2022年广东省汕头市龙湖区世贸实验学校中考数学三模试卷

这是一份2022年广东省汕头市龙湖区世贸实验学校中考数学三模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：．其中不合格的是
A．B．C．D．
2．（3分）世界卫生组织2022年5月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达5.17亿，数据“5.17亿”可用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）将一副直角三角尺按如图所示放置（其中，，，满足点在上，点在上，，，则的大小是
A．B．C．D．
4．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．①②B．①③C．②D．②④
5．（3分）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为
A．B．C．D．
6．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
7．（3分）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是元，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到
△，则图中阴影部分的面积是
A ．B ．C ．D ．
9．（3分）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是
A．B．C．D．
10．（3分）如图，矩形中，，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为
A．6B．8C．D．10
二.填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）函数中自变量的取值范围是 ．
12．（4分）在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值是 ．
13．（4分）已知一个多边形每一个外角都是，则它是 边形．
14．（4分）如果，那么代数式的值为 ．
15．（4分）在直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△；第二次旋转后得到△，，以此类推，则点的坐标为 ．
16．（4分）已知实数，满足，且，，则的取值范围 ．
17．（4分）如图，在菱形中，，将菱形沿直线翻折，点点处，若，，则的长为 ．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：．
19．（6分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
20．（6分）如图，在中，，．
（1）在线段上求作一点，使得；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的值．
四.解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半铀上，且四边形是平行四边形．
（1）求，的值．
（2）若点也在反比例函数的图象上，求点的坐标．
22．（8分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量（个与销售单价（元之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量（个与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为（元，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23．（8分）如图，四边形内接于，为的直径，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，且．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的长．
五.解答题（三）（本题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，点为正方形边上一动点（不与、重合）．连接交于点，经过点，分别与、交于点、，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
25．（10分）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，．
（1）若点的坐标为．
①求抛物线的表达式；
②点在第一象限的抛物线上运动，直线交于点，过点作轴的垂线交于点，当为以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．
（2）抛物线的顶点在某个关于的函数图象上运动，请直接写出该函数的解析式．
2022年广东省汕头市龙湖区世贸实验学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：．其中不合格的是
A．B．C．D．
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【解答】解：，，
零件的直径的合格范围是：零件的直径．
不在该范围之内，
不合格的是．
故选：．
【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
2．（3分）世界卫生组织2022年5月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达5.17亿，数据“5.17亿”可用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：数据“5.17亿”可用科学记数法表示为：5.17亿．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
3．（3分）将一副直角三角尺按如图所示放置（其中，，，满足点在上，点在上，，，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】由角的和差可求解的度数，结合平行线的性质可求解的度数，利用三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求解．
【解答】解：，，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，求解的度数是解题的关键．
4．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．①②B．①③C．②D．②④
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：图形①③④均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
图形②能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（3分）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
【解答】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为9，点的坐标为，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
6．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据单项式乘单项式，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项逐项进行计算即可．
【解答】解：．，故本选项错误；
．，故本选项错误；
．，故本选项正确；
．，故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查单项式乘单项式，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及整式的加减，掌握单项式乘单项式分组，完全平方公式的结构特征，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是正确判断的前提．
7．（3分）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是元，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为元，则科普类图书平均每本的价格为元，根据题意可得等量关系：学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，
【解答】解：设学校购买文学类图书平均每本书的价格是元，可得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
8．（3分）如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到
△，则图中阴影部分的面积是
A ．B ．C ．D ．
【分析】根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到，，再根据旋转的性质得，，而阴影部分的面积，然后根据扇形面积公式进行计算 ．
【解答】解：，，，
，，
绕点顺时针旋转得到△，
，，
阴影部分的面积
．
故选：．
【点评】本题考查了扇形面积公式： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形；扇形面积计算公式： 设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其 中为扇形的弧长） ．
9．（3分）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是
A．B．C．D．
【分析】由抛物线开口方向，抛物线与轴交点位置可判断选项，由对称轴为直线可判断选项，由抛物线对称性可得抛物线与轴的另一交点坐标，从而判断选项，由抛物线与轴有2个交点可判断选项．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
对称轴是直线，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，选项错误．
抛物线对称轴为直线，
，，
，选项错误．
抛物线对称轴为直线，抛物线经过，
抛物线经过，
时，，选项正确．
二次函数的图象经过，
，
，
，
，
选项错误．
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10．（3分）如图，矩形中，，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为
A．6B．8C．D．10
【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值．
【解答】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以2为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于，
此时的值最小，最小值为的长；
，，
，
，
，
的最小值为8，
故选：．
【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二.填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）函数中自变量的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．
【解答】解：若使函数有意义，
，
即．
故答案为．
【点评】本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值是 8 ．
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于的方程，求出的值即可．
【解答】解：在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，
，
解得．
故答案为：8．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．
13．（4分）已知一个多边形每一个外角都是，则它是 六 边形．
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，即可求得这个多边形的边数．
【解答】解：一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，
这个多边形的边数是：．
所以这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【点评】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
14．（4分）如果，那么代数式的值为 ．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
，
当时，原式，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（4分）在直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△；第二次旋转后得到△，，以此类推，则点的坐标为 ， ．
【分析】每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴上，故在轴正半轴上，且，由此求解即可．
【解答】解：（1）点坐标为，
，
第一次旋转后，点在第一象限，；
第二次旋转后，点在第二象限，；
第三次旋转后，点在轴负半轴，；
第四次旋转后，点在第三象限，；
第五次旋转后，点在第四象限，；
第六次旋转后，点在轴正半轴，；
如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴上，
，
循环了337次，点在轴正半轴上，且，
．
【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，旋转变换，涉及等边三角形、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够根据题意找到规律．
16．（4分）已知实数，满足，且，，则的取值范围 ．
【分析】根据，可以得到与的关系，根据，，可以得到的取值范围，从而可以得到的取值范围．
【解答】解：，且，，
，
解得，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是利用数学中转化的数学思想将的取值范围转为求关于的代数式的取值范围．
17．（4分）如图，在菱形中，，将菱形沿直线翻折，点点处，若，，则的长为 ．
【分析】过作于，于，由菱形的性质得，，，进而求得，由折叠的性质得，，，继而证得，根据平角的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判定证得，由含30度直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由勾股定理求得，再根据勾股定理即可求出．
【解答】解：过作于，过作于，
四边形是菱形，，
，，
，
由折叠的性质得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：．
【分析】根据零指数幂的计算法则、二次根式化简、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是关键．
19．（6分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
【分析】（1）用最喜欢冰球的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，再根据喜欢冰壶的学生所占的百分比可得喜欢冰壶的学生人数；
（2）先算出喜欢“高山滑雪”的人数所占的百分比，再用乘百分比可得圆心角；
（3）用总人数乘以最喜欢短道速滑的学生所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：（名，（名，
答：参加这次调查的学生总人数是40名，选择“冰壶”的学生人数是12名；
（2），
答：“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数是；
（3）根据题意得：（名，
答：最喜欢“短道速滑”的学生有540名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．（6分）如图，在中，，．
（1）在线段上求作一点，使得；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的值．
【分析】（1）以为圆心，为半径画弧交于即可；
（2）由，得，则，再根据，得，代入可得的方程，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2），
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得：（负值舍去），
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程是解题，等腰三角形的性质与判定等知识，准确画出图形是解题的关键．
四.解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半铀上，且四边形是平行四边形．
（1）求，的值．
（2）若点也在反比例函数的图象上，求点的坐标．
【分析】（1）将点坐标代入直线解析式，求出；再将点代入直线解析式求出，最后将点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）根据是平行四边形，所以将点按照到的平移方向和平移的距离进行平移即可得到点坐标，代入反比例函数解析式即可．
【解答】解：（1）把点代入，得，
直线的表达式为，
把点代入，得，
，
将代入反比例函数的解析式，
解得，
，．
（2）由（1）知点向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点，
四边形是平行四边形，
点向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点，
，
，
将点坐标代入，
，
，
．
【点评】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，利用平行四边形的性质用点坐标表示点坐标是解决本题的关键．
22．（8分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量（个与销售单价（元之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量（个与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为（元，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设函数关系式为，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
（2）由每天销售利润每个遮阳伞的利润销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设函数关系式为，
由题意可得：，
解得：，
函数关系式为；
（2）由题意可得：，
，
当时，有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式，求出函数关系式是解题的关键．
23．（8分）如图，四边形内接于，为的直径，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，且．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的长．
【分析】（1）由圆周角的定理可得，由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得结论；
（2）通过证明，可得，可求的长，即可求解．
【解答】（1）证明：是直径，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，证明三角形全等是解题的关键．
五.解答题（三）（本题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，点为正方形边上一动点（不与、重合）．连接交于点，经过点，分别与、交于点、，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【分析】（1）过点作于点，交，于点，，得四边形是矩形，证明，然后根据三角形内角和定理即可解决问题；
（2）证明，可得，，然后证明，利用线段的差即可解决问题；
（3）先证明，可得，所以，然后证明，可得，所以，利用等腰三角形的性质由，可得的长，进而可以求的长．
【解答】（1）证明：如图，过点作于点，交，于点，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：是正方形的对角线，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
的长为2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质求线段的长是解题的关键．
25．（10分）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，．
（1）若点的坐标为．
①求抛物线的表达式；
②点在第一象限的抛物线上运动，直线交于点，过点作轴的垂线交于点，当为以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．
（2）抛物线的顶点在某个关于的函数图象上运动，请直接写出该函数的解析式．
【分析】（1）①用待定系数法即可求解；
②分两种情况讨论：①，易证，所以，即，从而可解出的坐标和的坐标，即可求解； ②，，在中，可求长度，进而求出坐标；
（2）抛物线的对称轴为，当时，，进而求解．
【解答】解：（1）①将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的表达式为：；
②由、的坐标得，直线的表达式为：，
设与轴的交点为，，则，
．
若，则，
，
，
即，
解得或（舍去），
此时，．
点的纵坐标为，
，
解得：，
点的坐标为，；
若，过点作轴于点，
，
，，
，
又，，，
，
，
，
，
，
，
，
轴，
轴，
，
，
，
，
，
；
综上所述，点的坐标为，或；
（2）抛物线的对称轴为，
当时，，
即顶点在上运动，
即函数的表达式为：．
【点评】本题是二次函数综合题，考查两点式求抛物线解析式，二次函数的最值，三角形相似的性质与判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握二次函数的性质以及分类讨论思想的运用．