22.  本小题分
如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，．
求证：直线为的切线；
求证：；
若，，求的值和线段的长．
23.  本小题分
如图，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，点是抛物线上一动点．
求抛物线的解析式；
当点在直线上方时，连接，，，交于点，令的面积为，的面积为，求的最大值；
点是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 2.【答案】 【解析】解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选：．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，

．
故选：．
根据三角形外角的性质，欲求，需求根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、成语“守株待兔”是随机事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”是不可能事件，故B不符合题意；
C、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件，故C不符合题意；
D、诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，不可能事件，必然事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，不可能事件，必然事件的特点是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：根据平行四边形的性质得，
，
又平分，
，
，
，
即．
故选：．
由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而平分，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则可求解．
本题直接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由数轴知，，，
A错误，
，即B正确，
，即C错误，
，即D错误．
故选：．
利用数轴可知，的大小和绝对值，然后判断即可．
本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用以上知识解题．
 7.【答案】 【解析】解：如图，连接，
是直径，
，
，，
，
，
，
故选：．
连接，构造直角三角形，利用已知边的长度结合锐角三角函数的定义求得的度数，最后利用圆周角定理确定的度数即可．
考查了圆周角定理的知识，解题的关键是能够作出半径构造直角三角形，难度不大．
 8.【答案】 【解析】解：、每个内角都相等，每条边都相等的多边形是正多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、过线段中点的垂直于线段的直线是线段的垂直平分线，故原命题错误，不符合题意．
故选：．
利于正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质及垂直平分线的定义进行判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
 9.【答案】 【解析】解：设球的平面投影圆心为，过点作于点，延长交于点，连接，如图所示：

则，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，，
故选：．
设球的平面投影圆心为，过点作于点，延长交于点，连接，，，再利用勾股定理可得，进而可得的长．
本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：延长至，使，

四边形是正方形，
，，
≌，
，，，
，
，即，
又，
≌，
，正确；
，
，
，正确；
设，
为中点，
，
，，
在中，由勾股定理得，
解得，即，不正确；
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，正确；
综上，正确的有，
故选：．
延长至，使，证明≌，推出，，，利用证明≌，可判断；利用余角关系可判断；在中，由勾股定理计算可判断；证明∽，利用相似三角形的性质可判断．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：

．
故答案为．  12.【答案】 【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得，
的取值范围是：．
故答案为：．
利用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题关键．
 13.【答案】 【解析】【分析】
由三角形外角的性质得到，由三角形内角和定理，即可得到答案．
本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是掌握三角形外角的性质．
【解答】
解：是等边三角形，
，
，，
．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：由图可知，设，，，
则，
，
，
又，
∽，
，即，
解得，
，
故答案为：．
设，，，根据勾股定理计算出，证明∽，根据相似三角形对应边成比例可得，代入计算即可．
本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明∽．
 15.【答案】 【解析】解：如图所示，由反比例函数比例系数的几何意义可得：
，
，


，
，
故答案为：
根据反比例函数的几何意义可得到规律，由此即可得到答案．
本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
 16.【答案】解：

． 【解析】先计算乘方、立方根、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能正确地进行计算．
 17.【答案】解：原式




．
当时，
原式． 【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
≌，
． 【解析】利用证明≌，即可得证．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意证得≌是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】解：由条形统计图可知参加项目的人数为人，由扇形统计图可知参加项目的人数所占的百分比为，故本次调查的总人数为：人，
故答案为：；
参加项目的人数为：人，补全条形统计图如下所示：

抽样调查中，喜欢“唱歌”的人数为人，其所占的百分比为，
故名学生，估计喜欢唱歌的学生有人
甲、乙、丙、丁四位同学任选两位的所有可能情况如下树状图所示：

被选取的两人恰好是甲和乙有种情况
故被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
将两个统计图信息关联即可求解；
调查的总人数可知，求得参加项目的人数，补全条形统计图即可；
用样本估计总体即可；
画出树状图，根据概率公式求解即可．
本题考查了条形统计图及扇形统计图，将条形统计图与扇形统计图信息相关联是解答本题的关键．
 20.【答案】解：设围棋的单价是元副，则篮球的单价是元个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：设围棋的单价是元副，篮球的单价是元个；
最省钱的购买方案为：购买副围棋，个篮球，理由如下：
设购买副围棋，则购买个篮球，
根据题意得：，
解得：，
设该学校购买份奖品的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，
最省钱的购买方案为：购买副围棋，个篮球． 【解析】设围棋的单价是元副，则篮球的单价是元个，利用数量总价单价，结合元购买的围模数量与购买的篮球数量相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出围棋的单价，再将其代入中，即可求出篮球的单价；
最省钱的购买方案为：购买副围棋，个篮球，设购买副围棋，则购买个篮球，根据购买围棋的数量不超过篮球数量的倍，可得出关于的一元一次不等式，解之可求出的取值范围，设该学校购买份奖品的总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
≌；
解：，
，即，
，
；
证明：如图，

，，
，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为菱形． 【解析】由四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的判定得到≌；
根据勾股定理得到，则可得出答案；
证得，，得出四边形为平行四边形，由勾股定理求出，得出，则可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质及菱形的判定方法是解题的关键．
 22.【答案】证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
即垂直平分，
，
，
而，
，
，即，
，
是半径，
直线为的切线；
证明：，，
∽，
，
，
而，
，
，
；
解：连接，如图，
为直径，
，
垂直平分，
，
，
设，则，
垂直平分，
，
，
，
，
在中，，
，解得，
，，，
在中，，
；
，
，解得，
． 【解析】连接，如图，先利用切线的性质得，再根据垂径定理得到，即垂直平分，所以，然后证明，从而根据切线的判定定理可得到直线为的切线；
证明∽，利用相似比得到，然后利用，即可得到结论；
连接，如图，先证明为的中位线得到，设，则，再根据圆周角定理得到，则，利用正切定义得到，接着在中利用正切定义得到，解得，则，，，然后利用余弦定义求出的值；再利用求出，从而可得到的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时只有利用相似比计算相应线段的长．也考查了切线的判定与性质．
 23.【答案】解：令，得，
令，得，
，，
抛物线经过两点，
，
解得：，
；

如图，过作轴交于，过作轴交于，

令，
解得：，，
，
，
∽，
：：：，
设，
，
，
，
，
，
：：：；
当时，：的最大值是；
的坐标为或或 【解析】解：见答案；
见答案；
，
对称轴为直线，
设，，
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
综上，的坐标为或或

根据一次函数得到，代入，于是得到结论；
令，解方程得到，，求得，过作轴于，过作轴交于于，根据相似三角形的性质即可得到结论；
根据为边和为对角线，由平行四边形的性质即可得到点的坐标．
本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想，以为边或对角线分类讨论是解决此题的关键．