2023年江西省宜春重点中学中考数学一模试卷-普通用卷

2023年江西省宜春重点中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  有理数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  用一张宽为的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图，若弦图的大正方形的边长为，中间的小正方形面积为，请探究与之间是什么函数关系(    )

A. 一次函数 B. 二次函数 C. 反比例函数 D. 其它函数

5.  用绘图软件绘制出函数的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对，大小的判断，正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

6.  若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”现将抛物线：向右平移个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  因式分解： ______ ．

8.  已知，是一元二次方程的两根，则 ______ ．

9.  若正方形的边长为，则其外接圆的半径是______ ．

10.  若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围是______ ．

11.  如图，矩形中，，，矩形绕它的对称中心旋转一周，边扫过的面积是______．

12.  如图，矩形中，，，点是边的中点，点在边上运动，点为的中点；当为等腰三角形时，则的长为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：
解不等式组：

14.  本小题分
如图，点为▱的边延长线上一点，与交于点，与交于点．
求证：∽；
若，，求的长度．

15.  本小题分
小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着楼梯，客厅，走廊三盏电灯，其中走廊的灯已坏对应的开关闭合也没有亮．
若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是______事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是______事件填“不可能”或“必然”或“随机”；
若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．

16.  本小题分
如图，点是以为直径的半圆内任意一点，连接，，点在上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
在图中，画出的中线；
在图中，画出的角平分线．
 

17.  本小题分
为庆祝“元旦”，光明学校统一组织合唱比赛，七、八年级共人其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足人准备统一购买服装参加比赛．如表是某服装厂给出服装的价格表：

如果两个年级分别单独购买服装一共应付元，求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；
如果七年级参加合唱比赛的学生中，有名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案．

18.  本小题分
如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．

19.  本小题分
如图是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图、图是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．
如图，当支撑点在水平线上时，支撑点与前轮轴心之间的距离的长；
如图，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．参考数据：，，

 

20.  本小题分
如图，是的直径，点在直径上与，不重合，，且，连接，与交于点，在上取一点，使．
求证：是的切线；
若是的中点，，求的长．

21.  本小题分
为进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了名参赛学生的成绩，已知抽查得到的八年级的数据如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、分数分以上、不含分为优秀
为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了如表和直方图：

九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如表：

根据题目信息填空：        ，        ，        ；补全八年级的频数分布直方图；
八年级小宇和九年级小乐的分数都为分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由；
若九年级学生成绩的优秀率是八年级的两倍，且九年级共有人参加参赛，请估计九年级获得优秀的学生人数．

22.  本小题分
在暑假课后延时服务进行时，某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如表．请补充完整．
自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：

其中，______．
根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分．请画出该函数图象的另一部分．
观察函数图象，写出两条函数的性质．
进一步探究函数图象发现：
函数图象与轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根．
方程有______个实数根．
关于的方程有个实数根时，的取值范围是______．

23.  本小题分
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”例如图，图，图中，，是的中线，，垂足为像这样的三角形均为“中垂三角形”设，，．
特例探索
如图，当，时，______，______；
如图，当，时，求和的值．
归纳证明
请你观察中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你发现的关系式．
利用中的结论，解答下列问题：
在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图所示，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得如下图形：

故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：设图外面正方形为正方形，里面正方形为正方形，如图：

四边形是边长为的正方形，
，，
四边形为正方形，
，，，
在与中，
，
≌，
，，
，
与之间是二次函数关系，
故选：．
先根据正方形性质可得，，再由同角的余角相等得到，就可以根据证明≌，得出，，再根据勾股定理，求出，即可得到与之间的函数关系式，即可解答．
本题考查正方形的性质、二次函数在实际生活中的应用，是中考高频考点，解题关键是证明≌．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，，
；
当时，函数值不存在，
，
；
故选：．
由图象可知，当时，，可知；时，函数值不存在，则．
本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．
将代入平移前抛物线解析式求得的值；然后将代入平移后抛物线解析式求得的值．
【解答】
解：根据题意，将代入抛物线：，
得到：，
所以“平衡点”为．
将抛物线：向右平移个单位得到新抛物线：．
将代入新抛物线：，得．
解得或，
，
．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：利用根与系数的关系可知：，
故答案为：．
利用根与系数的关系求解即可．
本题考查一元二次方程中根与系数的关系：，关键是要记住公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：过点作于点，

圆是四边形的外接圆，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
．
故其半径等于．
故答案为：．
根据垂径定理，正方形的性质，构造直角三角形，用勾股定理解题即可．
本题考查多边形与圆，垂径定理，构造直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
由题意得：中恰有个整数解为、，
，
故答案为：．
先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数列不等式组求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
矩形中，，，
，则，
，，
，
，
故矩形绕它的对称中心旋转一周，边扫过的面积为以为半径和为半径组成的圆环面积，
故边扫过的面积是：
故答案为：．
直接利用矩形的性质结合旋转的性质得出边扫过的面积为以为半径和为半径组成的圆环面积，进而得出答案．
此题主要考查了中心对称、矩形的性质、旋转的性质，正确得出边扫过的面积是圆环面积是解题关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：点是边的中点，点为的中点
，，
如图，当时，连接，

，
是直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
当时，
，
，
当时，如图，连接，，

，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为或或，
故答案为：或或．
分三种情况讨论，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式

；
，
解得，
解得．
故不等式组的解集为． 

【解析】计算零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，再算乘法，最后合并即可求解；
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．同时考查了实数的运算．
 

14.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
∽，∽，
∽；

解：设，则，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，，，
，
解得：． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，根据相似三角形的判定定理推出即可；
根据相似三角形的判定定理得出∽，根据相似三角形的性质定理得出比例式，即可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能灵活运用平行四边形的性质和相似三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
 

15.【答案】随机  不可能 

【解析】解：根据题意可知：
小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件，
小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件．
故答案为：随机，不可能；
树状图如下：

由树状图可知：
共有种等可能的结果，
其中“客厅和楼梯灯都亮了”的有种，
所以．
根据“不可能”或“必然”或“随机”事件定义即可填空；
根据题意画树状图法即可求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．
本题考查了列表法与树状图法、随机事件，解决本题的关键是准确画出树状图．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】连接、，它们相交于点，则点为的重心，连接并延长交于点，则满足条件；
延长交半圆于点，延长交于点，交半圆于点，连接交于点，利用为的中位线得到，而由为直径得到，所以，则，所以，则满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和垂径定理．
 

17.【答案】解：设七年级人，八年级人参加演出，
根据题意得：，
解得：，
人，
则七年级人，八年级人参加演出；
根据七年级有名同学被抽调去参加绘画比赛不能参加文艺演出，可得七年级人，八年级人参加比赛，
如果各自单独买演出服需要花费为：元，
如果买件演出服花费为：元，
，
两个年级的购买服装方案是买件演出服． 

【解析】设七年级人，八年级人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
求出抽调后七八年级的人数，根据表格中的优惠方案，得出最省钱的方案即可．
此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
 

18.【答案】解：将点代入，
，
，
将代入，
，
，
将和代入，
，解得：，
；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
，
，
当、、三点共线时，的周长最小，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
，
． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当、、三点共线时，的周长最小，直线与轴交点即为所求点．
本题考查反比例函数的图象及性质，轴对称的最短路径问题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，过点作于点，
由题意知，
，
．

如图，过点作于，过点作于点，
由题意知四边形是矩形，
，
在中，，，
在中，，
由勾股定理可得，
则，
原来，
，
变形前后两轴心的长度增加了． 

【解析】如图，过点作于点，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论；
如图，过点作于，过点作于点，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用
 

20.【答案】证明：连接，如图所示．
，
．
，
．
，
，
，
，
．
为的半径，
是的切线．
解：连接，如图所示．
是的直径，
．
是的中点，
，
．
，，
，
由勾股定理得：．
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，易证，由等腰三角形的性质得，，推出，则，即可得出结论；
连接，则，求出，，，证明∽，得出，求出，由即可得出结果．
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；
熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：根据频数统计的方法可得，
成绩在的有人，即，
成绩在的有人，即，
八年级名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为分，因此中位数是，即，
补全图形如下：

故答案为：，，；
八年级小宇的排名更靠前．理由如下：
因为八年级的中位数是，九年级的中位数是，
所以八年级小宇和九年级小乐的分数都为分，小宇的排名更靠前．


人．
故估计该校此次线上知识竞赛成绩优秀的总人数是人．
根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到、、、的值；
根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
分别求出该校八、九年级线上知识竞赛成绩优秀的人数，再相加即可求解．
本题考查中位数、频数分布表以及样本估计总体，理解中位数、频数统计的方法是解决问题的前提．
 

22.【答案】        或 

【解析】解：当时，，
，
故答案为：．
根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．

观察函数图象，可得出函数图象关于轴对称，函数有最小值为．
观察函数图象可知：当、时，，
该函数图象与轴有个交点，
即对应的方程有个实数根．
故答案为：；．
观察函数图象可知：函数的图象与只有个交点．
故答案为：．
观察图象可知：当时，直线与函数的图象有个交点，
当时，直线与函数的图象有个交点，
故答案为：或．
将代入函数解析式求解．
通过表格中数据描点，连线作出图象．
由图象可得函数的对称性及增减性．
由图象可得函数图象与轴的交点个数．
时，，由图象可得直线与函数图象有个交点．
结合图象，求出函数图象与直线有个交点时的取值范围．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程的关系，通过数形结合求解．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图、、、，连接，则是的中位线，

则，，∽，
，
在图中，，
由得：，
；
同理可得：，；
关系为：，
证明：如图，设：，
则：，，
由得：，，
则；
，，

，则，
同理，，
，
，，
，，
同理：，
则．
在图中，，即可求解；同理可得：，；
，，，，则，即可求解；
证明：，，则，即可求解．
本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中，直接利用的结论是本题的新颖点和突破点．