2021北京农大附中高一（上）期中数学（教师版）

2021北京农大附中高一（上）期中

数    学

2021.11

本试卷共3页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，，集合（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 设a，，且则下列不等式一定成立的是（    ）

A  B.  C.  D.

4. 下列函数是偶函数的是（    ）

A.  B.  C.  D. ，

5. 设，则是（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 下列函数中，值域为(0，+∞)的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在区间上是减函数的是

A.  B.  C.  D.

8. 一元二次不等式的解集是，则的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

10. 某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（    ）

A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是

C. 函数在R上是增函数 D. 方程有实根

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11. 不等式的解集是__.

12. 已知，是方程的两个根，则____________.

13. 已知,若,则_______________．

14. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年总存储费用为4x万元. 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则最小值是____________ 万元.

15. 已知函数

（1）函数的值域是____________.

（2）若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围是______________-.

三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知，，. 求：

（1）若，求，；

（2）若，求实数a的取值范围.

17. 已知函数，点，是图象上的两点.

（1）求a，b的值；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）判断函数在上的单调性，并说明理由.

18. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,．现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示．

（1）画出函数在轴右侧的图像，并写出函数在上的单调递增区间；

（2）求函数在上解析式．

（3）解不等式.

19. 已知关于x的不等式，其中.

（1）当时，求原不等式的解集；

（2）时，求原不等式解集.

20. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.

（1）请直接写出函数的所有的“和谐区间”；

（2）若为函数的一个“和谐区间”，求的值；

（3）求函数的所有的“和谐区间”.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】C

【解析】

【分析】由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为，，

则.

故选：C

2. 【答案】D

【解析】

【分析】根据存在性命题的否定直接求解.

【详解】，,

：，.

故选：D

3. 【答案】D

【解析】

【分析】取可判断A；取可判断B；取可判断C；由基本不等式的性质可判断D.

【详解】对于A，取，所以，故A不正确；

对于B，取，所以，所以B不正确；

对于C，取，所以，所以C不正确；

对于D，若，则由不等式的性质知，，所以D正确.

故选：D.

4. 【答案】B

【解析】

【分析】由偶函数的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，的定义域为，所以，

所以是奇函数，所以A不正确；

对于B，的定义域为，所以，

所以是偶函数，所以B正确；

对于C，的定义域为，所以，

所以不是偶函数，所以C不正确；

对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称，

所以不是偶函数，所以D不正确；

故选：B.

5. 【答案】B

【解析】

【分析】由不等式的性质得到的等价条，进而根据不等式的解集的关系判断.

【详解】因为，所以当时，，

则或，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

6. 【答案】D

【解析】

【分析】求出每一个选项的函数的值域判断得解.

【详解】A. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；

B. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；

C. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；

D.函数的值域为(0，+∞)，所以该选项与已知相符.

故选D

【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7. 【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果.

【详解】在上单调递增，错误；在上单调递增，错误

在上单调递减，正确；在上单调递增，错误

本题正确选项：

【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题.

8. 【答案】A

【解析】

【分析】由已知不等式的解集求得的关系及的正负，再代入待解不等式可求解．

【详解】因为一元二次不等式的解集是，

所以，即，且，

所以不等式为，即，，．

故选：A．

9. 【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的性质，先证明不合题意，利用排除法可得结果.

【详解】时，化为，函数只有一个零点 ，不合题意，可排除选项；时，化为，方程无解，函数没有零点,不合题意，可排除选项，故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数的零点以及排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.

10. 【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断

【详解】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，

对于B，当时，，由对勾函数性质知，

而是偶函数，的值域是，故B错误，

对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，

而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，

对于D，当时，，即，解得，故D正确，

故选：D

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可.

【详解】由得,故解集为

故答案为

【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题型.

12. 【答案】32

【解析】

【分析】由题得的值，再把韦达定理代入得解.

【详解】由题得.

所以.

故答案为32

【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

13. 【答案】

【解析】

【分析】根据，可得，从而根据，可求的值．

【详解】解：∵

∴
∵

故答案为．

【点睛】本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断，是一道基础题．

14. 【答案】240

【解析】

【分析】列出总运费与总存储费用之和的表达式，结合均值不等式求最小值即可.

【详解】总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即时取等号，故最小值为240万元.

故答案为：240

15. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）根据函数解析式分别求解分段函数在每一段定义区间内的值域，最终取并集即可；

（2）将方程有两个互异的实数解转化为函数图象和直线有两个交点问题，观察函数图象和直线，利用数形结合思想求解.

【详解】（1）当时，；

当时，，

所以函数的值域为.

（2）关于x的方程（a∈R）恰有两个互异的实数解，

即函数的图象与直线有两个不同的交点，

在平面直角坐标系内画出函数的图象和直线如图所示，

当直线分别经过点和时，a的值分别为和，

有图易得当时，函数的图象和直线有两个交点；

当直线与函数的图象在内相切时，

有，即有且仅有一个根，

则有，

解得（舍去）.

综上所述，a的取值范围是.

故答案为：；.

三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 【答案】（1）、；   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式，化简集合，即可进行集合运算；

（2）可得，求解即可

【小问1详解】

，，由解得，∴，

∴，；

【小问2详解】

，则，解得，所以a的取值范围为

17.【答案】（1）   

（2）函数为奇函数   

（3）函数在上单调递增

【解析】

【分析】（1）将函数图象上的点的坐标代入函数解析式得到关于a，b的方程组，解方程组得到a，b的值；

（2）根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；

（3）根据函数单调性的定义，利用作差法比较函数值大小，进而判断函数的单调性.

【小问1详解】

因为点，是图象上的两点，

所以，

解得.

【小问2详解】

函数奇函数，理由如下：

由（1）得，

易得函数的定义域为，

且对任意，有，

所以函数为奇函数.

【小问3详解】

设，

则，

因为，

所以，

则，即，

所以函数

因为在上单调递增.

18. 【答案】（1）图像见解析，单调递增区间（2）

（3）

【解析】

【分析】(1)先求得当时函数的表达式再进行画图,观察图像即能写出单调递增区间.
(2)求得当时函数的表达式后写成分段函数形式即可.
(3)根据函数图像,分分别为正负时的情况进行不等式求解.

【详解】(1)函数是定义在R上的奇函数,当时, ．

所以当时

如图所示

由原图与所作图可得, 函数的单调递增区间

(2)函数的解析式为．

(3)根据函数的图像

所以解不等式当时,此时；当,,此时

故解集为

故答案为

【点睛】本题主要考查分段函数的图像应用,同时也考查了已知部分区间函数的解析式求其他区间函数的解析式问题.需要注意数形结合的思想,属于中等题型.

19. 【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）直接一元二次解不等式即可；

（2）对a分类讨论，分别解一元二次解不等式即可.

【小问1详解】

，，解得，所以原不等式的解集为.

【小问2详解】

i.当时，，解得，所以原不等式的解集为；

ii.当时，，

①当时，解得，所以原不等式的解集为；

②当时，无解，原不等式的解集为；

③当时，解得，所以原不等式的解集为；

④当时，解得，所以原不等式的解集为.

20. 【答案】（1）、、；（2）；（2）和.

【解析】

【分析】

（1）本题可令，解得或，然后根据函数的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果；

（2）本题首先可将函数转化为，然后令，解得或，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果；

（3）本题可令，解得或，然后结合函数图像即可得出结果.

【详解】（1）函数是增函数，定义域为，

令，解得或，

故函数的所有“和谐区间”为、、.

（2）因为，所以，

因为为函数的一个“和谐区间”，

所以可令，解得或，

如图所示，绘出函数图像：

结合“和谐区间”的定义易知，当时满足题意，

故的值为.

（3）函数，定义域为，

令，解得或，

如图所示，绘出函数图像：

结合图像易知，函数的所有“和谐区间”为和.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.