2021北京东城高二（上）期末数学（教师版）

2021北京东城高二（上）期末

数    学

一、选择题共10题，每题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（3分）直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

2．（3分）已知等差数列，，，则公差等于　　

A． B． C．3 D．

3．（3分）若两条直线与互相垂直，则的值为　　

A．4 B． C．1 D．

4．（3分）双曲线的焦点坐标是　　

A．， B．，，， C．， D．，

5．（3分）如图，在平行六面体中，，，，则与向量相等的是　　

A． B． C． D．

6．（3分）北京市普通高中学业水平等级考试成绩按等级赋分计人高考录取总成绩，它是按照原始成绩排名的百分比来计算成绩，具体等、级比例和对应的赋分值如表：

如果考生某学科的原始成绩恰为所有选考该学科学生原始成绩的第80百分位数，则按等级赋分后，该考生此学科计人高考总分的分数为　　

A．80 B．82 C．85 D．88

7．（3分）抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为　　

A．4 B．2 C．1 D．

8．（3分）已知，，，，是空间中的五个点，其中点，，不共线，则“存在实数，，使得是“平面”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．（3分）已知，直线，为上一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为　　

A．1 B． C．2 D．

10．（3分）世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是　　

A． B． C． D．

二、填空题共5题，每题4分，共20分。

11．（4分）抛物线的焦点到准线的距离为　 　．

12．（4分）已知数列的前项和，则　　．

13．（4分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为 　　（写出一个正确答案即可）；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为 　　．

14．（4分）某学校为调查学生的身高情况，从高二年级的220名男生和180名女生中，根据性别采用按比例分配的分层抽样方法，随机抽取容量为40的样本，样本中男、女生的平均身高分别是，，该校高二年级学生的平均身高估计为 　　．（精确到

15．（4分）在平面直角坐标系中，对于曲线，有下面四个结论：

①曲线关于轴对称；

②过平面内任意一点，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线都有且只有一个公共点；

③存在唯一的一组实数，，使得曲线上的点到坐标原点距离的最小值为1；

④存在无数个点，使得过点可以作两条直线，这两条直线与曲线都恰有三个公共点．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共6题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．（7分）已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

17．（8分）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若圆与直线交于，两点，_____，求的值．

从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：；

条件②：．

18．（8分）某农场为创收，计划利用互联网电商渠道销售一种水果，现随机抽取100个进行测重，根据测量的数据作出其频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）以每组中间值作为该组的重量，估计这100个水果中，平均每个水果的重量；

（Ⅱ）已知该农场大约有20万个这种水果，某电商提出两种收购方案：

方案一：按照10元千克的价格收购；

方案二：低于2千克的按照15元个收购，不低于2千克且不超过2.6千克的按照23元个收购，超过2.6千克的按照40元个收购．请问该农场选择哪种收购方案预期收益更多？

19．（8分）如图，在直三棱柱中，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20．（9分）已知椭圆的离心率为，、为椭圆的左、右顶点，过其右焦点的直线交椭圆于不同的两点，（异于，两点）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线，的斜率分别为和，求的值．

21．（10分）已知是无穷数列，给出两个性质：

①对于中任意一项，在中总存在两项，，使得；

②对于中任意两项，，在中总存在一项，使得．

（Ⅰ）若时，，试写出数列的前三项，，的一组值，使满足性质①且不满足性质②；

（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，求证：是等差数列．

参考答案

一、选择题共10题，每题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】先根据直线的方程求出它的斜率，可得它的倾斜角．

【解答】解：由于直线的斜率为，

故该直线的倾斜角为，

故选：．

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．

2．【分析】设出等差数列的公差，利用等差数列的性质求解．

【解答】解：设等差数列的公差为，

则，

故选：．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式应用，属于基础题．

3．【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，根据的系数之积，加上的系数之积等于零，计算求得 的值．

【解答】解：两条直线与互相垂直，

，

求得，

故选：．

【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，两条直线垂直，则的系数之积加上的系数之积等于零，属于基础题．

4．【分析】根据双曲线方程可得，，进而可求得，又焦点在轴上，故可得焦点坐标．

【解答】解：因为双曲线方程为，

所以，且焦点在轴上，

所以，

所以焦点坐标为，，

故选：．

【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．

5．【分析】根据题意，由空间向量的三角形法则分析可得答案．

【解答】解：根据题意，，

故选：．

【点评】本题考查空间向量的加减运算，涉及空间向量加法减法的三角形法则，属于基础题．

6．【分析】先得到考生某学科的原始成绩位于等中，再结合转换等级即可求解．

【解答】解：考生某学科的原始成绩恰为所有选考该学科学生原始成绩的第80百分位数，

考生某学科的原始成绩位于等中，且等，

又位于中，

对应的分数为85分，

故选：．

【点评】本题主要考查了百分位数的应用，关键是找到第80百分位数位于的等级，属于中档题．

7．【分析】求出抛物线的准线方程，焦点坐标，然后转化求解即可．

【解答】解：抛物线的焦点坐标，准线方程为：，

由抛物线的性质和对于可得：抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为：1．

故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

8．【分析】根据题意，由充分必要条件的定义结合向量共面定理分析，即可得答案．

【解答】解：根据题意，若存在实数，，使得，则平面或平面，

反之，若平面，则向量与、共面，又由点，，不共线，故一定存在实数，，使得，

故“存在实数，，使得是“平面”的必要不充分条件；

故选：．

【点评】本题考查空间向量基本定理，涉及充分必要条件的定义和判断，属于基础题．

9．【分析】根据已知条件，将圆化为标准方程，即可求得圆心与半径，结合勾股定理，将原问题转化为求最小值，即可求解．

【解答】解：，即，

圆心，半径，

为圆的切线且为切点，

，

根据勾股定理知，，

当最小时，最小，

，

，

的最小值为．

故选：．

【点评】本题主要考查切线方程的求解，考查计算能力，属于中档题．

10．【分析】设十三个单音构成的等比数列的公比为，从而得，再由求得．

【解答】解：由题意，设十三个单音构成的等比数列的公比为，

则，

而，

故与最接近的是，

故选：．

【点评】本题考查了等比数列性质的应用，属于基础题．

二、填空题共5题，每题4分，共20分。

11．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．

【解答】解：抛物线可得，抛物线的焦点到准线的距离为：3．

故答案为：3；

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

12．【分析】由数列的递推公式求得，再求即可．

【解答】解：由，

则当时，，

所以，

所以，

故答案为：3．

【点评】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查学生的运算能力，属于中档题．

13．【分析】有相同的渐近线的双曲线系为，故可令，可得一个双曲线方程，进而可求离心率．

【解答】解：因为双曲线的渐近线为，

所以双曲线的方程为，

故可取，可得双曲线的方程为，

所以

此时其离心率，

故答案为：；．

【点评】本题考查了共渐近线的双曲线的方程以及双曲线的离心率，属于基础题．

14．【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，计算求得结果．

【解答】解：由题意可得抽样的比例为，

故抽取的男生数为22，抽取的女生数为18，

则估计该校高二年级学生的平均身高为，

故答案为：172.4．

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．

15．【分析】先去绝对值符号，得出圆锥曲线的方程，在分析判断每项即可得出结论．

【解答】解：当时，曲线的方程为，此时曲线为双曲线的一部分，

当时，曲线的方程为，此时曲线为椭圆的一部分；

设为曲线上任意一点，其关于轴的对称点为，代入曲线方程成立，

故曲线关于轴对称，①正确；

当点在曲线上时，有无数条直线与曲线都有且只有一个公共点，故②错误；

存在，，三组实数使得曲线上的点到坐标原点距离的最小值为1，故③错误；

当时，存在无数个点，使得过点可以作两条直线，这两条直线与曲线都恰有三个公共点，故④正确．

故答案为：①④．

【点评】本题考查了椭圆与双曲线的图像与性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，还考查了学生分析解决问题的能力，有一定的难度．

三、解答题共6题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式即可解得，

由等差中项结合已知条件即可求得及公比，再利用等比数列求和公式即可求得．

【解答】解：，即，

又，，

所以等差数列的公差，

等差数列的首项，

，

（2）是和的等差中项，

，即，

又，

，

，

所以等比数列的公比，

．

【点评】本题考查等差数列及等比数列通项公式，及求和问题，考查学生的运算能力，属于中档题．

17．【分析】（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为．由题意可得，，，进一步求得与的值，则圆的方程可求；

（Ⅱ）如果选择条件①，由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解值；

如果选择条件②，同样由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解值．

【解答】解：（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为．

圆的圆心在直线上，．

又圆与轴相切于点，，．

圆的圆心坐标为，．

则圆的方程为；

（Ⅱ）如果选择条件①，

，，

圆心到直线的距离．

则，解得或．

如果选择条件②，

，，

圆心到直线的距离．

则，解得或．

【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，训练了点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．

18．【分析】（1）利用在频率分布直方图中的平均值求法计算出平均每个水果的重量即可；

（2）分别计算出两种方案的总收入，比较收入的多少即可得出结论．

【解答】解：（1）平均每个水果的重量为：（千克）；

（2）总重量为：（万千克），

方案一：（万元），

方案二：低于2千克：（万元），

不低于2千克且不超过2.6千克：（万元），

超过2.6千克：（万元），

所以方案二：（万元），

因为，

所以方案二预期收益更多．

【点评】本题考查了频率分布直方图中平均数的计算方法以及最优方案的选择问题，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直证明平面平面，由面面垂直的性质定理证明平面，从而，又，即可证明平面，从而证明结论；

（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，设线段上存在一点，且，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列式求解即可．

【解答】（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，平面，

又平面，

则平面平面，

又平面平面，且平面，

则平面，

因为平面，

所以，

因为且四边形为平行四边形，

则四边形为菱形，

所以，

因为且，平面，

所以平面，

又平面，

故；

（Ⅱ）解：由（1）可知，和，两两垂直，

故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，0，，，2，，，0，，，0，，，0，，

所以，

设线段上存在一点，且，

则，

故，0，，

所以，

因为，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

因为与平面所成角为，

所以，

整理可得，解得或，

故在线段上存在一点，且或，使得与平面所成角为．

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理和性质定理的应用，线面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）由题意可得关于，，的方程组，解得，的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）由椭圆方程可知，，，设直线的方程为，，，，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合斜率公式求解．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，解得，，

椭圆的方程为；

（Ⅱ）由椭圆方程可知，，，

设直线的方程为，，，，，

联立，得．

，，

，，

则，把代入，

可得，

又，，

．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

21．【分析】（Ⅰ）根据性质①②写出前3项即可；（Ⅱ）由，可得是以3为首项，2为公差的等差数列，代入验证即可；（Ⅲ）由等差中项可证明．

【解答】解：（Ⅰ）由①可知，

，；

由②，

，使①成立②不成立，

则，，；

（Ⅱ），

是以3为首项，2为公差的等差数列，

，

代入中，，则，成立；

代入中，，则，成立；

数列同时满足性质①和性质②；

（Ⅲ）是递增数列，，，

，，

又由性质①，性质②，

可得：，，

是等差数列．

【点评】本题考查了数列中的逻辑推理，属于中档题，证明数列为等差数列，除了定义外，还可以用等差中项．