第19章 矩形菱形与正方形整合提升(含答案) 试卷

这是一份第19章 矩形菱形与正方形整合提升(含答案)，共17页。

专训1　利用特殊四边形的性质巧解折叠问题
名师点金：
四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．
平行四边形的折叠问题
1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．

(第1题)



矩形的折叠问题
2．(中考·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝，求AD和AB的长．

(第2题)








菱形的折叠问题
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连结CF，那么∠BFC的度数是(　　)
A．60° B．70° C．75° D．80°

(第3题)
　　　
(第4题)
正方形的折叠问题
4．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．
5．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.
(1)求证：∠APB＝∠BPH.【导学号：71412046】
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

(第5题)







专训2　利用特殊四边形的性质巧解动点问题
名师点金：
利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．
平行四边形中的动点问题
1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．

(第1题)



矩形中的动点问题
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连结AF，CE.
(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

(第2题)





菱形中的动点问题
3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

(第3题)





正方形中的动点问题
4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

(第4题)


专训3　全章热门考点整合应用
名师点金：
本章内容是中考的必考内容，主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：三个图形，三个技巧．
三个图形
矩形
1．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结AF，CE.
(1)求证：△BEC≌△DFA；
(2)连结AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．

(第1题)



菱形
2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，连结BD，交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系，并给予证明；
(2)求线段BD的长．

(第2题)



正方形
3．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF；
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前图形中的点E之间的距离．

(第3题)



4．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.
(1)求证：AF＝BE.
(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．

(第4题)





三个技巧
解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分的周长．

(第5题)


解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)
6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．

(第6题)



解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0≤t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，且DF＝DC，连结EF.若四边形AEFD为菱形，则t的值为(　　)　

(第7题)
A．5
B．10
C．15
D．20
8．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．

(第8题)





答案






(第1题)
1．解：设AE与BC相交于点F，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.
∵平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2.
∴FC＝FA.
∵F为BC边的中点，BC＝6，
∴AF＝CF＝BF＝×6＝3.
又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.

(第2题)
2．(1)证明：由折叠知A′E＝AE＝EG，BC＝CH.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC.
易得四边形AEA′D是正方形，
∴A′E＝AD.
∴EG＝CH.
(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝，
∴DG＝FG＝AF＝.由勾股定理得DF＝2.
∴AD＝2＋.
如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠3.
由(1)知，AE＝BC.
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△EFA≌△CEB.
∴AF＝BE.
∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋＋＝2＋2.
3．C　点拨：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴BF＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.
4．13　点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连结BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，
∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠1＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝＝13.

(第4题)
5．(1)证明：由折叠知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EBP＝∠EPB.
∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，
即∠BPH＝∠PBC.
又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，
∴∠APB＝∠BPH.
(2)解：△PDH的周长不发生变化．
证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．
由(1)知∠APB＝∠QPB，
又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，
∴△ABP≌△QBP.
∴AP＝QP，AB＝BQ.
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.
∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋CH＝AD＋CD＝8(定值)．

(第5题)









1．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，
∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.
2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．
设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，

(第2题)
在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.
∴AF＝5 cm.
(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连结AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，
∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.
∴5t＝12－4t，解得t＝.
∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.
3．证明：(1)如图①，连结AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.

　(第3题)
(2)如图②，连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.
又∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.
由(1)知∠BCD＝120°.
又∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．

(第4题)
4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠EBF＝∠C＝∠GDH＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.　
∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是正方形．
(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连结BD，DE，BG.设EG与BD交于O点．
∵BE瘙綊DG，
∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD与EG互相平分．∴BO＝OD.
∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．

1．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DA.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA(S.A.S.)．
(2)解：四边形AECF是矩形，理由：
∵AE＝AB，CF＝CD，AB＝CD，　
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CA＝CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
2．解：(1)AC⊥BD.
证明：连结AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE＝120°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝DC，∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AD＝AC＝AB＝BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
(2)由(1)知，四边形ABCD为菱形，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°.
∵BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
∴∠BDE＝30°＋60°＝90°.
∵∠ACE＋∠ACB＝180°，
∴B，C，E三点在一条直线上，
∴BE＝2.
∴BD＝＝＝.
3．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAF＋∠EAD＝90°.
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝∠DEG＝90°.
∴∠EAD＋∠ADE＝90°.
∴∠ADE＝∠BAF.
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝∠DEG＝90°.
∴∠AED＝∠BFA.
在△AED和△BFA中，
∵
∴△AED≌△BFA(A.A.S.)．
∴BF＝AE.
∵AF－AE＝EF，
∴AF－BF＝EF.
(2)解：如图，由题意知将△ABF绕A点旋转得到△ADF′，B与D重合，连结F′E，由(1)易得DE＝AF.

(第3题)
根据题意知：∠F′AE＝90°，DE＝AF＝AF′，
∴∠F′AE＝∠AED＝90°.
即∠F′AE＋∠AED＝180°.
∴AF′∥DE.
∴四边形AEDF′为平行四边形．
又∠AED＝90°，
∴四边形AEDF′是矩形．
∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.
4．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠D＝∠BAE＝90°，
∴∠DAF＋∠BAF＝90°.
∵AF⊥BE，
∴∠ABE＋∠BAF＝90°.
∴∠DAF＝∠ABE.
∴△DAF≌△ABE.
∴AF＝BE.
(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.
5．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为
(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)
＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB
＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB
＝AB＋(FD1＋FC)＋10
＝AB＋(FD＋FC)＋10
＝10＋10＋10＝30.
点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．
6．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
∠BOC＝90°.
∵四边形A′B′C′O是正方形，
∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC.
∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，
即∠BOE＝∠COF.
∴△BOE≌△COF.∴S△BOE＝S△COF.
∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC.
∵S正方形ABCD＝1×1＝1.
∴S△BOC＝S正方形ABCD＝.
∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.
7．B　点拨：因为DF＝DC，DC＝4t cm，所以DF＝2t cm.又因为AE＝2t cm，所以AE＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD为平行四边形．令AE＝AD，则60－4t＝2t.解得t＝10.所以当t＝10时，四边形AEFD为菱形．
8．解：(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，
由勾股定理得AG＝＝＝6，
∴AC＝2AG＝2×6＝12.
∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×12×16＝96.

　(第8题)
(2)OE＋OF的值不发生变化．理由：如图①，连结AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，
所以BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，
即×16×6＝×10·OE＋×10·OF，
解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．
(3)OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：如图②，连结AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，
所以BD·AG＝AB·OE－AD·OF，
即×16×6＝×10·OE－×10·OF，
解得OE－OF＝9.6.