高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.2 独立性检验学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.2 独立性检验学案设计，共17页。
4.3.2　独立性检验
(教师独具内容)
课程标准：通过实例，了解2×2列联表的统计意义、独立性检验及其应用．
教学重点：掌握2×2列联表的方法，理解独立性检验的基本思想及实施步骤．
教学难点：1.独立性检验的基本思想和χ2的含义.2.解决独立性检验的简单实际问题.



知识点一　　　2×2列联表
随机事件A与B的样本数据如下表，核心的数据是中间的4个格子，这样的表格通常称为2×2列联表．


A

总计
B
a
b
a＋b

c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d

记n＝a＋b＋c＋d，则由表可知：
(1)事件A发生的概率可估计为P(A)＝；
(2)事件B发生的概率可估计为P(B)＝；
(3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)＝.
知识点二　　　独立性检验
　为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
任意给定一个α(称为显著性水平)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)．若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ23.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”．

1．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是(　　)
A．100个吸烟者中至少有99个患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人一定患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
答案　D
解析　独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，故A错误，C错误，D正确；χ2与概率的含义不同，有99%的把握不能说明有99%的可能，故B错误．故选D.
2．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：
　　　　文化程度与月收入列联表(单位：人)　


月收入2000元以下
月收入2000元及以上
总计
高中文化以上
9
44
53
高中文化及以下
19
30
49
总计
28
74
102

由上表中数据计算得χ2＝≈6.073，则认为“文化程度与月收入有关系”的把握为(　　)
A．1% B．99% C．2.5% D．97.5%
答案　D
解析　由于6.073>5.024，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下，即有97.5%的把握认为“文化程度与月收入有关系”．
3．(多选)下列关于χ2统计量的说法正确的是(　　)
A．可以为负值
B．χ2的值越大，两个事件有关系的把握越大
C．当χ2的值很小时，不能推定两个事件不相关
D．χ2＝
答案　BC
解析　χ2的值不可能为负值，故A错误；易知B正确；χ2的值很小时，只能说两个事件的相关程度低，不能推定两个事件不相关，故C正确；χ2＝
，故D错误．故选BC.
4．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：


喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50

则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示)．
答案　0.5%
解析　χ2＝＝
≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．
5．湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史(无接触史)，无武汉旅行史(无接触史)，有武汉旅行史(有接触史)和无武汉旅行史(有接触史)，统计得到以下相关数据．
(1)请将列联表填写完整：


有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史


27
无武汉旅行史
18


总计
27

54

(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

解　(1)填表如下：


有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史
9
18
27
无武汉旅行史
18
9
27
总计
27
27
54

(2)χ2＝＝6＞5.024，
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系．

　 　 　 　　　　　 　 　　　　 　 　　

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．对于随机事件X与Y的随机变量χ2，下列说法正确的是(　　)
A．χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．χ2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
答案　B
解析　χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．故选B.
2．利用独立性检验对两个随机事件是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(　　)
A．χ2≥6.635 B．χ23.841，说明有95%的把握认为选修统计专业与性别有关，即有5%的把握认为选修统计专业与性别无关，也就是“选修统计课程与性别有关”出错的可能性为5%.
4．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得χ2＝4.236.

α＝P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

参照附表，可得正确的结论是(　　)
A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
答案　A
解析　∵4.236>3.841，∴有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”．故选A.
5．某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，随机抽取了50人进行调查，数据如下表：


喜欢户外运动
不喜欢户外运动
总计
男性
18
9
27
女性
8
15
23
总计
26
24
50

则认为喜欢户外运动与性别有关系的把握大约为(　　)
A．99% B．95%
C．90% D．无充分依据
答案　B
解析　由表中数据得χ2＝≈5.059>3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．
二、填空题
6．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：


文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100

由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？________(填“是”或“否”)．
答案　是
解析　因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
7．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的________倍．
答案　2
解析　公式χ2＝中所有值变为原来的2倍，则＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍．
8．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：


患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
总计
30
75
105

则________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效．
附：χ2＝；

P(χ2≥k)
0.05
0.025
0.010
0.005
k
3.841
5.024
6.635
7.879

答案　能
解析　根据列联表，计算χ2＝＝≈6.109>5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效．
三、解答题
9．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”，下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据：


总成绩好
总成绩不好
合计
数学成绩好
478
a
490
数学成绩不好
399
24
423
合计
b
c
913

(1)计算a，b，c的值；
(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
解　(1)由478＋a＝490，得a＝12.
由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.
由b＋c＝913，得b＝913－36＝877.
(2)计算随机变量χ2＝≈6.233>5.024，
因为P(χ2≥5.024)＝0.025，
所以有97.5%的把握认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．
10．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？


非体育迷
体育迷
合计
男



女

10
55
合计




解　由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25.
“非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：


非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100

将2×2列联表的数据代入公式计算：
χ2＝≈3.030>2.706.
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下可以认为“体育迷”与性别有关．

B级：“四能”提升训练
1．(多选)有两个变量X与Y，其2×2列联表如下所示：

其中a为正整数，若有95%以上的把握认为X与Y之间有关系，则a的值可以为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　BCD
解析　令χ2＝＝3.841，解得a≈7.688或a≈1.543.由题意知χ2＞3.841，所以只要a＞7.688，就有95%以上的把握认为X与Y之间有关系，又a∈N*.故选BCD.
2．甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为t(cm)，相关行业质检部门规定：若t∈(2.9,3.1]，则该零件为优等品；若t∈(2.8,2.9]∪(3.1,3.2]，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据：


(1)设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元．若将频率视为概率，试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望；
(2)对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．
参考公式：χ2＝
参考数据：

P(χ2≥k)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

解　(1)设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，它的分布列为

X
3
1
－1
P
0.8
0.14
0.06

则有E(X)＝3×0.8＋1×0.14＋(－1)×0.06＝2.48.
所以甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元．
(2)由表中数据可知，甲机床优等品40件，非优等品10件；乙机床优等品30件，非优等品20件．
制作2×2列联表如下：


甲机床
乙机床
合计
优等品
40
30
70
非优等品
10
20
30
合计
50
50
100

计算χ2＝＝≈4.762.
考察参考数据并注意到3.841