2021北京大兴高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京大兴高二（上）期末数学（教师版），共19页。试卷主要包含了 已知数列满足，，则的值为， 经过点且与直线垂直直线方程为， 已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
2021北京大兴高二（上）期末数    学150分.考试时长120分钟.一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在平面直角坐标系中，斜率为的直线倾斜角为（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知数列满足，，则的值为（    ）A.  B.  C. 3 D. 63. 经过点且与直线垂直直线方程为（    ）A.  B. C.  D. 4. 某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（    ）A.  B.  C.  D. 6. 已知圆经过原点，且其圆心在直线上，则圆半径的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 7. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第（    ）A. 天 B. 天 C. 天 D. 天8. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线交轴于点.若为线段的中点，则（    ）A. 3 B. 6 C.  D. 129. 已知椭圆C：的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 10. 已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 双曲线的渐近线方程是________________．12. 已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________.13. 已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)14. 如图，在四面体ABCD中，其棱长均为1，M，N分别为BC，AD的中点.若，则________；直线MN和CD的夹角为________.15. 将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：①；②；③当时，；④.其中，所有正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 从2名男生(记为和)和3名女生(记为，，和)组成的总体中，任意依次抽取2名学生.（1）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样样本空间；（2）在（1）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.   17. 已知前n项和为的数列中，.（1）若是等比数列，，求的通项公式；（2）若是等差数列，，求的最大值.   18. 如图，在长方体中，，，E为AB的中点.（1）证明：；（2）求点E到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值. 
19. 已知直线：与直线：，（1）若，求a的值；（2）求证：直线与圆恒有公共点；（3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值.20. 如图四棱锥中，是以AD为斜边等腰直角三角形，，，，，E为PD的中点.（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；（2）设F是BE中点，判断点F是否在平面PAC内，并证明结论.21. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点，，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；（3）设，为椭圆的左､右顶点，为椭圆上除，外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值. 
2021北京大兴高二（上）期末数学参考答案一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】B【解析】【分析】根据斜率的定义，由直线的斜率，即可求出倾斜角.【详解】设所求直线的倾斜角为，其中，因为该直线的斜率为，所以，则.故选：B.2. 【答案】A【解析】【分析】由题中条件，根据递推公式，逐步计算，即可得出结果.【详解】因为，，所以，，，，.故选：A.3. 【答案】C【解析】【分析】先由垂直关系，求出所求直线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.【详解】因为所求直线与直线垂直，所以其斜率为，又所求直线过点，因此，所求直线方程为，即.故选：C.4. 【答案】D【解析】【分析】先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．【详解】由题意小明每次投篮不中的概率是，再次投篮都不中的概率是，∴他再次投篮至少投中一次的概率为．故选：D．【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．5. 【答案】A【解析】【分析】根据向量在坐标平面上的投影的概念确定．【详解】向量在坐标平面Oxy上的投影向量是．故选：A．6. 【答案】B【解析】【分析】计算出原点到直线的距离，即为所求.【详解】当与直线垂直时，圆的半径最小，因此，圆半径的最小值为.故选：B.7. 【答案】B【解析】【分析】设两只老鼠在第天相遇，利用等比数列的求和公式列方程可求得的范围，即可得解.【详解】设两只老鼠在第天相遇，则大老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比数列，小老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得，整理得，可得（舍去）或，所以，两鼠穿透此墙至少在第天.故选：B.8. 【答案】B【解析】【分析】先根据抛物线方程得出焦点坐标，根据为线段的中点，求出的横坐标，由抛物线定义，得到，进而可求出结果.【详解】因为抛物线的焦点为，直线交轴于点，为线段的中点，所以的横坐标为，又点在抛物线的上，所以，因此.故选：B.9. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程得到以为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线相切，得到，进而可求出椭圆的离心率.【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，又该圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，因此，即，所以离心率为.故选：D.10. 【答案】C【解析】【分析】先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.【详解】因为数列的前n项和，当时，；当时，满足上式，所以，又，恒成立，所以，恒成立；令，则对任意，显然都成立，所以单调递增，因此，即的最小值为，所以，即实数的最大值是.故选：C【点睛】思路点睛：根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】【解析】【分析】将方程改为，解出来即可【详解】因为所以渐近线方程为即为故答案为：【点睛】焦点在轴上的双曲线方程为：，渐近线方程为：焦点在轴上的双曲线方程为：，渐近线方程为：渐近线方程就是将标准方程中右边的1变为0，然后解出来就是.12. 【答案】【解析】【分析】先求出关于x轴对称的点的坐标，反射光线必过点，又反射光线经过点，即可求出直线方程．【详解】由题意，关于x轴对称的点为，反射光线必过点，又反射光线经过点，故直线的斜率，故直线方程为，化成一般式得，故答案为:13. 【答案】，，（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，写出数列的部分项，根据观察法，即可得出结果.【详解】因为数列的通项公式为，所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……，显然，所以，，能构成等比数列.故答案为：，，14. 【答案】    (1). ．    (2). 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算把用表示即可得，再由向量的数量积得向量夹角，从而得异面直线所成的角．【详解】由已知得，又且不共面，∴，，∴，是棱长为1的正四面体，∴，同理，，，，∴，∴，∴异面直线MN和CD所成的角为．【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量基本定理，考查用向量法求异面直线所成的角．在空间任意不共面的三个向量可作为空间的一个基底，空间所有向量都可用基底表示，且表示方法唯一，因此在用同一个基底用两种不同方法表示出同一向量时，两种表示法中对应的系数相等．由此结合向量的运算法则可表示得结论．同样用向量法求异面直线所成的角，可以直接计算，不需要作图与证明．15. 【答案】①③④【解析】【分析】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.【详解】当时，，①正确；当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，所以，②错误；要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论，若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：第n次n-1次n-2次概率反面   正面反面 正面正面反面所以，④正确；由上式可得，所以，又，满足当时，，③正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）见详解；（2）有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.【解析】【分析】（1）用列举法，分别写出两种抽取方法对应的基本事件，即可得出结果；（2）先列举出两种抽样方式下，“抽到的2人为1名男生和1名女生”所包含的基本事件，确定基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】（1）由题意，有放回简单随机抽样的样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；共包含个基本事件；不放回简单随机抽样的样本空间为：，，，，，，，，，， ，，，，， ，，，，；共包含个基本事件；（2）由（1）可得，两种抽样方式下，抽到的2人为1名男生和1名女生，所包含的基本事件都是： ，，，，，，，，，，，；共个，有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.17. 【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先设等比数列的公比为，根据等比数列的求和公式，求出公比，进而可求出通项公式；（2）先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，得出前项和，即可得出最大值.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，q≠1所以，即，解得或，所以或；（2）设等差数列的公差为，因为，所以，因此，所以，因为是开口向下，对称轴为的二次函数，又，所以当或时，取得最大值.18. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，证明；（2）求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解；（3）求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.【详解】（1）如图，以，，为轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，，，， ，，，所以；（2），，，， ， 设平面的法向量为，则，即，令则，所以，则点到平面的距离；（3）由（1）可知，又，，且，平面，是平面的法向量，，平面与平面夹角是锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.【点睛】思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.19. 【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）.【解析】【分析】（1）根据两直线平行，可直接得出的值；（2）求出直线所过定点在圆上，即可证明结论成立；（3）根据题中条件，由为直角三角形，得到为斜边，且，由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由圆的几何法表示出弦长，列出等量关系求解，即可得出的值.【详解】（1）因为直线：的斜率为，又，直线：，所以，则；（2）由，令可得，所以直线过定点，因为显然满足，即点在圆上，所以直线与圆恒有公共点；（3）因为圆的圆心为，半径为，又直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，为直角三角形，所以，则为斜边，且，又圆心到直线的距离为显然恒成立，根据圆的性质可得：，所以，解得.【点睛】关键点点睛：求解本题第三问的关键在于根据圆的性质，以及题中条件，确定为的斜边，并得到的长度，再结合点到直线距离公式，以及弦长公式，即可求解.20. 【答案】（1）；（2）在平面内．证明见解析．【解析】【分析】（1）计算出，证明，然后取取中点，连接，可证明平面，这样可建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；（2）在平面内．只要证明与共面即可得．【详解】直角梯形中，由已知可得，，∴，即，又是以为斜边的等腰直角三角形，∴，取中点，连接，则，，则，∴，又，∴，∴，，而，平面，∴平面，因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，即，又，，直线PB与平面PAC所成角为，则．（2）由（1），，，设，则，，解得，∴，∴与共面，∴在平面内．【点睛】方法点睛：本题考查求线面角，判断点到平面的关系．解题方法是空间向量法，通过求出直线与平面法向量的夹角的余弦值得线面角的正弦值．利用向量法证明向量与共面共面从而可得点与平面的位置关系．21. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解.【解析】【分析】（1）记焦距为，根据题中条件，列出关于的方程组求解，得出，即可得出椭圆方程；（2）设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到和，由判别式大于零求出范围，根据题中条件，得到，由此求出，即可得出结果；（3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两直线方程，求出点横坐标，根据和两点的坐标得出和的横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立.【详解】（1）记该椭圆的焦距为，由题意可得，解得，因此椭圆的方程为；（2）设，，由消去，整理得，所以，，则；又以线段为直径的圆经过原点，所以，则，所以，即，则，整理得满足，所以；（3）因为，为椭圆的左､右顶点，所以，，由题意，设，则，所以，则，因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，则为中点，所以，又直线斜率为，所以其垂直平分线的斜率为，因此直线的方程为，即；又直线的斜率为，所以直线的方程为，由可得，则，解得，即，又、分别为、在轴的垂足，则，，所以为定值.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于，根据线段为直径的圆经过原点得到，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理进行求解；求解本题第三问的关键在于设出点坐标，根据点坐标表示出直线方程，求出和的坐标，即可求解.