第19章 矩形、菱形与正方形 华东师大版数学八年级下册达标测试卷(含答案)

第19章 矩形、菱形与正方形 达标测试卷

一、选择题(每题3分，共24分)

1．▱ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是(　　)

A．AB＝CD   B．∠B＋∠D＝180°

C．AC＝AD   D．对角线互相垂直

2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为(　　)

A.   B.   C．2   D．3

(第2题)　　    (第3题)

3．如图，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，把矩形OABC放在数轴上，O在原点，OA在正半轴上，把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上，点B的对应点为B′，则点B′表示的实数是(　　)

A．2   B．1   C.   D．－

4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是(　　)

A．3   B.   C．5   D.

(第4题)　  　 (第5题)

5．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(　　)

A．28°   B．52°   C．62°   D．72°

6．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(　　)

A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD

B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD

C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC

7．下列判断错误的是(　　)

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．四个内角都相等的四边形是矩形

C．四条边都相等的四边形是菱形

D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

8．如图，正方形ABCD与等边三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以是(　　)

(第8题)

A．15°   B．165°   C．15°或165°   D．90°

二、填空题(每题4分，共24分)

9．如图，▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，请添加一个条件________，使四边形AECF为菱形．

(第9题)　　             (第10题)

10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠OCD＝56°，则∠EAO＝________．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A的坐标为(1，)，点O为坐标原点，则点B的坐标为____________________．

(第11题)

12．把如图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为________．

(第12题)

13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________．

(第13题)　　　　 (第14题)

14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B，C重合，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值等于________．

三、解答题(15～18题每题8分，19～20题每题10分，共52分)

15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，若BE⊥EF，且∠ABE＋∠CEF＝45°.求证：四边形ABCD是正方形．

(第15题)

16.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C.点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，AE＝GF＝GC.

(1)求证：四边形AEFG是平行四边形；

(2)当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形？请说明理由．

(第16题)

17．如图，在菱形ABCD中，E为边BC的中点，DE与对角线AC交于点M，过点M作MF⊥CD于点F，∠1＝∠2.求证：

(1)DE⊥BC；

(2)AM＝DE＋MF.

(第17题)

18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD.过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连结BF，CF.

(第18题)

(1)求证：四边形ABFC是矩形；

(2)求DE的长．

19．(1)在正方形ABCD中，E是边CD上一点．

将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，如图①所示，观察可知，与DE相等的线段是____________，与∠AFB相等的角是____________．

(2)如图②，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的点，且∠PAQ＝45°，猜想线段DQ，BP，PQ的数量关系，并证明；

(3)在图②中，连结BD分别交AP，AQ于点M，N，直接写出BM，DN，MN的数量关系．

(第19题)

20．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G.

(1)如图①，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；

(2)如图②，若DE＝CF.试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；

(3)如图③，在(1)的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连结BD交MN于点H，连结FH，求∠HFC的大小．

(第20题)

答案

一、1.B　2.C　3.C　4.C　5.C　6.C　7.D

8．C　点拨：①如图①，当△AEF在正方形ABCD的内部时，

(第8题)

∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°.

在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF，

∴∠BAE＝∠FAD.

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＋∠FAD＝30°，

∴∠BAE＝∠FAD＝15°.

②如图②，当△AEF在正方形ABCD的外部时，同理可得∠BAE＝∠FAD.

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝(360°－90°－60°)×＋60°＝165°.

综上，∠BAE＝15°或165°.故选C.

二、9.AE＝EC(答案不唯一)　10.22°　

11. (1－，1＋)　12.48　13.3

14．4.8　点拨：连结OP，如图所示．

(第14题)

∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，

∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，

∴BC＝＝＝10，

∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，

∴四边形OEPF是矩形，∴FE＝OP，

易知当OP⊥BC时，OP最小，

此时S△OBC＝OB·OC＝BC·OP，

∴OP＝4.8，∴EF的最小值为4.8.

三、15.证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，

∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，

∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠BEM＋∠CEF＝45°，

∵BE⊥EF，∠BEF＝90°

∴∠CEM＝45°，∴∠BAC＝45°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，

∴矩形ABCD是正方形．

(第15题)

16．(1)证明：∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，

∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠GFC，

∴AB∥GF，即AE∥GF，

∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．

(2)解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，

理由：∵∠FGC＋∠GFC＋∠C＝180°，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，

∴2∠GFC＋2∠EFB＝180°，

∴∠EFB＋∠GFC＝90°.∴∠EFG＝90°.

∵四边形AEFG是平行四边形，

∴四边形AEFG是矩形．

17．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BCA＝∠ACD，AB∥CD，CD＝BC，∴∠1＝∠ACD.

∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD.

又∵MF⊥CD，∴∠CFM＝90°，CF＝CD.

∵E为BC边的中点，∴CE＝BE＝BC，

∴CF＝CE.

在△CFM和△CEM中，

∴△CFM≌△CEM.

∴∠CEM＝∠CFM＝90°，即DE⊥BC.

(2)如图，延长AB交DE的延长线于点N.

(第17题)

∵AB∥CD，∴∠N＝∠2.

又∵∠BEN＝∠CED，BE＝CE，

∴△BEN≌△CED.∴NE＝DE.

∵∠1＝∠2，∠N＝∠2，∴∠1＝∠N.∴AM＝NM.

又∵NM＝NE＋ME，∴AM＝NE＋ME＝DE＋ME.

又由(1)得△CEM≌△CFM，

∴ME＝MF.∴AM＝DE＋MF.

18．(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠FEC＝90°，

在△DEC与△FEC中，

∴△DEC≌△FEC，∴CD＝CF，∠DCE＝∠FCE.

∵AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，

∴CF＝AB，∠ABC＝∠FCE.∴AB∥CF.

∴四边形ABFC是平行四边形．

∵AB＝6，BC＝10，AC＝8，∴AB2＋AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°，∴四边形ABFC是矩形；

(2)解：过A作AH⊥BC于H，如图，

∴∠AHB＝∠DEC＝90°，

在△ABH与△DCE中，

∴△ABH≌△DCE，∴AH＝DE，

∵S△ABC＝AB·AC＝BC·AH，

∴AH＝＝＝4.8.∴DE＝AH＝4.8.

(第18题)

19．解：(1)BF；∠AED

(2)DQ＋BP＝PQ，

证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABG，如图，

则∠D＝∠ABG＝90°，

∵∠ABP＝90°，∴∠ABG＋∠ABP＝180°.

∴点G、B、P共线，

由旋转知，∠GAQ＝∠BAD＝90°，AG＝AQ，BG＝DQ，

∵∠PAQ＝45°，∴∠PAG＝45°，

∴∠PAQ＝∠PAG，在△APG和△APQ中；

∴△APG≌△APQ，∴PG＝PQ，

而PG＝PB＋BG＝PB＋DQ，∴DQ＋BP＝PQ.

(3)BM2＋DN2＝MN2

(第19题)

20．(1)证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°，

∵DE⊥CF，

∴∠CGD＝90°，

∴∠DCF＋∠CDE＝90°＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，

∴∠ADE＝∠DCF，

∴ △ADE ≌△DCF，

∴DE＝CF；

(2)解：∠A＋∠EGF＝180°；证明如下：

过D作DR⊥AB交BA的延长线于R，过C作CS⊥AD于S，如图①，

(第20题)

∵S菱形ABCD＝AB×DR＝AD×CS，AB＝AD，

∴DR＝CS，

∵DE＝CF，∴Rt△DRE≌Rt△CSF，

∴∠CFS＝∠RED，∵∠CFS＋ ∠AFG＝180°，

∴∠RED＋∠ AFG＝180°，

∴∠EAF＋∠EGF＝180°；

(3)连接FM，过H作TK// AB交AD于T，交BC于K，连接CH，如图②，

(第20题)

由(1)知MN⊥CF，又G为CF的中点，

∴MN是CF的垂直平分线，

∴CH＝FH，

易知∠TKC＝∠KTD＝∠BCD＝90°，

∴四边形KTDC是矩形，

∴TD＝KC，

∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，

∴∠TDH＝45°，∴∠THD＝45°，

∴TD＝TH＝CK，

在Rt△TFH和Rt△KHC，HF＝CH，TH＝KC

∴Rt△TFH≌Rt△KHC，∴∠THF＝∠HKC

∴∠HKC＝90°，

∴∠HCK＋∠KHC＝90°，

∴∠THF＋∠KHC＝90°，

∴∠FHC＝180°－(∠THF＋∠KHC) ＝90°，

∴HF＝CH，

∵∠HFC＝45°，