湖北省黄石市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

2019—2020学年度下学期期末

高一年级学业水平阶段性检测

数   学

注意：1.本试卷分选择题、填空题、解答题三种题型，共22题．满分150分，考试时间120

分钟；

      2.考生答题前，请将姓名、考号、班级（学校）等填在答题卡指定位置，所有答案填涂、书写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分, 共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1. 设集合，，，则

A.              B.             C.             D.

2. 要完成下列2项调查，应采用的抽样方法是

①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；

②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.

A. ①用简单随机抽样法 ②用分层抽样法     B. ①用分层抽样法 ②用简单随机抽样法

C. ①、②都用简单随机抽样法              D. ①、②都用分层抽样法

3．已知一个奇函数的定义域为，则

A．            B．3                C．             D．1

4. 如图，在正方体中，，分别是

，的中点，则下列说法错误的是

A. 与垂直                  

B. 与平面垂直

C. 与平面平行            

D. 与平面平行

5. 华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式,孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数.从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为

A.                B.               C.               D.

6. 设是两条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为 

①                ②  

③      ④

1. 1                B. 2                C. 3                D. 4

7．已知，则

A. -2                B. 2                C.             D.

8. 已知函数的部分图象如图所示，则

A.       B.

C.    D.

9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

   （1）BM∥ED   （2）CN与BE是异面直线

   （3）CN与BM成角

（4）DM⊥BN  

（5）BN⊥平面DEM

以上五个命题中，正确命题的序号是 

A. (3)(4)(5)          B. (2)(4)(5)  

C. (1)(2)(3)          D. (2) (3) (4) 

10. 已知，则等于

A．      B．       C．     D．

11．函数(e为自然对数的底数)，则不等式解集为

A.             B.           C.      D.

12．在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，与平面所成的角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为

A．       B．    C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知则在方向上的投影为    ▲    .

14．一支医疗队有男医生45人，女医生人，用分层抽样抽出一个容量为的样本，在这个样本中随机取一人担任队长，每个个体被抽到的概率为，且样本中的男医生比女医

生多5人，则＝   ▲   .

15. 如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P

为BE上一点，且满足，则

的最小值为   ▲   ．

16. 已知，若方程有四个根且，则的取值范围是   ▲   .

三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. (本小题满分10分) 已知关于的不等式：

（1）若不等式的解集为，求的值；  

（2）若不等式的解集为，求的取值范围．

18．(本小题满分12分)已知

（1）求函数取最大值时x的取值集合；

（2）设锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求△ABC的面积S的最大值.

19. （本小题满分12分）如图，已知是边长为4的正三角形，D，E分别为AC，AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE平面BCDE.

（1）求PB与平面BCDE所成角的正弦值；

（2）求点E到平面PBC的距离.

20. (本小题满分12分)“己亥末，庚子春，荆楚大疫，染者数万。众惶恐，举国防，皆闭户，道无车舟，万巷空寂。幸，医无私，警无畏，民齐心，能者竭力，万民同心。”为了响应教育部门“停课不停学”的号召，各学校纷纷开展网络授课活动。某学校为了解该校高一年级学生“停课不停学”期间学习情况，对某次考试成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计。该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．

（1）求和频率分布直方图中的x，y的值；

（2）在选取的样本中，从[60，70）和[130，140）两个分数段的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽取的两名学生的分数都在[130，140）内的概率.

21. (本小题满分12分) 如图，是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于，轴于，的两边交正方形的边PM，PN于，两点，且，设，

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围．

22. (本小题满分12分)一块边长为8的正方形纸片，按如图所示将阴影部分剪下，将剩余的四个底边长为2x的全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD (注：底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心的四棱锥），F为底边CD的中点.

（1）过棱锥的高及点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y, 求y的最大值及y取最大值时对应的x值；

（2）在（1）中y取最大值时，是否存在动点Q，它在该棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FQSC?若存在，计算其运动轨迹的长度；若不存在，说明理由.

2019—2020学年度下学期期末

高一年级学业水平阶段性检测

数学参考答案与评分标准

一、选择题：（每小题5分，共60分）  

DBACB    CBCAA  DB

12．【解析】如图，取的中点，连接，根据，，得，又，所以平面，又平面，则平面平面，可得是与平面所成的角，即.又在中，，，所以，

，所以，设三棱锥外接球的球心为，过点作于，于，则点分别是的外接圆的圆心，则

,在中，

设外接圆半径为r,则,故，

因此，

则三棱锥的外接球的表面积为.故选B． 

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13.      14.30       15.      16.

三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解：（1）因为关于的不等式：的解集为，

所以和1是方程的两个实数根，…………………………………3分

由韦达定理可得:，得．                               ……………………………………………5分

（2）因为关于的不等式的解集为．

当时，-3<0恒成立.                ……………………………………………7分

当时，由，解得： ……………………………9分

故的取值范围为．                   …………………………………10分

18. 解（1）. ……3分

令，k∈Z，即时，取最大值. ………………5分

所以，所求的取值集合是；   ………………………………6分

（2）由，得，

因为，所以，所以， …………8分

在中，由余弦定理，

得，即，当且仅当时取等号，

……………………10分

所以的面积

因此的面积的最大值为.………………………………………………12分

（利用正弦定理亦可酌情给分）

19.解：（1）如图，设DE的中点为O,BC的中点为F,连接OP,OF,OB,则OPDE.

平面PDE平面BCDE，平面PDE平面BCDE=DE，

OP平面BCDE       …………………………………………………………2分

故即为PB与平面BCDE所成的角.    ……………………………………3分

又OB平面BCDE, OPOB

在中，OP=OF=,OB=, 故PB=

sin=……………………………………………………………6分

  (2) 如图，因为D,E分别为AC,AB边的中点，故DE//BC

     又 DE平面PBC，BC平面PBC

DE//平面PBC,故E到平面PBC的距离即为O到平面PBC的距离.  ………………7分

    PODE, OFDE,  DE 平面POF

       又DE//BC, BC平面POF

       又 BC平面PBC, 平面PBC平面POF且交线为PF，

       过O做OGPF,则OG平面PBC,故OG即为O到平面PBC的距离. …………9分

       在中，PO=OF=,PF=，……………………………………………11分

故OG==, 故点E到平面PBC的距离为.   ……………12分

20解:（1）由题意可知，的人数为3人，频率为：0.00610=0.06，

故样本容量，    ……………………………………………………2分

解得， ……………………………………………………………4分

．  …………………………6分

（2）在选取的样本中，分数在的人数为：500.00410=2人，记为：A,B, …7分

分数在的人数为：500.00610=3人，记为：a,b,c, ……………………8分

从这5个人中抽取2人的所有情况有：

其中，两名学生的分数都在的所有情况有：………10分

     故两名学生的分数都在内的概率为 ………………………………12分

21解：（1）由得，，   ……………………………………………………………2分

  故

……………………………………………………4分

故时，…………………………………………………6分

（2）法1： 由（1）得：

…………8分

又 …………10分

     故．   ………………………………………………12分

法2：由（1）得：

令，则，

故=………8分

…………………………10分

故  ……………………………………………………12分

法3：

  （下同法1）

22解：（1）由题意，平面ABCD,故EF…………………………………………1分

………3分

当且仅当即时等号成立.   …………………………………4分

(2) ABCD为正方形， BDAC

又平面ABCD，BD平面ABCD，故BD

   又SOAC=O, 平面SAC，…………………………………………………6分

过F作FG//BD则平面SAC，

又SC平面SAC，故SC

过F作SC则SC平面FGT  …………………………………………………8分

故只要Q在平面FGT内运动，都有FQSC

Q点的轨迹即为平面FGT与棱锥表面的交线，即 .……………………10分

在中，,

的周长即点Q的轨迹长度为4+.………………………………………12分