数学第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直随堂练习题

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1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
2．ABCD ­ A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的投影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
4．有下列四种说法，正确的序号是________．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.
5．在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
6．如图，在四棱锥S ­ ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
[提能力]
7．[多选题]如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
8．如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)
9.
如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝eq \f(1,3)DB，点C为圆O上一点，且BC＝eq \r(3)AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
[战疑难]
10．如图所示，已知长方体ABCD ­ A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点．
(1)求证：EF∥平面ABCD；
(2)设M为线段C1C的中点，当eq \f(D1D,AD)的值为多少时，DF⊥平面D1MB？并说明理由．
课时作业45 直线与平面垂直
1．解析：若l∥m，则l⊄α，∵m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行．
答案：A
2．解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；
从而BD⊥AC1，即选项B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，
所以AC1⊥BD1不正确．选D.
答案：D
3．解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，
所以cs∠ABO＝eq \f(1,2)，
即∠ABO＝60°.
答案：A
4．解析：①正确；对于②，若直线n⊂α，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．
答案：①
5.
解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的投影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△BD1B1中，
tan∠BD1B1＝eq \f(BB1,B1D1)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
6．证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴底面ABCD为直角梯形，
AD＝eq \r(2－12＋22)＝eq \r(5).
∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，
∴SD⊥SA.
连接BD，则BD＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，∴BD2＝SD2＋SB2，
∴SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.
7．解析：对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；
对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；
对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；
对于D，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理，EC⊥AB，且ED∩EC＝E，可得AB⊥平面CDE.故选BD.
答案：BD
8．解析：在平面四边形ABCD中，设AC与BD交于点E，假设AC⊥BD，则AE⊥BD，CE⊥BD.折叠后(如图)，AE与BD，CE与BD依然垂直，所以BD⊥平面AEC，所以AC⊥BD.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
9.
解析：(1)证明：连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由eq \r(3)AC＝BC知，
∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，
又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，
又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝eq \r(3)
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝eq \r(3)，
所以tan∠CPD＝eq \f(CD,PD)＝eq \f(\r(3),3)，∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
10．解析：(1)证明：E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，
∴EF∥AB.∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
(2)解：当eq \f(D1D,AD)＝eq \r(2)时，DF⊥平面D1MB.证明如下．
如图，连接AC，BD，FM，设AC与BD交于点O，连接OF.
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC.
∵D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF.
∵F，O分别是BD1，BD的中点，∴FO∥DD1，FO＝eq \f(1,2)DD1，
又DD1∥CC1，D1D＝CC1，∴FO綊MC，
∴四边形FMCO为平行四边形，
∴FM∥AC，∴DF⊥FM.
∵D1D＝eq \r(2)AD，∴D1D＝BD，
∴矩形D1DBB1为正方形．
∵F为BD1的中点，∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1＝F，∴DF⊥平面D1MB.