2023年江西省九江市重点中学四校联考中考数学一模试卷(含解析)

2023年江西省九江市重点中学四校联考中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，绝对值最小的数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列语句正确的是(    )

A. 的立方根是 B. 是的负的立方根
C. 的立方根是 D. 的立方根是

3.  下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，的位置经过怎样的运动和重合(    )

A. 沿翻折
B. 平移
C. 绕点旋转
D. 绕点旋转

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  若、互为相反数，、互为倒数，则的值是______．

8.  有四张正面分别标有数字、、、的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是______ ．

9.  已知是关于的一元一次方程，则值为        ．

10.  如图，小兰想测量南塔的高度，她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高为______

11.  如图，为等腰三角形，是底边上一点，于点，于点，若，，点到的距离为，则______．

12.  如图，等边，点在轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是        ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算下列各题．
；
分解因式：

14.  本小题分
随着地球上的水资日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水西安市某区市民的生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，该地生活用水的费用元与人均生活用水的质量吨之间的关系如图所示请根据图象信息，回答下列问题：
当人均月生活用水不超过吨时，每吨按        元收取费用；
当用水量超过吨时，求生活用水的费用元与人均月生活用水的质量吨之间的函数关系式；
在该地居住的赵叔叔上个月缴水费元，他上个月用了多少吨水？

15.  本小题分
小蕾有某文学名著上册、中册、下册各册，她随机将它们叠放在一起，求从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率．

16.  本小题分
如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架所在直线相交于水箱横断面的圆心，支架与水平线垂直，，，另一根辅助支架，．
求的长度．结果保留根号
求的长度．结果保留一位小数．参考数据：，

17.  本小题分
如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图保留作图痕迹．

请在图中对角线上作一点，使得；
请在图中边上作一点，使得．

18.  本小题分
为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“：文明礼仪，：生态环境，：交通安全，：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

本次随机调查的学生人数是______人；
请你补全条形统计图；
在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角等于______度；
小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．

19.  本小题分
如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
求证：直线是的切线；
若，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．

20.  本小题分
如图，已知反比例函数的图象经过，两点，直线与轴交于点，且点，．
求的值；
求点的坐标；
将直线向上平移个单位，与反比例函数的图象交于点，位于上方，与轴交于点，若，求的值．

21.  本小题分
永佳超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？

22.  本小题分
如图，在正方形中，是对角线的交点，是线段上任一点不与点，重合，过点作，交边于点．
的度数为______．
求证：．
如图，若正方形的边长为，过点作于点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不发生变化，直接写出这个不变的值；若发生变化，请说明理由．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点是抛物线上的任意一点不与点重合，点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分包含端点记为图象．
求抛物线的解析式；
当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为？
将线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程；
当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
绝对值最小的数是，
故选：．
根据绝对值的概念，零指数幂，负整数指数幂，分别求出每个选项中数的绝对值，即可确定答案．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：的立方根是，A错误；
没有负的立方根，B错误；
的立方根是，C正确；
的立方根是，D错误．
故选：．
根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可．
本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数的立方等于，即的三次方等于，那么这个数就叫做的立方根是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看可得到从左往右三列正方形的个数依次为：，，
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：绕点旋转可以与重合．
故选：．
根据图形旋转的性质解答即可．
本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、互为相反数，、互为倒数，
，，



．
故答案为：．
直接利用相反数、倒数的定义得出，，进而得出答案．
此题主要考查了倒数、相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：列树状图得：

由表知，共有种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的有种结果，
所以抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为，
故答案为：．
列树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据一元一次方程的定义得到且，
由原方程，得解得，
，
，
解得．
故答案为：．
根据一元一次方程的定义即可求出答案．
本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则塔高为，
故答案为：．
设，根据等腰直角三角形的性质用表示出，进而求出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，过点作，垂足为，

点到的距离为，
，
，，，，
的面积的面积的面积，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，过点作，垂足为，根据已知可得，然后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
是正三角形，
，
，
又，
，
故答案为：．
根据正三角形的性质以及反比例函数系数的几何意义，得出，即可求出的值．
本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提．
 

13.【答案】解：

；


． 

【解析】先根据绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根、有理数的乘方进行计算，再合并，即可求解；
先提出公因式，再利用完全平方公式解答，即可求解．
本题主要考查了绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，有理数的乘方，多项式的因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：观察图象得：不超过吨，每吨按元收取，
故答案为：；
当时，设与之间的函数关系式为，
把和代入解析式得：，
解得，
与之间的函数关系式为；
，
赵叔叔上个月用水超过吨，
当时，，
解得，
答：赵叔叔上个月用了吨水．
观察图象，不超过吨，每吨按元收取；
设与之间的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式；
把代入中解析式求出即可．
此题考查一次函数的实际运用，结根据题意得出函数解析式是解题的关键．
 

15.【答案】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有种，
所以从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是． 

【解析】画树状图展示所有种等可能的结果数，找出顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

16.【答案】解：，，
，
；

设水箱半径的长度为厘米，则厘米，厘米，
，
，
，
解得：．
． 

【解析】首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在中利用三角函数，求出的长．
首先设出水箱半径的长度为厘米，表示出，的长度，根据直角三角形的性质得到，再代入数计算即可得到答案．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、直角三角形度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求；
如图，点即为所求．
 

【解析】连接交于点，点即为所求；
连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，正多边形和圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
 

18.【答案】解： 
人，
补全条形统计图如图所示：


 
画树状图如图所示：

共有个等可能的结果，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有个，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．
用“”的频数除以所占比例即可得出答案；
求出“”的频数，补全条形统计图即可；
用乘以“”所占的比例即可；
画出树状图，由概率公式即可得出结果．
【解答】
解：本次随机调查的学生人数人；
故答案为：；
见答案；
在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角，
故答案为：；
见答案．  

19.【答案】证明：连接，

是直径，
，则，
，
，
又，
，即，
是半径，
直线是的切线；

解：设，
，
，，
在中，，，
，解得或舍去，
，，
∽，
，则，
在中，，
，，
平分，
，
又，
∽，
，
． 

【解析】连接，先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质结合已知可证得，然后根据切线的判定可证得结论；
设，根据勾股定理求出，再证明∽，然后利用相似三角形的性质得到，再次利用勾股定理求得，，证明∽，得到求解即可．
本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
 

20.【答案】解：反比例函数的图象经过，
，
解得，
的值为；
由知，反比例函数解析式为，
过点作轴于点，过点作轴于点，

，
又，
∽，
，
，
，
又，
，
点的纵坐标为，
又点在反比例函数上，
，
设直线的解析式为，
代入点、点坐标得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
；
过作轴于点，过点作轴于点，

同理可证，∽，
，
，
，
将直线向上平移个单位得到直线，
直线的解析式为，
设，，
，
即，
由得，，
，
联立，解得或舍去，
，
点在直线上，
，
解得，
的值为． 

【解析】用待定系数法求值即可；
过点作轴于点，过点作轴于点，证∽，根据线段比例关系得出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，即可确定点的坐标；
过作轴于点，过点作轴于点，写出将直线平移个单位后的解析式，设出、点的坐标，同证∽，根据比例关系求出和的关系，联立直线和反比例关系式根据韦达定理得出的值，进而确定点的坐标，代入直线的解析式求出的值即可．
本题主要考查反比例函数的性质和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
要求每件盈利不少于元，
应舍去，
故为所求．
答：每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为元． 

【解析】设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据每天的销售利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件商品盈利不少于元，即可确定的值．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
是线段上任一点，点在边上，
，
故答案为：；
证明：如图，过点作，交于点，交于点，

，
，
．
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
≌，
；
解：在点运动的过程中，的长度不发生变化，，
理由：如图，连接，

点是正方形对角线的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
由得，
≌，
，
，是等腰直角三角形，
，
的长为定值．
根据正方形的性质求解即可；
作辅助线，构建全等三角形，利用正方形的性质，根据证明≌可得结论；
如图，连接，通过证明≌，得，则为定值是．
本题是四边形综合题，考查了正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度适中．
 

23.【答案】解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
在中，令，则，
，
，
抛物线的顶点为，
当时，，
或，
当时，图象的最大值为，最小值为，
，
解得或，
时，图象的最大值与最小值的差为；
当时，图象的最大值为，最小值为，
图象的最大值与最小值的差为；
当时，图象的最大值为，最小值为，
，
解得舍去；
当时，图象的最大值为，最小值为，
，
解得或舍去；
综上所述：或时，图象的最大值与最小值的差为；
，，
将线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得，，
线段的两个三等分点坐标为，，
设平移后的抛物线解析式为，
抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，
，
解得，
平移后的抛物线解析式为，其顶点为，
而抛物线的顶点为，
平移前，后抛物线的顶点之间的距离为，
抛物线平移的最短路程为；
当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图：

当时，，此时图象与直线有且只有两个公共点，如图：

当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，
综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
根据点与点的位置，结合图象分类讨论即可；
求出线段的三等分点的坐标，用待定系数法可得抛物线平移后的解析式，从而可得平移前，后两顶点之间的距离，即可得到答案；
直线经过点时，直线与图象有两个交点，再结合图象，确定的取值即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．