2022年江苏省泰州市中考数学试卷（解析版）

这是一份2022年江苏省泰州市中考数学试卷（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列判断正确的是（　　）
A．0＜＜1 B．1＜＜2 C．2＜＜3 D．3＜＜4
2．（3分）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3
C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
4．（3分）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为（　　）

A． B． C． D．1
5．（3分）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（　　）
A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　）

A． B．2 C．2 D．4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）若x＝﹣3，则|x|的值为 　 　．
8．（3分）正六边形的一个外角的度数为 　 　°．
9．（3分）2022年5月15日4时40分，我国自主研发的极目一号Ⅲ型科学考察浮空艇升高至海拔9032m，将9032用科学记数法表示为 　 　．
10．（3分）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
11．（3分）学校要从王静、李玉两同学中选拔1人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话、体育知识和旅游知识，并将成绩依次按4：3：3记分．两人的各项选拔成绩如表所示，则最终胜出的同学是 　 　．

普通话
体育知识
旅游知识
王静
80
90
70
李玉
90
80
70
12．（3分）一次函数y＝ax+2的图象经过点（1，0）．当y＞0时，x的取值范围是 　 　．
13．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为 　 　°．

14．（3分）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 　 　．

15．（3分）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　 　．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 　 　．

三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：﹣×；
（2）按要求填空：
小王计算﹣的过程如下：
解：﹣
＝﹣……第一步
＝﹣……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝．……第五步
小王计算的第一步是 　 　（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 　 　步出现错误．直接写出正确的计算结果是 　 　．
18．（8分）农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．

（1）2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是 　 　%；若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 　 　亿元（结果保留整数）．
（2）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
19．（8分）即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
20．（8分）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

21．（10分）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．

22．（10分）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）

23．（10分）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．

24．（10分）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．

25．（12分）已知：△ABC中，D为BC边上的一点．
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E．若AB＝5，BD＝9，DC＝6，求DE的长；
（2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA＝∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF．若∠DFA＝∠A，△FBC的面积等于CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由．


26．（14分）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年江苏省泰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列判断正确的是（　　）
A．0＜＜1 B．1＜＜2 C．2＜＜3 D．3＜＜4
【分析】估算确定出的大小范围即可．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2．
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
2．（3分）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
【分析】根据展开图直接判断即可．
【解答】解：根据展开图可以得出是四棱锥的展开图，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3
C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝5ab，符合题意；
B、原式＝3y2，不符合题意；
C、原式＝8a，不符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了整式的加减，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为（　　）

A． B． C． D．1
【分析】根据题意可知：甲和乙相邻是必然事件，从而可以得到相应的概率．
【解答】解：由题意可知，
甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻是必然事件，
∴甲和乙相邻的概率为1，
故选：D．
【点评】本题考查概率的应用、必然事件，解答本题的关键是明确甲和乙相邻是必然事件．
5．（3分）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（　　）
A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣
【分析】根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y3，y1，y2之间的关系，再判断即可．
【解答】解：A．y＝3x，因为3＞0，所以y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3，不符合题意；
B．y＝3x2，当x＝1和x＝﹣1时，y相等，即y3＝y2，故不符合题意；
C．y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3，不符合题意；
D．y＝﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而增大，所以y3＜y1＜y2，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断y的大小．
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　）

A． B．2 C．2 D．4
【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
连接AC，
∴d1+d2+d3最小值为AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，
故选：C．

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）若x＝﹣3，则|x|的值为 　3　．
【分析】利用绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：∵x＝﹣3，
∴|x|＝|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
8．（3分）正六边形的一个外角的度数为 　60　°．
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．
【解答】解：∵正六边形的外角和是360°，
∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
9．（3分）2022年5月15日4时40分，我国自主研发的极目一号Ⅲ型科学考察浮空艇升高至海拔9032m，将9032用科学记数法表示为 　9.032×103　．
【分析】把9032表示成科学记数法即可．
【解答】解：9032＝9.032×103．
故答案为：9.032×103．
【点评】此题考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解本题的关键．
10．（3分）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　1　．
【分析】由题可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0；若一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0；若一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0．
11．（3分）学校要从王静、李玉两同学中选拔1人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话、体育知识和旅游知识，并将成绩依次按4：3：3记分．两人的各项选拔成绩如表所示，则最终胜出的同学是 　李玉　．

普通话
体育知识
旅游知识
王静
80
90
70
李玉
90
80
70
【分析】根据不同的权计算每个人的得分即可作出比较．
【解答】解：王静的成绩是：（80×4+90×3+70×3）÷（4+3+3）＝80（分），
李玉的成绩是：（90×4+80×3+70×3）÷（4+3+3）＝81（分），
∵81＞80，
∴最终胜出的同学是李玉．
故答案为：李玉．
【点评】本题考查了加权平均数的概念及求法，属于基础题，牢记加权平均数的计算公式是解题的关键．
12．（3分）一次函数y＝ax+2的图象经过点（1，0）．当y＞0时，x的取值范围是 　x＜1　．
【分析】由待定系数法可求得一次函数的解析式，再结合图象即可得出答案．
【解答】解：将点（1，0）代入y＝ax+2，
得a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2，
如图，

∴当y＞0时，x＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
13．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为 　32　°．

【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，由切线的性质得出∠OAP＝90°，由∠P＝26°，求出∠AOP＝64°，由圆周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．
【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，

∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝26°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，
∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，
∵点C在上，且与点A、B不重合，
∴∠C＝∠D＝32°，
故答案为：32．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的关键．
14．（3分）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 　　．

【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，
故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．（3分）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　b＜c＜a　．
【分析】代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【解答】解解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.752＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
【点评】本题考查不等式的性质，但是直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所以特殊值代入法也是最好的选择．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 　2或　．

【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．
【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，

∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，
当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，
∴∠BCO＝∠COD，
∴BC∥DE，
∴∠CBO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
则DE＝CD+BE，
设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，
在Rt△ABC中，AB＝＝10，
∴，即，
解得，
∴CD＝2，
过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，

∵点O为△ABC的内心，
∴OD＝OE′，
在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，
，
∴△ODD′≌△OE′E（ASA），
∴OE＝OD′，
∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，
在△AD′E′和△ABC中，
，
∴△AD′E′∽△ABC，
∴，
∴，
解得：AD′＝，
∴CD′＝AC﹣AD′＝，
故答案为：2或．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的内心，理解三角形内心的概念，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：﹣×；
（2）按要求填空：
小王计算﹣的过程如下：
解：﹣
＝﹣……第一步
＝﹣……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝．……第五步
小王计算的第一步是 　因式分解　（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 　三　步出现错误．直接写出正确的计算结果是 　　．
【分析】（1）原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；
（2）观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣
＝3﹣
＝2；
（2）﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝，
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是．
故答案为：因式分解，三，．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，因式分解﹣运用公式法，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．

（1）2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是 　2.8　%；若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 　96　亿元（结果保留整数）．
（2）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论；用2019“三产”总值为5200亿元，分别乘以服务产业的占比和2019至2020增长率即可；
（2）根据扇形统计图的作用可直接得出结论，意思对即可．
【解答】解：（1）2017﹣2021年农业产值增长率从小到大排列为：2.3%，2.7%，2.8%，2.8%，3%，中间的数为2.8%，
故2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是2.8%；
若2019年“三产”总值为5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加：5200×45%×4.1%≈96（亿元）；
故答案为：2.8；96；
（2）不同意，理由如下：
由2019年泰州市“三产”产值分布的扇形统计图可知，在2019年，服务业产值占比45%，工业产值占比49%，
∴在2019年，服务业产值比工业产值低．
【点评】本题考查了折线统计图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键．
19．（8分）即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解答】解：树状图如下所示，

由上可得，一共有6种可能性，其中恰好经过通道A与通道D的可能性有1种，
∴恰好经过通道A与通道D的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
20．（8分）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
【解答】解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21．（10分）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．

【分析】（1）根据线段中点的定义可得AD＝AB，根据三角形的中位线定理可得EF∥AB，EF＝AB，从而可得EF＝AD，进而可得四边形ADFE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；
（2）当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，再根据三角形的中位线定理可得DE＝BC，从而可得AF＝DE，然后利用（1）的结论即可解答．
【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，
∴AD＝AB，
∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，
理由：∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AF＝BC，
∴AF＝DE，
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的中位线定理，以及矩形的判定是解题的关键．
22．（10分）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）

【分析】连接MC，过点M作HM⊥NM，根据题意可得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，从而利用平行线的性质求出∠CMN＝62°，进而求出∠CMH＝28°，然后在Rt△CMD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：连接MC，过点M作HM⊥NM，

由题意得：
∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，
∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，
在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．

【分析】（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，

当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OE，
在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝90°，
∴＝＝，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；
（2）连接GO，HO，

∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．
24．（10分）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．

【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）由图象直接得出结论即可；
（3）根据A点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出CE＝DE，进而确定E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图像相交于点B（3，1），
∴32+3m+1＝1，＝1，
解得m＝﹣3，k＝3，
∴二次函数的解析式为y1＝x2﹣3x+1，反比例函数的解析式为y2＝（x＞0）；
（2）∵二次函数的解析式为y1＝x2﹣3x+1，
∴对称轴为直线x＝，
由图象知，当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，≤x＜3；
（3）由题意作图如下：

∵当x＝0时，y1＝1，
∴A（0，1），
∵B（3，1），
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，
∵△ACE与△BDE的面积相等，
∴CE＝DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x＝时，y2＝2，
∴E（，2）．
【点评】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
25．（12分）已知：△ABC中，D为BC边上的一点．
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E．若AB＝5，BD＝9，DC＝6，求DE的长；
（2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA＝∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF．若∠DFA＝∠A，△FBC的面积等于CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由．


【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF＝∠ATD，射线DF交AC于点F，点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR．证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB＝FR，由CF∥BR，推出S△CFB＝S△CFR＝•AB•CD＝•FR•CD，推出CD⊥DF，可得结论．
【解答】解：（1）如图①中，∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2；

（2）如图②中，点F即为所求．


（3）结论：直线BC与以FD为半径作⊙F相切．
理由：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR．

∵AF∥BR，∠A＝∠AFR，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴AB＝FR，
∵CF∥BR，
∴S△CFB＝S△CFR＝•AB•CD＝•FR•CD，
∴CD⊥DF，
∴直线BC与以FD为半径作⊙F相切．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（14分）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；
②由函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【解答】解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m＝时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴当3﹣4m＝0，即m＝时，x﹣＝0，
∴x＝3，
∴m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．
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