人教版高一数学暑假讲义1.5 全称量词与存在量词（习题作业）（2份打包，原卷版+教师版）

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1.5 全称量词与存在量词

一、单选题
1．命题“，．”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题，
所以命题“，．”的否定是“，”.
故选：B
2．命题“，”的否定为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.
【详解】根据全称命题的否定可得，命题“，”的否定为
“，”.
故选：C
3．命题“”的否定为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为.
故选：A
4．命题“，”的否定形式是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.
【详解】特称命题的否定是全称命题，
命题“，”的否定形式是，.
故选：A.
5．命题，，则命题的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】解：因为命题，是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 ，，
故选：B
6．已知命题，则为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题，则为.
故选：C
7．若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m的范围即可．
【详解】解：由题意得，使得，
当，符合题意；
当，只要即可，
解得，
综上：．
故选：C．
8．已知，若是真命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.
【详解】因为是真命题，
所以方程有实数根，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
故选：B.
9．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.
【详解】由题意可知，命题“”是假命题
则该命题的否定“”是真命题，
所以，解得；
故选：D.
10．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.
【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，等价于“任意的，使得等式成立”是真命题，又因为，所以，要使，则需或.
所以实数的取值范围为.
故选：D.
11．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将命题“，”为假命题转化“，”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解.
【详解】命题“，”为假命题，
即命题“，”为真命题，
则，解得，
对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误；
对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误；
对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确；
对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误.
故选：C.
12．若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】对任意的，，则，
因为，则，则，.
故选：C.

二、多选题
13．下列说法正确的是（    ）
A．
B．“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据元素和集合的关系判断A；根据全称量词命题的否定可判断B；根据充分条件以及必要条件的判断可判断C，D.
【详解】对于A，的元素是，故，正确；
对于B，“，”为全称量词命题，它的否定是“，”，B错误；
对于C，由，可得，则成立，
当时，比如取，推不出成立，
故“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，当时，若，则不成立，
当成立时，则，则，故，
故“”是“”的必要不充分条件，D正确，
故选：ACD
14．下列命题中，是真命题的有（    ）
A．命题“”是“”的充分不必要条件
B．命题，则
C．命题“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断A，C，D；根据全称命题的否定形式可判断B.
【详解】对于A，当时，成立，
反之，当时，解得或，不一定是，
故“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于B，命题为全称命题，其否定为特称命题，
即，B正确；
对于C，推不出，因为时，，
当时，一定有且，
故命题“”是“”的必要不充分条件，C错误；
对于D，解可得或，
故时，一定有成立，
当时，也可能是，不一定是，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确，
故选：ABD
15．下列说法正确的是（    ）
A．命题，则命题的否定是
B．全称命题“”是真命题.
C．命题“”是假命题
D．集合.集合，若，则的取值范围是
【答案】AC
【分析】A选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B选项，举出反例；C选项，由根的判别式得到恒成立，C错误；D选项，根据交集结果得到，分和两种情况，分类讨论，得到的取值范围.
【详解】A选项，命题的否定是，A正确；
B选项，当时，，故B错误；
C选项，对于，，故对任意的，，C正确；
D选项，因为，所以，又，
当时，若，则，解得，此时，满足，
若，则，解得，此时，不满足，
当时，，解得，
综上，的取值范围为或，D错误.
故选：AC
16．下列命题为真命题的是（    ）
A．若，则；
B．若，则；
C．使不等式成立的一个充分不必要条件是或
D．若是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相等”的充分不必要条件
【答案】BC
【分析】A选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；
B选项：由不等式的同向可乘性可以判断；
C选项：通过检验就可以判断；
D选项：通过分析不等式以及充分不必要条件就可以判断.
【详解】A选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题:,.则:,，A是假命题；
B选项：，
，，，B是真命题；
C选项：若或，则成立，故满足充分性；当时，或，不满足必要性，C是真命题；
D选项：设，则
所以不等式等价于.
若，此时等价于，此时两者解集相等；
若，此时等价于，此时两者解集不相等；
若不等式和解集为，则两个不等式的系数没有关系.
所以“”是“不等式和解集相等”的既不充分也不必要条件，D是假命题.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：解决本题，一是理解命题，二是要怎么样处理充分性以及必要性，三是要推理正确.
17．下列命题是真命题的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【分析】利用绝对值的性质可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；取，可判断C选项的正误；取，可判断D选项的正误.
【详解】对于A：当时，；当时，；
综上所述：，，故A正确；
对于B：当时，满足，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：当时，，故D正确；
故选：ABD．
18．已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（    ）
A．，且 B．，
C．，或 D．，且
【答案】AB
【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.
【详解】全集为，，是的非空子集且，则，，的关系用韦恩图表示如图，

观察图形知，，且，A正确；
因，必有，，B正确；
若Ü，则，此时，，即且，C不正确；
因，则不存在满足且，D不正确.
故选：AB
19．下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.
【详解】因为关于的不等式对恒成立，
当时，原不等式即为恒成立；
当时，不等式对恒成立，
可得，即，解得：.
当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：的取值范围为：.
所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有
或.
故选：BC.
20．下列说法正确的是（    ）
A．“，使得成立”的否定是“，有不成立”
B．“，使得成立”的否定是“，有成立”
C．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是
D．已知a，，则“”是“”成立的充要条件
【答案】BC
【分析】对四个选项一一验证：对于A、B：利用存在命题的否定直接判断；对于C：先求出，即可判断；对于D：由时，无意义.故D错误即可判断.
【详解】对于A、B：因为“，使得成立”的否定是“，有成立”，所以A错误，B正确；
对于C：命题“，”为真命题，则，所以是一个充分不必要条件.故C正确；
对于D：当时，无意义.故D错误.
故选：BC

三、填空题
21．请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题：_____________.
【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方
【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可.
【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方，
故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方
22．命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是_______．
【答案】所有的正整数，它的算术平方根不是正整数
【分析】根据特称命题的否定即可得.
【详解】解：命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是：“所有的正整数，它的算术平方根不是正整数”.
故答案为：所有的正整数，它的算术平方根不是正整数.
23．“所有的自然数都大于零”的否定是_______．
【答案】存在一个自然数小于或等于零
【分析】根据全称命题的否定形式为对应的特称命题进行改写.
【详解】替换量词并否定结论，“所有的自然数都大于零”的否定是“存在一个自然数小于或等于零”．
故答案为：存在一个自然数小于或等于零
24．将“方程无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．
【答案】
【分析】根据全称量词命题的形式改写即可．
【详解】由已知，“方程无实根”是全称量词命题，
故可改写为：，
故答案为：．
25．命题“，”的否定是______．
【答案】，
【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故答案为：，

四、解答题
26．已知命题，命题为真命题时实数的取值集合为．
(1)求集合；
(2)设集合，若是的真子集，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】(1)命题为真命题，即方程有根，则，解出即可.
(2)因为是的真子集，列不等式组解出即可.
【详解】（1）由命题为真命题，得，得

（2）是的真子集．
，解得．
27．写出下列命题的否定，并判断它们的真假:
(1)有些实数是无限不循环小数;
(2)三个连续整数的乘积能被6整除;
(3)三角形不都是中心对称图形;
(4)至少有一个整数是4的倍数.
【答案】(1)所有实数都不是无限不循环小数，假命题
(2)存在三个连续整数的乘积不能被6整除，假命题
(3)任意一个三角形都是中心对称图形，假命题
(4)任意整数不是4的倍数，真命题

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，以及命题的形式直接写出命题的否定，并判断真假即可.
【详解】（1）命题的否定为：“所有实数都不是无限不循环小数”，
因为实数是无限不循环小数，所以其为假命题；
（2）命题的否定为：“存在三个连续整数的乘积不能被6整除”，
因为三个连续整数中必有一个能被2整除，一个能被3整除，则三个连续整数的乘积一定能被6整除，所以其为假命题；
（3）命题的否定为：“任意一个三角形都是中心对称图形”，
因为等边三角形不是中心对称图形，所以其为假命题；
（4）命题的否定为：“任意整数不是4的倍数”，
当时，不是4的倍数；当时，不是4的倍数，所以其为真命题.
28．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)，使；
(3)，有.
【答案】(1)答案见解析;
(2)答案见解析;
(3)答案见解析.

【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,
对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;
对(2)举例说明不成立;
对(3)举例说明成立.
【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
（2）命题的否定：，有．因为当时， ，所以“，有”是假命题．
（3）命题的否定：，使．因为当时，，所以“，使”是真命题．
29．写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形.
【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.
(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题
(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题
(4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.

【分析】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.
【详解】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.
（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.
（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.
（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.
30．已知全集，集合，集合．
(1)若，求实数的范围；
(2)若，，使得，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）可先求出，即时的范围，即可求解；
（2）先得到，再列出不等式，即可求解
【详解】（1）若，则，
当时，则，，
当时，则，则不存在，
综上，，，实数的范围为．
（2），，使得，
，且，
则，，
实数的范围为．
31．已知集合，，且.
(1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据命题p为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围；
（2）根据命题q为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围.
【详解】（1）命题p：“，”是真命题，故，
所以，解得，
故m的取值范围是.
（2）由于命题q为真命题，则，
因为，所以，所以,
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得，
故时，，
故m的取值范围为.
32．已知命题“满足，使”，
(1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围.
(2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围.
【答案】(1)或；
(2)

【分析】（1）先求出命题为真和假时的取值范围，由此可得命题都为假命题时的取值范围，进而即可求解；
（2）记，由题意可得Ü，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；
【详解】（1）命题“满足，使”，为真命题时，
，令，则，
所以，
所以命题为假时，则或，
命题“”，为真命题时，
，解得或，
所以命题为假时，则，
又因为命题都为假命题时，，
即，
所以命题中至少一个为真时，实数的范围是或；
（2）由（1）可知：命题为真命题时，，
记
因为是的充分不必要条件，
所以Ü，
当即，也即时，满足条件；
当时，
，解得；
综上可知：实数的范围是
33．已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；
（2）根据题意先求得Ü，再分情况求得的范围即可．
【详解】（1）解：命题的否命题为，为真，
且，
解得．
∴．
（2）解：由解得
，
若“”是“”的必要不充分条件，
则Ü，
∴当时，即，
解得；
当时，，
解得，
综上：或．
34．已知命题p：“，使不等式成立”是假命题．
(1)求实数m的取值集合A；
(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；
（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.
【详解】（1）命题p：“，使不等式成立”是假命题，
则“，使不等式恒成立”是真命题，
故，解得，
故，即.
（2）由于命题：，整理得：，
由小问1得：，
由于是的充分不必要条件，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
35．已知命题：“，使得”为真命题．
(1)求实数m的取值的集合A；
(2)设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)．

【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；
（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）命题“，使得”为真命题，
所以，
即，
解之得或，
所以实数m的取值的集合或；；
（2）不等式的解集为，
因为是的必要不充分条件，所以Ü，
则或，
所以或，
故实数a的取值范围为．