人教版高一数学暑假讲义1.5 全称量词与存在量词（讲义）（2份打包，原卷版+教师版）

1.5 全称量词与存在量词

1. 全称量词与全称量词命题

（1）全称量词

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示

（2）全称量词命题

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题

（3）全称量词命题的符号及记法

记作：，

读作：对任意属于，有成立

考点1. 判断全称量词命题的真假

例1判断下列全称量词命题的真假：

（1）每个四边形的内角和都是360°；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）是无理数}，是无理数.

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题

【分析】

对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.

【详解】

（1）真命题.

连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，

而一个三角形的内角和180°，

所以四边形的内角和都是360°是真命题；

（2）假命题.

因为负数没有算术平方根，

所以任何实数都有算术平方根是假命题；

（3）假命题，

因为是无理数，是有理数，

所以是无理数}，是无理数是假命题.

【点睛】

本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.

例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：

（1）所有实数的平方都是正数；

（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．

【答案】（1），假命题；（2），真命题

【分析】

(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.

(2) 易得该命题为全称命题,再直接判定即可.

【详解】

(1)命题为：.

易得当时,故原命题为假命题.

(2)命题为：,易得为真命题.

【点睛】

本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.

变式2-1

判断下列全称量词命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2），；

（3）对任意一个无理数x，也是无理数.

【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题

【分析】

对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.

【详解】

（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.

（2），总有，因而.所以全称量词命题“，”是真命题.

（3）是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，也是无理数”是假命题.

【点睛】

本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.

变式2-2

判断下列全称量词命题的真假:

(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;

(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

(3)对任意负数的平方是正数;

(4)梯形的对角线相等

【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.

【分析】

(1)根据整数的知识判断即可.

(2)根据平面几何的知识判断即可.

(3)根据平方的性质判断即可.

(4)举出反例判断即可.

【详解】

(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.

(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.

(3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题

(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.

2. 存在量词与存在量词命题

（1）存在量词

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示

（2）存在量词命题

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题

（3）存在量词命题的符号及记法

记法：，

读法：存在中的元素，使得成立

考点2. 判断存在量词命题的真假

例3判断下列存在量词命题的真假:

(1)有些实数是无限不循环小数;

(2)存在一个三角形不是等腰三角形;

(3)有些菱形是正方形;

(4)至少有一个整数是4的倍数.

【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.

【分析】

(1)根据实数的定义分析即可.

(2)根据等腰三角形的定义分析即可.

(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.

(4)利用反证法证明是假命题即可.

【详解】

(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如等.故为真命题.

(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.

(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.

(4)假设有一个整数是4的倍数,则因为能被4整除,故为偶数,故为奇数,故为奇数.设,则,故除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数使得是4的倍数.故为假命题.

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.

变式3-1

判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．

（1）存在一个质数是偶数；

（2）有一个实数，使．

【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析

【分析】

（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；

（2）根据，可判断命题．

【详解】

（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．

（2）由于，所以原命题是假命题．

【点睛】

本题考查特称命题的判断，属于基础题.

例4试判断以下命题的真假：

（1）；

（2），

（3）；

（4）．

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题

【分析】

（1）根据不等式的性质判断即可；

（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；

（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；

（4）解方程即可判断；

【详解】

解：（1）由于，都有，因而有，即．

因此命题“”是真命题．

（2）由于，当时，不成立．因此命题“”是假命题．

（3）由于，当时，能使成立．因此命题“”是真命题．

（4）由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“”是假命题．

【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.

变式4-1

判断下列命题的真假：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题

【分析】

（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；

（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；

（3）通过解方程可判断；

（4）根据不等式的性质可证明；

【详解】

解：（1）因为时，成立，所以“”是真命题．

（2）因为时，不成立，所以“”是假命题．

（3）因为使成立的数只有与，但它们都不是有理数，

所以“”是假命题．

（4）因为对任意实数x，有，则，即对任意实数，都有成立，

所以“”是真命题．

【点睛】

本题考查命题真假判断，属于基础题.

3. 全称量词命题和存在量词命题的否定

（1）全称量词命题的否定

全称量词命题：，

否定为：，

（2）存在量词命题的否定

存在量词命题：，

否定为：，

考点3. 全称量词命题和存在量词命题的否定

例5命题“”的否定是（    ）

A． 

B．

C． 

D．

【答案】A

【分析】

根据全称命题的否定为特称命题即可判断；

【详解】

解：命题，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，

故其否定为

故选：A

【点睛】

本题考查全称命题的否定，属于基础题.

变式5-1

命题“”的否定是（    ）

A． 

B．

C． 

D．

【答案】B

【分析】

根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.

【详解】

“全称命题”的否定一定是“特称命题”，

命题“”的否定是，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.

变式5-2

命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是

A．所有不能被2整除的数都是偶数

B．所有能被2整除的数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的数是偶数

D．存在一个能被2整除的数不是偶数

【答案】D

试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．

考点：命题的否定．

例6命题“，”的否定是（    ）

A．， 

B．，

C．， 

D．，

【答案】D

【分析】

特称命题的否定是全称命题

【详解】

因为特称命题的否定是全称命题

所以命题“，”的否定是

“，”

故选：D

【点睛】

本题考查的是特称命题的否定，较简单.

变式6-1

已知命题，则为（ ）

A． 

B． 

C． 

D．

【答案】A

【分析】

【详解】

写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果

所以命题的否定为

故选： A

点评：掌握命题的改写方法

变式6-2

若命题，则命题的否定为（    ）

A． 

B．

C． 

D．

【答案】A

【分析】

利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.

【详解】

命题为存在性命题（特称命题），其否定为：.

故选：A.

【点睛】

全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.

变式6-3

写出下列各题中的：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【分析】

（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。

（2）全称量词变为特称量词，大于等于变小于得到命题的否定。

（3）全称量词变为特称量词，大于变小于等于得到命题的否定。

（4）特称量词变为全称量词，小于变大于等于得到命题的否定。

【详解】

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

【点睛】

本题考查了命题的否定，注意全称命题和特称命题的变化.

考点4. 全称量词命题和存在量词命题的综合问题

例7是否存在整数，使得命题“，”是真命题？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】故存在整数m=0或m=1，使得命题是真命题

【分析】

【详解】

试题分析：利用全称命题为真命题，建立关于参数的条件不等式，即可求出m的值．

解：假设存在整数m，使得命题是真命题．

由于对于∀x∈R，x2+x+1=（x+）2+≥，

因此只需．

故存在整数m=0或m=1，使得命题是真命题．

点评：本题主要考查全称命题的为真命题的等价条件，要求熟练掌握特称命题和全称命题真假判断的方法和技巧．

例8已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围．

【答案】

【分析】

先判断原命题的真假，根据二次函数的在区间上存在着使函数值大于零的，列出不等式求解出参数的范围即可.

【详解】

由题意知，命题p为真命题，即在上有解，

令，所以，又因为最大值在或时取到，

∴只需或时，即可，

∴或，解得或，

即．

故实数a的取值范围为．

变式8-1

命题：任意, -成立；命题：存在, +成立.

（1）若命题为真命题,求实数的取值范围;

（2）若命题为假命题,求实数的取值范围;

（3）若命题、至少有一个为真命题,求实数的取值范围;

【答案】（1）

（2）

（3）或

【分析】

（1）当命题为真命题时,；

（2）当命题为假命题时,；

（3）若命题、至少有一个为真命题,先求出为真命题时的范围,再求与（1）中的范围的并集即可

【详解】

解：（1）由题,,即,

（2）由题,,即,

（3）当是真命题时,由（2）, 或

若命题、至少有一个为真命题,由（1）,则需满足或或

或

【点睛】

本题考查由存在性命题与全称命题真假求参问题,考查二次函数恒成立问题

变式8-2

命题存在实数，使得方程成立。若命题为真命题，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】

由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况即可确定实数a的取值范围.

【详解】

当时，方程为，显然有实数根，满足题意；

当时，由题意可得有实根，得，解得，且.

综上可得，即实数a的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查由命题的真假确定参数取值范围的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

变式8-3

命题存在，使得．若命题为假命题，求实数的取值范围．

【答案】

【分析】

先写出非P命题: 任意的，都有,再根据命题P为假命题,得到非P命题为真命题,利用不等式恒成立,转化为最小值成立可得.

【详解】

命题为假命题，则：任意的，都有为真命题．由此可得，即．所以实数的取值范围是．

【点睛】

本题考查了命题的否定,一般地,可以将命题的真假问题转化为它的非P的真假来做,属基础题.

变式8-4

已知命题“，使”为真命题，求的取值范围．

【答案】

【分析】

求出x∈[1，2]时，x2+2x的最大值，然后求出a的范围即可．

【详解】

因为命题“，使”为真命题，

时，的最大值为8，

所以时，命题“，使”为真命题．

所以的取值范围：．

【点睛】

本题考查特称命题的真假的应用，考查了函数的最值，属于基础题．