湖北省黄石市2020-2021学年高一下学期期末考试——数学试题

2020-2021学年度下学期高一期末试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数，则的虚部为

A.  B.  C. 4 D. 4i

2.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行    

C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面

3.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为   

A.  B.               C.               D.

4.已知某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，标准差为s，则  

A. ， B. ，    C. ， D. ，

5.从集合1，2，中随机地取一个数a，从集合4，中随机地取一个数b，则向量与垂直的概率为   

1.  B.  C.  D.

6.在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，则

A.  B.  C.  D. 

7.在△ABC中，cosC=，AC=3，BC=4，则cosB=

A．            B．              C．             D．

8.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为4的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为

1.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是

A. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是

B. 丙同学随机选择选项，能得分的概率是

C. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是

D. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是

10.某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是

A. 若从样本中车速在的车辆中任意抽取2辆，则车速都在内的概率为

B. B.若从样本中车速在的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在的概率为

C.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为

D.在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为

11.已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是       

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

12.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且，侧面PAD为 正三角形，且平面平面ABCD，则下列说法正确的是   

A.在棱AD上存在点M，使平面PMB

B. 异面直线AD与PB所成的角为

C. 二面角的大小为

D. 平面PAC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，若，则            .

14.已知的面积为，，则____．

15.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为cm，高为2cm，内孔直径为，则此六角螺帽毛坯的体积是          ．

16.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为4若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中，，．

若，求；

若与共线，求k的值．

18.（12分）十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某省某科研机构帮助某贫困县的农村村民真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，积极引导该县农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该村村民的经济收入．2019年年底，该机构从该县种植了这种名贵药材的农户中随机抽取了n户，统计了他们2019年因种植中药材所获纯利润单位：万元的情况假定农户因种植中药材这一项一年最多增加11万元，并分成以下几组：，，，，，统计结果如下图所示：

已知样本中数据落在这一组的频率为08．

求n和表中a的值；

试估计该贫困县农户因种植中药材所获纯利润的平均值和中位数同一组中的数据用该组区间中点值为代表．

19．（12分）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．

（1）证明：；

（2）若，求．

20.（12分）如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．

（Ⅰ）证明：EF⊥DB；

（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．

21.（12分）关注大众身体健康的同时，也需关注大众的心理健康．某机构为了解市民心理健康状况，分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分满分100分，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：

已知专项心理等级为一般的有680人．

求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐患的人数；

在专项心理等级为有隐患的市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因，并从中选取2人列为长期关注对象，求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率；

心理咨询机构与该市管理部门设定预案是：以抽取样本为例，市民心理健康指数平均值不低于，只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．每组数据以区间的中点值为代表，心理健康指数

22.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为BD的中点．

（1）证明：；

（2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

2020-2021学年度下学期高一期末试题

答案和解析

1.   【答案】A

解：复数，

则．

所以的虚部为2．

2.【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件

3.【答案】C

解：记3只测量过某项指标的兔子分别为A，B，C，

没有测量过某项指标的兔子为D，E，

则从这5只兔子中随机取出3只的所有情况为B，，B，，B，，

C，，C，，D，，

C，，C，，D，，D，，共10种，

恰有2只测量过该指标的所有情况有6种，

所求概率为

4.【答案】B

解：某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，

此时这8个数的平均数为，标准差为s，方差为，

，

，

，

5.【答案】C

解：从集合1，2，中随机地取一个数a，从集合4，中随机地取一个数b，基本事件总数．

当向量与向量垂直时，，满足条件的基本事件有，，共3个，

则所求概率．

6.【答案】D

解：如图所示，

边长为1的菱形ABCD中，，

；又E为BC中点，

，且，

7.【答案】D

【解析】在中，，，，

根据余弦定理：，

，可得 ，即，即B=C

8.   【答案】A

解：

设，，，

因为E，F分别是PA，AB的中点，所以，，

在中，，

在中，，

整理得，

因为是边长为4的正三角形，所以，

又，则，，

由得，=

所以，所以，即，

同理可得，，则PA、PB、PC两两垂直，

则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，

所以球O的体积为

9.   【答案】ABD

 解A项，乙同学仅随机选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，

能得5分的情况为CD只有1种情况，所以能得5分的概率是，正确；

B项，丙同学随机选择选项，选一个选项，有A、B、C、D共4种情况；

选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；

选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，

选四个选项有ABCD共1种，所以共有种情况，

能得分有C、D、CD共3种情况，所以能得分的概率是，正确；

C项，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；

选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，

所以共有种情况，

能得分有CD共1种情况，所以能得分的概率是，错误．

D项，甲同学仅随机选一个选项，有A、B、C、D四种情况，

能得3分的有C或D，有2种，所以能得3分的概率是，正确；

10.【答案】BCD

解：.结合以上分析，由古典概型的概率公式得从样本中车速在的车辆中任意抽取2辆，则车速都在内的概率为，故A错误

B.由图知，车速在的车辆数为，

车速在的车辆数为，

则车速在的车辆数为12，从中任意抽取2辆的所有可能情况有66种，

至少有一辆车的车速在内有两类情况：

车速在内与车速在内各一辆，其包含的情况有种；

辆车速都在内，其包含的情况有28种，

故至少有一辆车的车速在内包含的情况有60种，

由古典概型的概率公式得，则至少有一辆车的车速在的概率为，故B正确；

C:在频率分布直方图中，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值，故C正确；

D:车速超过的频率为，用频率估计概率，故D正确；

11.【答案】AD

解：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，A正确；

若，，则或与相交，B错误；

缺少条件，，不能由面面垂直得到线面垂直，或者说m可能在平面内，C错误；

因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个也一定垂直于另一个，D正确．

12.【答案】ABC

解：如图所示，

对于A选项．取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD相交于点O．

侧面PAD为正三角形，又底面ABCD为菱形，，是等边三角形．

又，PM、平面平面PMB，因此A正确．

对于B选项．由A可得：平面PMB，平面PMB，，异面直线AD与PB所成的角为，正确．

对于C选项．平面平面，，平面PBM，又PB，平面PBM，，．

是二面角的平面角，设，则，

在中，，，因此C正确．

对于D选项．由平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，

平面PAD，平面PAD，则，

若平面PAC，平面PAC，则，显然不可能，因此D错误．

13. 【答案】-5
14. 【答案】
15. 解：，   

，解得，

所以，，

，

15.【答案】

解：六棱柱的体积为：，

圆柱的体积为：，

所以此六角螺帽毛坯的体积是：，

16.【答案】

【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为

17.【答案】解：因为， ，

 ，

，，

  ，

4 

，  （5分）

由已知：， ，

，．（10分）

18. 【答案】解：由题意知，．（4分）
19. 计算可得样本中的数据落在每个区间的频率分别为，，，，，，（6分）
20. 所以农户种植中药材所获纯利润的平均值为
21. 万元．（8分）
22. 前2组的频率为，前3组的频率为，
23. 样本的中位数在第三组，设样本的中位数=万元．（10分）

==7.5万元．（12分）

19.【答案】

（1）在中，，，

，联立得，即，

，．（3分）

（2）因为，

中，，

中，，

，

，

整理得，（7分）

，，

，即或，（8分）

若时，，

则　　（舍），（10分）

若，，

则　　.（12分）

20【答案】（Ⅰ）如图，过点D作，交直线AC于点，连结OB．

由，得，

由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC，所以.

由，得.

所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB．

由三棱台得，所以.（6分）

（Ⅱ）过点作，交直线BD于点，连结.

由三棱台得，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.由平面得，故平面BCD，所以为直线CO与平面DBC所成角.设.

由，得，

所以，

因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为.（12分）

21.【答案】解：由频率分布直方图知，

，

由，解得，（2分）

设总共调查了x个人，

则专项心理等级为一般的为，解得，（3分）

专项心理等级为有隐患的人数为，（4分）

依题意，老年人抽4人，中青年抽2人，（5分）

设中青年人记为A，B，老年人记为a，b，c，d，

从6人中再随机抽2人，可能有，，，，，，，，，，，，，共15种，（7分）

至少有一位老年人被抽到的情况有共14种，概率为，(8分)

由频率分布直方图可得：

，（10分）

估计市民心理健康问卷的平均得分为，

所以市民心理健康指数为，（11分）

所以只需发放心理指导材料，不需要举办大讲堂活动．（12分）

22.【答案】（1），为中点，，

面，面面且面面，面，

．（4分）

(2)过点E作EN//AO交BD于 N. 过点N作NM//CD交BC干点M，连 接ME.因为EN//AO且由(1)知

所以..