2020北京四十四中高一（上）期中数学（教师版）

2020北京四十四中高一（上）期中

数    学

一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.

1．（4分）已知，，则　　

A． B． C． D．

2．（4分）设集合，2，4，6，8，，，，则　　

A．， B．，2， C．，2，6， D．，2，4，6，8，

3．（4分）对任意实数、、，在下列命题中，真命题是　　

A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 

C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件

4．（4分）设命题，，则为　　

A．， B．， 

C．， D．，

5．（4分）函数的定义域为　　

A． B． C．或 D．

6．（4分）设，则下列不等式中正确的是　　

A． B． C． D．

7．（4分）不等式的解集为　　

A． B． C． D．，或

8．（4分）若函数为偶函数，则　　

A． B． C．1 D．2

9．（4分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是　　

A． B．C． D．

10．（4分）若，，则一定有　　

A． B． C． D．

11．（4分）函数在单调递减，且为奇函数．若（1），则满足的的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

12．（4分）函数是单调函数的充要条件是　　

A． B． C． D．

13．（4分）若，，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

14．（4分）已知函数满足，且（5）（3），则（4）　　

A．16 B．8 C．4 D．2

15．（4分）设集合，，对任意实数恒成立，则下列关系中成立的是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

16．（4分）若，则的最小值为　 　．

17．（4分）函数的一个单调递增区间为 　　．

18．（4分）设，则不等式的解集为　 　．

19．（4分）二次函数的部分对应值如表：

则不等式的解集是　　．

20．（4分）定义集合运算：，，．设，，，，则集合的所有元素之和为　　．

21．（4分）奇函数的定义域为，若，时，的图象如图所示，则不等式的解集为　 　．

22．（4分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（2）　　．

23．（4分），，若，且，则　 　．

24．（4分）已知函数是定义在上的减函数，如果（a）在，上恒成立，那么实数的取值范围是　　．

25．（4分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 　　人．

三、解答题：本大题共4小题，共50分.

26．已知集合，8，10，，，6，，

（1）求；

（2）写出集合的所有子集．

27．已知函数．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明；

（Ⅱ）证明函数在上为增函数．

28．设，函数．

（1）解不等式；

（2）求在区间，上的最小值（a）．

29．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．

（1）设函数，求集合和；

（2）求证：；

（3）设函数，且，求证：．

四、附加题共10分

30．（10分）已知数集，，，，具有性质；对任意的，，与两数中至少有一个属于．

（1）分别判断数集，3，与，2，3，是否具有性质，并说明理由；

（2）证明：，且；

（3）当时，若，求集合．

2020北京四十四中高一（上）期中数学

参考答案

一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.

1．【分析】由元素与集合，集合与集合的关系判断即可．

【解答】解：，，

，，

故选：．

【点评】本题考查了元素与集合，集合与集合的关系应用，属于基础题．

2．【分析】根据全集求出的补集即可．

【解答】解：集合，2，4，6，8，，，，则，2，6，．

故选：．

【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．

3．【分析】当时，一定有．但时，且时，，可以不相等．即“”是“”的必要条件．

【解答】解：、当时，“”即不是“”的必要条件也不是充分条件，故，不成立；

、当时

一定有．

但时，且时，，可以不相等．

即“”是“”的必要条件．

、当时，“”是“”的充分条件不成立；

故选：．

【点评】注意必要条件、充分条件与充要条件的判断．

4．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．

【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得到命题的否定，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

5．【分析】保证两个根式都有意义的自变量的集合为函数的定义域．

【解答】解：要使原函数有意义，则需，

解得，

所以，原函数定义域为，．

故选：．

【点评】本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使得构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量的取值集合．

6．【分析】举特值计算，排除选项可得．

【解答】解：取且，计算可得，，

选项、、均矛盾，符合题意，

故选：．

【点评】本题考查特值法比较式子的大小，属基础题．

7．【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．

【解答】解：不等式化为，解得或．

不等式的解集为或．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．

8．【分析】本小题主要考查函数的奇偶性的定义：的定义域为，都有，．根据定义列出方程，即可求解．

【解答】解：（1），

是偶函数

，，

故选：．

【点评】本题主要考查偶函数的定义，对于函数的奇偶性问题要注意恰当的使用特殊值法．

9．【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程看作时间的函数，我们可以根据实际分析函数值（路程）与自变量（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．

【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，

路程随时间上升的速度越来越快，

故图象的前边部分为凹升的形状；

在汽车的匀速行驶阶段，

路程随时间上升的速度保持不变

故图象的中间部分为平升的形状；

在汽车减速行驶之后停车阶段，

路程随时间上升的速度越来越慢，

故图象的前边部分为凸升的形状；

分析四个答案中的图象，

只有答案满足要求，

故选：．

【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．

10．【分析】利用特例法，判断选项即可．

【解答】解：不妨令，，，，

则，，、不正确；

，，

不正确，正确．

解法二：

，

，

，

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．

11．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案．

【解答】解：函数为奇函数．

若（1），则，

又函数在单调递减，，

（1），

，

解得：，，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．

12．【分析】先用配方法将函数变形，求出其对称轴，因为函数是单调函数，所以对称轴要在区间的左侧求解．

【解答】解：函数在，上为单调函数

，即．

故选：．

【点评】本题主要考查二次函数的单调性，研究时要注意两点：一是对称轴与区间的位置关系，二是开口方向．

13．【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果

【解答】解：，，，

，，即，

若，，则，

但，

即推不出，

是的充分不必要条件

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．

14．【分析】根据关系式得到（4）（3）且（5）（4），进而求得结论．

【解答】解：因为函数满足，

所以：（4）（3）且（5）（4），

又（5）（3），

即（4）（4）；

则（4）；

故选：．

【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目．

15．【分析】首先化简集合，对任意实数恒成立，则分两种情况：①时，易知结论是否成立②时无根，则由△求得的范围．

【解答】解：对任意实数恒成立，

对分类：①时，恒成立；

②时，需△，解得．

综合①②知，．

，

故选：．

【点评】本题通过集合关系来考查函数中的恒成立问题，容易忽略对的讨论，应引起足够的重视．

二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

16．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：，

，当且仅当时取等号．

的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

17．【分析】由二次函数解析式得函数 的对称轴，从而求得增区间．

【解答】解：由的对称轴为，

所以函数的增区间为，

故答案为：．

【点评】本题考查二次函数的增区间，属于容易题．

18．【分析】由含绝对值的性质得，由此能求出不等式的解集．

【解答】解：，不等式，

，

解得．

不等式的解集为．

故答案为：．

【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．

19．【分析】由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式的解集．

【解答】解：由表可设，

又，，代入知．

得或．

故答案为：或

【点评】本题为基础题，考查了一元二次不等式与二次函数的关系，在解题时注意题目要求不等式的解集．

20．【分析】利用题中对，求出中包含的元素，求出集合的所有元素之和．

【解答】解：，，．

又，，，，

，2，

所以集合的所有元素之和为

故答案为：6

【点评】本题考查理解题中的新定义；并利用新定义求集合．新定义题型是近几年高考常考的题型．

21．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出在，上的图象，这样根据在上的图象便可得出的解集．

【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称得出在，上的图象如下所示：

的解集为，，．

故答案为：，，．

【点评】考查奇函数的概念，奇函数图象的对称性，由函数图象解不等式的方法．

22．【分析】由已知中当时，，先求出，进而根据奇函数的性质，可得答案．

【解答】解：当时，，

，

又函数是定义在上的奇函数，

（2），

故答案为：12

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．

23．【分析】根据条件知为二次函数，并且对称轴，从而，这样即可求出，带入便可得出答案．

【解答】解：根据知的对称轴；

；

．

故答案为：0．

【点评】考查二次函数的一般形式，二次函数的对称轴，以及二次函数对称轴的求法，已知函数求值．

24．【分析】根据函数的单调性可得在，上恒成立，只需求出的最小值即可．

【解答】解：（a）在，上恒成立，

函数是定义在上的减函数，

在，上恒成立，

．

故答案为．

【点评】本题考查了恒成立问题的转化和单调性的利用，属于常规题型，应熟练掌握．

25．【分析】用，，分别表示优秀、合格和不合格，根据题意，确定语文成绩得，，的学生各最多只有1个，从而推出答案．

【解答】解：用，，分别表示优秀、合格和不合格，

语文成绩得的学生最多只有1个，

语文成绩得的学生也最多只有一个，得最多只有一个，

因此学生最多只有3人，

则，，满足条件，

故学生最多有3个．

故答案为：3．

【点评】本题考查了合情推理的理解与应用，解题的关键是找到题干中的关键词，培养了推理论证能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共4小题，共50分.

26．【分析】（1）按照并集的运算法则直接解答；

（2）根据交集的运算法则求出，并确定其子集．

【解答】解：（1），8，10，，6，，6，8，10，；

（2）因为，；

所以集合的所有子集为，，，，．

【点评】本题考查了交集，并集的基本运算，并能够写出集合的子集，属于基础题型．

27．【分析】先求出函数的定义域，并且判断是否关于原点对称，再验证和的关系，根据函数的奇偶性的定义进行判定即可；

利用函数单调性的定义进行证明，即取值作差变形判断符号下结论，从而得到单调性．

【解答】解：的定义域为，

函数为奇函数

任取，，不妨设，则有

，且

，，

即

函数在上是增函数．

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的证明，同时考查了计算能力，属于中档题．

28．【分析】（1）将自变量代入函数关系式，建立一元二次不等式，解之即可；

（2）函数的对称轴为，将对称轴移动，讨论对称轴与区间，的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值．

【解答】解：（1），即，（2分）

化简整理得，解得．（4分）

（2）函数图象的对称轴方程是．

①当，即时，在区间，上单调递增，所以（1）；（6分）

②当，即时，在区间上单调递减，在上单调递增所以，；（8分）

③当，即时，在区间，上单调递减，所以（2）．

综上，（10分）

【点评】函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．

29．【分析】（1）函数，要求集合和，解出两个方程与的根，此两方程的解集即为集合和；

（2）分和的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明；

（3），说明无解，由“不动点”和“稳定点”的定义证明无解即可得出．

【解答】解：（1）令，

解得，故有

由于，

令，得，故有

（2）若，则显然成立；若，

设，

则，，

，故．

（3）若．则有解，

故有解，即，

这与矛盾，

故．

【点评】本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想

四、附加题共10分

30．【分析】（1）根据性质；对任意的，，与两数中至少有一个属于，验证给的集合集，3，与，2，3，中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；

（2）由性质，知，故，从而，．再验证又由于，，，，，从而，命题得证；

（3）根据（2），只要证明即可求得集合．

【解答】解：（1）由于，与或均不属于数集，3，，

该数集不具有性质．

由于，，，，，，，，，都属于数集，2，3，，

该数集具有性质．

（2）证明：，，，具有性质，

与中至少有一个属于，

由于，

故．

从而，．

，，，3，4，，，

故，3，4，，．

由具有性质可知，3，4，，．

又，，，，，

从而，

；

（3）由（2）知，当时，

有，，即，

，，，

由具有性质可知．

由，得，

且，，

即，，，， 是首项为1，公比为等比数列，

即有集合，2，4，8，．

【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．